2026年高考数学一轮复习周测卷及答案解析：第15周 事件的相互独立、条件概率与全概率公式、随机变量及其分布

这是一份2026年高考数学一轮复习周测卷及答案解析：第15周 事件的相互独立、条件概率与全概率公式、随机变量及其分布，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．某人从A地到B地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从A地到B地迟到的概率是( )
A．0.16 B．0.31 C．0.4 D．0.32
3．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽到的次品数为ξ，则E(5ξ+1)=( )
A．2 B．1 C．3 D．4
4．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
5．将甲､乙､丙､丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件与相互独立B．事件与不相互独立
C．D．
6．已知投资A，B两种项目获得的收益分别为X，Y，分布列如下表，则( )
A．m+n=0.5
B．E(2X+1)=4
C．投资两种项目的收益期望一样多
D．投资A项目的风险比B项目高
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分.
7．小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ．
8．某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为 .
四、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9．（本小题满分 13分）
某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；
(2)若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；
(3)为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案.方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响.中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折.若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由.
10．（本小题满分 15分）
ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18. 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
(3)在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
参考答案及解析
1．A 【解析】记甲、乙、丙投中分别即为事件，
由题知，
则3人中至少有2人投中的概率为：
.
故选A.
2．B 【解析】设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则P(A)＝0.3，P(D|A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(D|B)＝0.3，P(C)＝0.4，P(D|C)＝0.4，D＝(D|A)∪(D|B)∪(D|C)，由全概率公式得：P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.3×0.2＋0.3×0.3＋0.4×0.4＝0.31.选B.
3．C 【解析】ξ的可能取值为0，1，2.
P(ξ=0)=C133C153=2235，
P(ξ=1)=C21C132C153=1235，
P(ξ=2)=C22C131C153=135.
∴ξ的分布列为
于是E(ξ)=0×2235+1×1235+2×135=25，故E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×25+1=3.
4．C 【解析】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，
则，，，，
故，
则所求概率为.
故选C.
5．BD 【解析】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，
对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；
对于B，，即事件A与C相互不独立，B正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选BD.
6．ACD 【解析】依题意可得0.2+m+0.6=1，所以m=0.2，0.3+0.4+n=1，所以n=0.3，所以m+n=0.5，故A正确；
所以E(X)=-1×0.2+0×0.2+2×0.6=1，则E(2X+1)=2E(X)+1=3，故B错误；
E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1，所以E(X)=E(Y)，故C正确；
因为D(X)=(-1-1)2×0.2+(0-1)2×0.2+(2-1)2×0.6=1.6，
D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6，即D(X)>D(Y)，所以投资A项目的风险比B项目高，故D正确.
故选ACD.
7．45 【解析】根据题意，“两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩”，有种情况，
事件A：两家至少有一家选择古猗园，有种情况，故，
若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，即.
所以.
8．0.18 【解析】设事件“任取一名同学，成绩为优秀”，“抽取的选修第门选修课的同学”（），
则，且两两互斥，依题意，，
，
所以成绩是优秀的概率为
.
9．【解析】（1）由频率分布直方图估计消费额不少于800元的客户人数约为，即约有405人；
（2）由频率分布直方图抽取的6人中，有4人消费金额在区间上，有2人不少于1000元，因此再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率为；
（3）按方案1，小王实付款；
按方案2，小王抽奖3次，中1次奖的概率为，中2次奖的概率为，中3次奖的概率为，一次都不中的概率为，
因此本次购物小王付款的期望值为，
又，因此选取方案2较合适．
10．【解析】（1）设小张答对的题数为，则.
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，
由题意知，，，
则，
；
（3）设小张答对的题数为，则的可能取值是，
且，，
设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布，
则，，
，
.
X
-1
0
2
P
0.2
m
0.6
Y
0
1
2
P
0.3
0.4
n
ξ
0
1
2
P
2235
1235
135