2024-2025学年河北省邢台市任泽区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省邢台市任泽区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若分式x+yxy中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值( )
A. 不变B. 是原来的三倍C. 是原来的三分之一D. 是原来的一半
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.当x=4时，下列分式没有意义的是( )
A. x−1xB. x4−xC. 32x−2D. xx+4
4.在等式x4⋅□=x11中，“□”所表示的代数式为( )
A. x6B. −x6C. (−x)7D. x7
5.用三角尺画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P.则可通过△OMP≌△ONP得到OP平分∠AOB.其中判定△OMP≌△ONP的方法是( )
A. SSSB. ASAC. SASD. HL
6.下列计算正确的是( )
A. a3⋅a2=a4B. a3÷a1=a3C. (−a2)3=a6D. (ab3)2=a2b6
7.如图，把一张长方形的纸，按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC是( )
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
8.将数字0.000005写成科学记数法得到( )
A. 0.5×105B. 5×106C. 0.5×10−5D. 5×10−6
9.若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为( )
A. 八边形B. 九边形C. 十边形D. 十二边形
10.已知关于x的分式方程x−ax−2+2a2−x=2的解为非负数，则a的取值范围为( )
A. a≤43且a≠23B. a≥23且a≠43C. a≤43且a≠−23D. a≥13且a≠23
11.已知△ABC(ACb>c>dB. c>d>a>bC. b>c>a>dD. d>c>b>a
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.计算(3−π)0=______．
14.若一个等腰三角形两边长分别为4cm和2cm，则它的周长为______cm．
15.关于x的方程xx−3=2−k3−x无解，则k的值为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，有一个△MBN，已知∠MBN=90°，MB=NB，M(3,0)，N(1,−4)，则点B的坐标为 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
分解因式：
(1)3mx−6my；
(2)a2(x−y)+4b2(y−x)．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(2x+1x+1+x−1)÷x+2x2+2x+1，其中x满足x2+x+14=0．
19.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下：
①若∠A=38°，求∠ADB的度数；
②若AB=5，CD=2，求△ABD的面积．
20.(本小题8分)
已知a，b，c是△ABC的三边长，其中a，b满足a2+b2=4a+10b−29，c满足|4−c|=1，试判断△ABC的形状．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
(1)若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是______度；
(2)若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请直接写出△PBC周长的最小值．
22.(本小题10分)
某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20%，共用28天完成了全部任务．
(1)问原计划每天绿化道路多少米？
(2)已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40%，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？
23.(本小题10分)
数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系.”这就是“算两次”原理，也称为富比尼(G.Fubini)原理.例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是(a+b)2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2.由此得到(a+b)2=a2+2ab+b2．

(1)如图2，正方形ABCD是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______；(用a，b表示)
(2)请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；a2+3ab+2b2.要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式．
(3)请你用(1)发现的等式解决问题：已知两数x，y满足x+y=3，xy=54，求x2−y2的值．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点A(−4,0)，点B(4,0)均在坐标轴上，点C是y轴负半轴上的一动点，连接CA，CB．
(1)若△ABC的面积为16，在线段AC上存在点D(m,m)；
①如图1，填空：△AOC的面积为______，点D的坐标为______；
②如图2，点P在y轴负半轴上，连接PD，BD，若PD=BD，求点P的坐标；
(2)如图3，若CA=AB，在第四象限内有一动点Q，连接QA，QB，QC，且∠CQA=60°.求证：CQ+BQ=AQ．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得3x+3y3x⋅3y=3(x+y)9xy=x+y3xy=13×x+yxy，
∴如果分式x+yxy中x、y的值都变为原来的3倍，则分式的值变为原来的13．
故选：C．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
根据轴对称图形的定义解答即可．
本题考查的是轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、当x=4时，分式有意义，故此选项不符合题意；
B、当x=4时，分母4−x=0，分式无意义，故此选项符合题意；
C、当x=4时，分母2x−4=4，分式无意义，故此选项不符合题意；
D、当x=4时，分母x+4=8，分式有意义，故此选项不符合题意．
故选：B．
分母等于0时，分式无意义，因而把x=4代入各式的分母检验一下就可以得解．
本题考查的是分式没有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：x11÷x4=x7，
即“□”所表示的代数式为x7，
故选：D．
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由画法得OM=ON，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO，
OP=OPOM=ON，
∴Rt△PMO≌Rt△PNO(HL)，
∴∠MOP=∠NOP，
即OP平分∠AOB．
故选：D．
利用画法得OM=ON，∠PMO=∠PNO=90°，加上OP为公共边，所以根据“HL”可判断Rt△PMO≌Rt△PNO，从而得到∠MOP=∠NOP．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定．
6.【答案】D
【解析】解：A.∵a3⋅a2=a5，∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意；
B.∵a3÷a1=a2，∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意；
C.∵(−a2)3=−a6，∴此选项的计算不正确，故此选项符合题意；
D.∵(ab3)2=a2b6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
A.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
C.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
D.根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、积的乘方和幂的乘方法则．
7.【答案】C
【解析】【分析】
依据折叠即可得到AB=AC，进而得出△ABC的形状．
本题主要考查了折叠问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确找到对称轴．
【解答】
解：由题可得，AB与AC可重合，即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：0.000005=5×10−6．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|25，
∴b>c>a>d．
故选：C．
把四个数字的指数化为11，然后比较底数的大小．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
13.【答案】1
【解析】解：(3−π)0=1，
故答案为：1．
直接利用零指数幂：a0=1(a≠0)求解可得．
本题主要考查零指数幂，解题的关键是掌握零指数幂：a0=1(a≠0)．
14.【答案】10
【解析】解：当等腰三角形的腰长是4cm时，
∵4+2>4，满足三角形三边关系定理，
∴此时等腰三角形的周长=4+4+2=10(cm)；
当等腰三角形的腰长是2cm时，
∵2+2=4，不满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的腰长不能是2cm，
∴等腰三角形的周长为10cm．
故答案为：10．
由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长是4cm，即可求出等腰三角形的腰长．
本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论．
15.【答案】3
【解析】解：去分母得：x=2(x−3)+k，
解得：x=6−k，
∵原方程无解，
∴x=6−k，x−3=0，
解得k=3，
故答案为：3．
先解方程得x=6−k，再由方程无解，可得6−k=3，求出k的值即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解时满足的条件是解题的关键．
16.【答案】(0,−1)
【解析】解：如图所示，过点N作NA⊥y轴于点A，
∵∠MBN=90°，NA⊥y轴，
∴∠OBM=90°−∠ABN=∠ANB，
在△BOM和△NAB中，
∠OBM=∠ANB∠BOM=∠NABMB=BN,
∴△BOM≌△NAB(AAS)，
∵M(3,0)，N(1,−4)，
∴AB=OM=3，AN=OB=1，
∴B点的坐标为(0,−1)，
故答案为：(0,−1)．
过点N作NA⊥y轴于点A，证明△BOM≌△NAB，根据全等三角形的性质，即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
17.【答案】解：(1)3mx−6my=3m(x−2y)；
(2)a2(x−y)+4b2(y−x)
=(x−y)(a2−4b2)
=(x−y)(a+2b)(a−2b)．
【解析】(1)直接提取公因式即可；
(2)先提取(x−y)，再利用平方差公式因式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．
18.【答案】解：(2x+1x+1+x−1)÷x+2x2+2x+1
=2x+1+(x−1)(x+1)x+1÷x+2(x+1)2
=x2+2xx+1⋅(x+1)2x+2
=x(x+2)x+1⋅(x+1)2x+2
=x(x+1)
=x2+x，
∵x满足x2+x+14=0，
∴x2+x=−14，
当x2+x=−14时，原式=−14．
【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19.【答案】解：(1)∠ABC的平分线BD交AC于点D，如图所示：

(2)①∵∠C=90°，∠A=38°，
∴∠ABC=180°−90°−38°=52°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=12∠ABC=26°，
∴∠ABD=180°，
∴∠ADB=180°−38°−26°=116°；
②过点D作DH⊥AB于点H，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DH=CD=2，
∴△ABD的面积=12AB⋅DH=12×5×2=5．
【解析】(1)根据作已知角的平分线的步骤作图即可；
(2)①根据角平分线定义和三角形内角和定理即可求出答案；
②过点D作DH⊥AB于点H，根据角平分线的性质得到DH=CD=2，即可求出△ABD的面积．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，三角形面积的计算，正确地作出图形是解题的关键．
20.【答案】解：∵a2+b2=4a+10b−29，
∴a2+b2−4a−10b+29=0．
∴a2−4a+4+b2−10b+25=0．
∴(a−2)2+(b−5)2=0．
∵(a−2)2≥0，(b−5)2≥0，
∴(a−2)2=0，(b−5)2=0．
∴a−2=0，b−5=0，即a=2，b=5，
∵|4−c|=1，
∴4−c=±1．
∴c=5或3．
当a=2，c=3，b=5时，不满足三角形的三边关系，构不成三角形；
当a=2，b=5，c=5时，能构成三角形，此三角形为等腰三角形．
【解析】先配方，利用非负数的和为零求出a、b的值，再利用绝对值的定义求出c的值，最后利用三角形的三边关系、三角形的分类得结论．
本题考查了非负数的性质和配方法，掌握非负数的性质、三角形的分类等知识点是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)50；
(2)①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC．
∵AB=8cm=AC，△MBC的周长是14cm，
∴BC=6cm；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：
∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，
∴点P与点M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值=AC+BC=14cm．
【解析】【分析】
本题主要考查了轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
(2)①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；②当点P与点M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
【解答】
解：(1)∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠A=40°．
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM=90°，
∴∠NMA=50°，
故答案为：50；
(2)①见答案；
②见答案。
22.【答案】解：(1)设原计划每天绿化道路x米，
800x+3200−800(1+20%)x=28，
解得x=100，
经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化道路100米．
(2)800÷100=8(天)，28−8=20(天)，
5000×8+5000×(1+40%)×20=180000(元)．
答：承包商共需支付工人工资180000(元)．
【解析】(1)设原计划每天绿化道路x米，根据题意列分式方程即可；
(2)根据题意列式计算即可．
本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23.【答案】(a+b)2=(a−b)2+4ab；
见解析，a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)；
±6．
【解析】解：(1)根据用不同的方法对图2的面积进行计算，发现的等式是(a+b)2=(a−b)2+4ab，
故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab；
(2)如图，
a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)．
(3)由(1)得(x−y)2=(x+y)2−4xy．
又∵x+y=3，xy=54，
∴(x−y)2=32−4×54=4，
∴x−y=± 4=±2，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=±6．
(1)图2可以看作是一个边长为(a+b)的大正方形，也可以看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为(a−b)的小正方形组成的图形，分别求出面积，即可得出答案；
(2)根据图2进行设计图形并对式子进行分解；
(3)根据(1)中所得等式，结合题意可得关于x，y的方程组，进而整体代入计算即可．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，注意数形结合思想的运用，正确进行计算是解题关键．
24.【答案】(1)解：① 8；(−2,−2)；
②如图所示，过点D作MN/​/y轴，交x轴于点N，过点P作PM⊥MN于点M，
∵点D(−2,−2)，
∴MP=DN=2，
又PD=BD，
∴Rt△BDN≌Rt△DPM(HL)，
∴DM=BN=6，MP=DN=2，
∴MN=MD+DN=8，
∴P(0,−8)；
(2)证明：∵OA=OB，CO⊥AB，
∴CA=CB，
又∵CA=AB，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
如图所示，在AQ上取点E，QE=CQ，
∵∠CQA=60°，
则△CQE是等边三角形，
∴CQ=CE，∠ECQ=60°，
∴∠ACE=∠BCQ=60°−∠ECB，
在△ACE和△BCQ中，
AC=BC∠ACE=∠BCQCE=CQ，
∴△ACE≌△BCQ(SAS)
∴AE=BQ，
∴AQ=AE+EQ=BQ+CQ．
【解析】(1)解：①过点D作DE⊥OA于点E，OF⊥y轴于点F，
∵点A(−4,0)，点B(4,0)均在坐标轴上，
∴OA=OB=4，
∴AB=8，
∵△ABC的面积为16，
∴OC=2×16AB=4，
则C(0.−4)，
∴S△AOC=12AO×OC=12×4×4=8，
∵D(m,m)，
∴DE=FH=−m，
又∠AED=∠CFD=90°，∠EAD=∠FCD=45°，
∴△ADE≌△CHD(AAS)，
∴AD=DC，
∵点A(−4,0)，点B(4,0)，
∴D(−2,−2)，
故答案为：8；(−2,−2)；
②如图所示，过点D作MN/​/y轴，交x轴于点N，过点P作PM⊥MN于点M，
∵点D(−2,−2)，
∴MP=DN=2，
又PD=BD，
∴Rt△BDN≌Rt△DPM(HL)，
∴DM=BN=6，MP=DN=2，
∴MN=MD+DN=8，
∴P(0,−8)；
(2)证明：∵OA=OB，CO⊥AB，
∴CA=CB，
又∵CA=AB，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
如图所示，在AQ上取点E，QE=CQ，
∵∠CQA=60°，
则△CQE是等边三角形，
∴CQ=CE，∠ECQ=60°，
∴∠ACE=∠BCQ=60°−∠ECB，
在△ACE和△BCQ中，
AC=BC∠ACE=∠BCQCE=CQ，
∴△ACE≌△BCQ(SAS)
∴AE=BQ，
∴AQ=AE+EQ=BQ+CQ．
(1)①过点D作DE⊥OA于点E，OF⊥y轴于点F，求出OC=4，证明△ADE≌△CHD(AAS)，得出AD=DC，则可得出答案；
②过点D作MN/​/y轴，交x轴于点N，过点P作PM⊥MN于点M，证明Rt△BDN≌Rt△DPM(HL)，得出DM=BN=6，MP=DN=2，则可得出答案；
(2)在AQ上取点E，QE=CQ，证明△ACE≌△BCQ(SAS)得出AE=BQ，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定与的质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用全等三角形的性质解决问题．