人教版（2024）第十六章 整式的乘法16.3 乘法公式16.3.1 平方差公式同步练习题

这是一份人教版（2024）第十六章 整式的乘法16.3 乘法公式16.3.1 平方差公式同步练习题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B．
C．D．
2．下列等式正确的是（ ）
A．x²＋y²=（x＋y）（x＋y）B．－x²＋y²=（y－x）（y＋x）
C．－x²＋y²=（－x＋y）（－x－y）D．－x²－y²=－（x＋y）（x－y）
3．等于（ ）
A．B．C．D．
4．将多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（ ）
A．B．
C．D．
6．若分解因式时有一个因式是，则另一个因式是（ ）
A．B．C．D．
7．已知a，b满足，且，则关于a与b的数量关系，下列说法中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．②③C．①④D．③④
二、填空题：
8．因式分解：=______．
9．因式分解：
10．若多项式4a2＋M能用平方差公式因式分解，则单项式M=__________．（写出一个即可）
11．若，，则___．
12．已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加__________
13．若，则代数式的值为______．
14．若a2﹣b2=5，a+b=5，则2a2﹣2ab=___________．
三、解答题：
15．分解因式：
(1)； （2）ab2﹣a； (3)． （4）x2﹣y2﹣ax﹣ay．
16．若x＋y是9的算术平方根，x﹣y的立方根是﹣2，求x2﹣y2的值．
17．如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是和，求它们所围成的环形的面积．如果，呢？（取）
18．在的运算结果中，的系数为，x的系数为，求a，b的值并对式子进行因式分解．
能力提升篇
一、单选题：
1．对于任意整数n，多项式（n+7）2﹣n2都能够被（ ）
A．2整除B．n整除C．（n+7）整除D．7整除
2．小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
3．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56B．60C．62D．88
二、填空题：
4．若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m＝___．
5．请阅读以下因式分解的过程：
．
这种因式分解的方法叫做配方法．
请用配方法分解因式：____________．
6．如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H.将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是____.
三、解答题：
7．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？试利用这个公式计算：．
（2）若图（1）中的阴影部分的面积是12，，求的值．
8．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例：．
．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
(1)分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
14.3.2 运用平方差公式因式分解
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式逐项分解因式可求解．
【详解】解：A、，无法因式分解，故此选项错误；
B、，无法因式分解，故此选项错误；
C、，无法因式分解，故此选项错误；
D、，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的基本形式是解题关键．
2．下列等式正确的是（ ）
A．x²＋y²=（x＋y）（x＋y） B．－x²＋y²=（y－x）（y＋x）
C．－x²＋y²=（－x＋y）（－x－y） D．－x²－y²=－（x＋y）（x－y）
【答案】B
【分析】把各个选项右边乘开看是否与左边相等．
【详解】A.右边=x²+2xy+y²，与左边不相等，故A选项错误，不符合题意；
B.右边=y²-x²=-x²+y²，与左边相等，故B选项正确，符合题意；
C.右边=(-x)²-y²=x²-y²，与左边不相等，故C选项错误，不符合题意；
D.右边=-(x²-y²)=-x²+y²，与左边不相等，故D选项不符合题意．
故选B
【点睛】本题考查了整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解互为逆运算．通过把等号右边的整式乘法展开看是否与左边的多项式相等,可以判断从左到右的因式分解是否正确．掌握这一方法是解题的关键．
3．等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式，完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝．
故选C．
【点睛】本题考查了平方差公式与完全平方式，掌握乘法公式是解题的关键．
4．将多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=
=
故选：C
【点睛】本题主要考查因式分解计算，主要因式分解过程中应分解彻底，是一个易错点．
5．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由面积相等列式可得答案．
【详解】解：从左图到右图的变化过程中，由面积相等可得，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，利用两个图形的面积相等列式是关键，属于基础题．
6．若分解因式时有一个因式是，则另一个因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练运用平方差公式是解答此题的关键．
7．已知a，b满足，且，则关于a与b的数量关系，下列说法中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．②③C．①④D．③④
【答案】C
【分析】将等式整理即可得出①，根据因式分解及a≠3b即可得到④．
【详解】解：∵（3−9b）（a＋b）＋9ab＝4a−a2，
∴3a＋3b−9ab−9b2＋9ab＝4a−a2
∴a2−a＝9b2−3b
∴a2−9b2＝a−3b
故①正确，
∴（a＋3b）（a−3b）＝a−3b，
∵a≠3b，
∴a−3b≠0，
∴a＋3b＝1．
故④正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式及因式分解，掌握因式分解是解题关键．
二、填空题：
8．因式分解：=______．
【答案】
【分析】应先提出公因式a，再运用平方差公式分解．
【详解】原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9．因式分解：
【答案】
【分析】变形后提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝
【点睛】本题考查了因式分解，能熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解决本题的关键．
10．若多项式4a2＋M能用平方差公式因式分解，则单项式M=__________．（写出一个即可）
【答案】－4（答案不唯一）
【分析】根据平方差公式的特点：两项平方项，符号相反．所以M是个平方项且其符号为“-”，只要符合这个特点即可．
【详解】答案不唯一．如-b2，-4等．
【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，是开放型题目，熟记公式结构是解题的关键，注意M中字母不要用a，如果用a，原多项式就可以合并同类项而变成单项式了．
11．若，，则___．
【答案】6
【分析】利用平方差公式分解因式求解即可．
【详解】解：∵
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平方差公式在因式分解里的运用，熟练运用平方差公式是解题关键．
12．已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加__________
【答案】（4R+4）cm2
【分析】半径为Rcm的圆的面积是S1=πR2，若这个圆的半径增加2cm，则其面积是S2=π（R+2）2，用增加后的圆的面积减去增加前圆的面积，利用平方差公式计算即可．
【详解】∵S2-S1=π（R+2）2-πR2，
=π（R+2-R）（R+2+R），
=4π（R+1），
∴它的面积增加4π（R+1）cm2．
故答案为（4R+4）cm2．
【点睛】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是熟悉圆的面积公式．
13．若，则代数式的值为______．
【答案】
【分析】根据平方差公式因式分解，再整体代换即可求出答案．
【详解】解：由题意，
原式


．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
14．若a2﹣b2=5，a+b=5，则2a2﹣2ab=___________．
【答案】6
【分析】运用公式法进行因式分解，由a2-b2=5，a+b=5，得（a+b）（a-b）=5，a-b =1，那么2a=6，进而解决此题．
【详解】解：∵a2-b2=5，
∴（a+b）（a-b）=5，
∵a+b=5，
∴a-b =1，2a=6，
∴2a2−2ab=2a(a−b) =6×1=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了运用公式法进行因式分解以及代数式求值，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及代数式求值是解题的关键．
三、解答题：
15．分解因式：
(1)；（2）ab2﹣a；(3)．（4）x2﹣y2﹣ax﹣ay．
【详解】解：（1）原式；
（2）ab2﹣a，
＝a（b2﹣1） ，
＝a（b+1）（b﹣1）；
（3）解：原式＝（999+1）（999﹣1）
＝1000×998
＝998000．
（4） x2﹣y2﹣ax﹣ay，
＝（x+y）（x﹣y）﹣a（x+y），
＝（x+y）（x﹣y﹣a）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．
16．若x＋y是9的算术平方根，x﹣y的立方根是﹣2，求x2﹣y2的值．
【答案】-24
【分析】利用算术平方根与立方根的含义求解x＋y和x－y可得答案．
【详解】解：∵x+y是9的算术平方根，
∴x＋y=3，
∵的立方根是－2，
∴x－y=-8，
∴x2-y2=（x＋y）（x－y）=-24，
故答案为：-24．
【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义以及因式分解，掌握算术平方根与立方根的含义以及平方差公式是解题的关键．
17．如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是和，求它们所围成的环形的面积．如果，呢？（取）
【答案】．
【分析】围成的环形的面积大圆的面积小圆的面积，圆的面积，可列出代数式，并代入数据可求值．
【详解】解：围成的环形的面积为：．
当，时：
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查列代数式和代数式求值，根据围成的环形的面积大圆的面积小圆的面积，然后代数求值．
18．在的运算结果中，的系数为，x的系数为，求a，b的值并对式子进行因式分解．
【答案】，，
【分析】先计算多项式乘以多项式，再结合题意可得，，解方程组求解的值，再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】解：∵

∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，多项式的因式分解，二元一次方程组的解法，理解题意列出方程组求解的值是解本题的关键.
能力提升篇
一、单选题：
1．对于任意整数n，多项式（n+7）2﹣n2都能够被（ ）
A．2整除B．n整除C．（n+7）整除D．7整除
【答案】D
【分析】先利用平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：（n+7）2﹣n2

，
∴对于任意整数n，多项式（n+7）2﹣n2都能够被7整除．
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
2．小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作业本上的式子是，则这个指数的可能结果共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】D
【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
【详解】解：∵当这个指数是偶次方时，这个多项式能利用平方差公式因式分解，
又因为该指数为不大于10的正整数，
∴该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法．能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于．
3．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56 B．60 C．62 D．88
【答案】B
【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．
【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），
∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，
A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；
B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；
C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；
D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键．
二、填空题：
4．若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m＝___．
【答案】2022
【分析】将等式左边利用平方差公式进行分解因式，再利用等式性质即可求值．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：2022．
【点睛】本题主要考查平方差公式的因式分解，熟练应用公式是解题的关键．
5．请阅读以下因式分解的过程：
．
这种因式分解的方法叫做配方法．
请用配方法分解因式：____________．
【答案】（x+3）（x-1）
【分析】根据题干中配方法，构造平方差公式进行因式分解．
【详解】解：
=
=
=[（x+1）+2][（x+1）-2]
=（x+3）（x-1）．
故答案为：（x+3）（x-1）．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解决本题的关键．
6．如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H.将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是____.
【答案】36.
【分析】根据题意列出，求出x-y=4，解方程组得到x的值即可得到答案.
【详解】由题意得：
∵，
∴x-y=4，
解方程组，得，
∴正方形ABCD面积为，
故填：36.
【点睛】此题考查平方差公式的运用，根据题意求得x-y=4是解题的关键，由此解方程组即可.
三、解答题：
7．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？试利用这个公式计算：．
（2）若图（1）中的阴影部分的面积是12，，求的值．
【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b），264．（2）150
【分析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式a2-b2=（a+b）（a-b），从左到右依次利用平方差公式即可求解；
（2）根据a2-b2=（a+b）（a-b）=12，把a-b的值代入即可求得a+b的值，进而求出a，b的值，代入求值即可．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积是a2-b2，图2中阴影部分的面积是（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
∴
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（28-1）（28+1）（216+1）（232+1）+1
=（216-1）（216+1）（232+1）+1
=（232-1）（232+1）+1
=264-1+1
=264．
（2）依题意可得：a2-b2=12，（a+b）（a-b）=12，
∵a-b=3，
∴a+b=4．
联立方程组可得：
解得，，
∴．
【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．
8．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例：．
．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
(1)分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】(1)
(2)-18
(3)12
【分析】（1）根据阅读材料中的方法分解即可；
（2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；
（3）原式配方后，利用非负数的性质即可求解．
（1）
解：
=
=
=
=；
（2）
=
=
∵，
∴，
∴多项式的最小值为-18；
（3）
∵，
即，
∴，
∴a=3，b=4，c=5，
∴△ABC的周长为3+4+5=12．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键．