陕西省西安市长安区2025届高三数学期末卷试题（含答案及解析）

这是一份陕西省西安市长安区2025届高三数学期末卷试题（含答案及解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 已知复数满足，则（ ）
3. 已知向量 ，若 ，则 （ ）
4. 已知，，则（ ）
5. 清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件，是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表．它玉质细腻，古韵十足，线条流畅，造型规整，雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳，底部落“乾隆年制”款，尽显皇家气派．这件方形炉摆件可近似看作台体，高约，上底面与下底面为相似长方形，上底面的长约，宽约，若下底面的长和宽均为上底面长和宽的0.8倍，则该方形炉摆件主体体积约为（ ）
（参考数据：，结果保留一位小数）
6. 已知函数，其最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，的图象关于点对称，则当时，的最大值为（ ）
7. 已知函数在上单调递减，且在上恒成立，则的取值范围为（ ）
8. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，斜率为的直线过点且与圆相交于两点．若，则所有满足条件的直线的斜率之和为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在生物制药行业，药品的有效成分含量（单位：毫克/毫升）直接关系到药品的疗效．经过对生产的药品进行检测分析，某款药品的有效成分含量服从正态分布，已知．为了控制药品质量，从一批生产的药品中随机抽取3盒，记有效成分含量在区间的药品盒数为，则下列说法中正确的是（ ）
10. 在中，内角的对边分别为，已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
11. 设函数，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 对于个不同的正整数，依次排列后若第一个数能整除最后一个数，则称这样的排列为“首末整除排列”．现有2，3，4，6，8，则它们的“首末整除排列”共有_____种．
13. 已知数列，设，函数在区间上的最大值比最小值大1，则_____．
14. 设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点．若，且的面积为的面积为，且，则双曲线的离心率为_____．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分)
15. 已知递增等比数列中，，设．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
16. 《哪吒2：魔童闹海》作为2025年备受瞩目的动画电影，一经上映便迅速火爆全球，影片在特效制作、角色设计、音乐制作等方面都做到了极致．假设其电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责．在音乐录制过程中，由于各种因素，部分录制片段会因不符合要求而不被采用．甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为，音乐片段可用率（能被采用的片段数占录制片段总数的比例）分别为0.8，0.6，0.6．现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取，且每个音乐片段被抽到的可能是相同的，用频率估计概率．
(1)若只取1个音乐片段，求它是由乙工作室录制的概率；
(2)若抽取2个音乐片段，其中由甲工作室录制的音乐片段数记为，求的分布列和数学期望；
(3)假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为0.65，计算此次《哪吒2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率，并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率．
17. 已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若，求证：当时，.
18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若点在棱上运动，当点到平面的距离为时，求的长度．
19. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两个不同的点，且，求的值；
(3)定义：对于椭圆上的点，若点满足，则称点为椭圆的“特殊点”，求椭圆的“特殊点”的个数．
陕西省西安市长安区2025届高三数学押题卷试题（一）
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、平面向量、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、平面解析几何、计数原理与概率统计、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．2 或
D．3
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．若，则的面积为
A．在和处取得极值
B．当时，
C．当时，的取值范围是
D．为曲线的对称中心
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
2
适中
15
较难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；由指数函数的单调性解不等式
2
0.85
求复数的模；复数的除法运算
3
0.65
平面向量线性运算的坐标表示；坐标计算向量的模
4
0.65
三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；用和、差角的正弦公式化简、求值
5
0.85
台体体积的有关计算
6
0.65
求图象变化前（后）的解析式；利用正弦型函数的单调性求函数值或值域；利用正弦函数的对称性求参数
7
0.65
由对数函数的单调性解不等式；函数不等式恒成立问题；利用函数单调性求最值或值域；根据分段函数的单调性求参数
8
0.65
由直线与圆的位置关系求参数；用定义求向量的数量积
二、多选题
9
0.65
二项分布的方差；指定区间的概率；二项分布的均值；正态曲线的性质
10
0.65
三角形面积公式及其应用；正弦定理边角互化的应用
11
0.65
利用导数求函数的单调区间（不含参）；由导数求函数的最值（不含参）；函数极值点的辨析
三、填空题
12
0.65
分类加法计数原理；元素（位置）有限制的排列问题
13
0.65
根据函数的最值求参数；数列周期性的应用；利用函数单调性求最值或值域
14
0.65
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
四、解答题
15
0.65
写出等比数列的通项公式；裂项相消法求和；等比数列通项公式的基本量计算
16
0.65
求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率；计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列
17
0.65
利用导数证明不等式；利用导数求函数（含参）的单调区间；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；函数单调性、极值与最值的综合应用
18
0.65
证明线面平行；点到平面距离的向量求法；线面角的向量求法
19
0.4
根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；圆锥曲线新定义；根据a、b、c求椭圆标准方程；根据韦达定理求参数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,7,11,13,17
3
复数
2
4
平面向量
3,8
5
三角函数与解三角形
4,6,10
6
空间向量与立体几何
5,18
7
平面解析几何
8,14,19
8
计数原理与概率统计
9,12,16
9
数列
13,15