2024-2025学年河北省沧州市献县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省沧州市献县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分．）
1．计算的结果为
A．B．C．D．
2．如图，点，在上，△△，，，则的长为
A．4B．5C．6D．8
3．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是
A．等边对等角B．等角对等边
C．三角形具有稳定性D．等腰三角形“三线合一“
4．下列式子能写成或的是
A．B．C．D．
5．珍珍在硬纸板中通过如图所示的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，正六边形的四周是长方形），则的度数为
A．B．C．D．
6．下列正确的是
A．是分式B．
C．是最简分式D．
7．有两个形状如图所示的零件，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．小明测出其中一个零件的，，小亮测出另一个零件的，，则
A．只有小明测量的零件合格B．只有小亮测量的零件合格
C．两个零件均合格D．两个零件均不合格
8．嘉淇解方程的过程，下列判断正确的是
解：方程两边乘，得，第一步
整理，得，第二步
解得，所以原方程的解为．第三步
A．第一步开始出错B．第二步开始出错
C．第三步开始出错D．嘉淇解方程的过程正确
9．已知、、是三角形的边长，那么代数式的值是
A．小于零B．等于零C．大于零D．大小不确定
10．如图，，分别是边，上的点，点在射线上，下列条件不能说明平分的是
A．，，B．，
C．，D．，，
11．如图，在△中，边，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为
A．B．C．D．
12．已知．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是结论Ⅰ：若是单项式，则；结论Ⅱ：若为整数，则使的值为整数的共有4个
A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确B．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
C．只有结论Ⅰ正确D．只有结论Ⅱ正确
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是 ．
14．如图，在△中，点在的延长线上，且，添加的度数，使得△成为等腰三角形，写一个满足条件的的度数： ．
15．如图，在四边形中，，连接，，，，是的中点，连接并延长，交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在等边三角形中，是角平分线，动点从点出发，沿向终点运动，连接，将△沿进行折叠，点落在点处，．在点运动过程中，点与点之间的最小距离为 （用含的代数式表示）．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）按要求完成下列各小题．
（1）因式分解：；
（2）计算：．
18．（9分）按要求完成下列各小题．
（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中（不完整），每个小正方形的边长均为1，△与△关于轴对称．
（1）在图中补全轴和原点，并直接写出点关于轴对称的点的坐标；
（2）若，，是三个村庄，现要在公路边轴上）建一货栈，向，，三个村庄送农用物资，路线是或．试判断在公路边是否存在一点，使送货路线之和最短？若存在，请在图中画出点所在的位置；若不存在，请说明理由．
20．（9分）如图，已知在中，是高，是角平分线．
（1）若，求的最大内角的度数；
（2）若，，求的度数．
21．（9分）【新定义】如果a，b都是非零整数，且a＝4b，那么就称a是“4倍数”．
【验证】嘉嘉说：1002﹣962是“4倍数”，淇淇说：12×11+9×11﹣19×11也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？
【证明】设三个连续偶数的中间数是2n（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
22．（9分）如图，在等边三角形中，点，分别在边和边上（点不与点，重合，点不与点，重合），且．
（1）判断与之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△是等腰三角形；
（3）若△是锐角三角形，请直接写出度数的取值范围．
23．（9分）创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵．
（1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求的值；
（2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务．
①甲组完成该任务需要 天，乙组完成该任务需要 天；（均用含的式子表示）
②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用如下所示的作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．
24．（9分）【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，连接DE．
【特例解答】
（1）若∠A＝50°，求∠B的度数；
（2）若BD＝CF，BF＝CE，求证：点F在线段DE的垂直平分线上；
【拓展探究】
（3）若△BFD与△CEF全等（点B与点C是对应点），且△ABC的周长为14，BC＝4，求CE的长度；
（4）在（2）的基础上，试判断△ADE与△FDE是否存在关于直线DE成轴对称的情况，若存在，直接写出此时∠ADE的度数；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分．）
1．计算的结果为
A．B．C．D．
解：根据同底数幂的除法法则可得：
；
故选：．
2．如图，点，在上，△△，，，则的长为
A．4B．5C．6D．8
解：△△，
（全等三角形对应边相等），
又，
，
即的长为6，
故选：．
3．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是
A．等边对等角B．等角对等边
C．三角形具有稳定性D．等腰三角形“三线合一“
解：，是的中点，
（等腰三角形底边的中线，底边的高，顶角的平分线互相重合）．
工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“等腰三角形三线合一”．
故选：．
4．下列式子能写成或的是
A．B．C．D．
解：根据完全平方公式可知，、、均不能写成或的形式，
而选项．
故选：．
5．珍珍在硬纸板中通过如图所示的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕，正六边形的四周是长方形），则的度数为
A．B．C．D．
解：根据正六边形的每个内角都为可知：
，
，
故选：．
6．下列正确的是
A．是分式B．
C．是最简分式D．
解：、是整式不是分式，原说法错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，不是最简分式，原说法错误，不符合题意；
、，正确，符合题意；
故选：．
7．有两个形状如图所示的零件，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．小明测出其中一个零件的，，小亮测出另一个零件的，，则
A．只有小明测量的零件合格B．只有小亮测量的零件合格
C．两个零件均合格D．两个零件均不合格
解：如图，延长，，相交于点，
若，，则，
满足所在直线和所在直线的夹角为，零件为合格零件；
若，，
则，，
，
不满足所在直线和所在直线的夹角为，零件为不合格零件；
故选：．
8．嘉淇解方程的过程，下列判断正确的是
解：方程两边乘，得，第一步
整理，得，第二步
解得，所以原方程的解为．第三步
A．第一步开始出错B．第二步开始出错
C．第三步开始出错D．嘉淇解方程的过程正确
解：第三步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的解进行检验．
故选：．
9．已知、、是三角形的边长，那么代数式的值是
A．小于零B．等于零C．大于零D．大小不确定
解：
，
，，为三角形的边长，
，，
，，
，
故选：．
10．如图，，分别是边，上的点，点在射线上，下列条件不能说明平分的是
A．，，B．，
C．，D．，，
解：．根据，，，利用角平分线的判定可知平分，所以选项正确，不符合题意；
．在△和△中，
，
△△，
，
平分，所以选项正确，不符合题意；
．，，不能判定平分，所以选项不正确，符合题意；
．，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
平分，所以选项正确，不符合题意；
故选：．
11．如图，在△中，边，的垂直平分线交于点，连接，，若，则的度数为
A．B．C．D．
解：连接，延长交于，
，
由条件可知，
，，
，
故选：．
12．已知．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是结论Ⅰ：若是单项式，则；结论Ⅱ：若为整数，则使的值为整数的共有4个
A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确B．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
C．只有结论Ⅰ正确D．只有结论Ⅱ正确
解：由题意得，结论Ⅰ正确；
，
由条件可知或，
解得或1或7或，
若为整数，则使的值为整数的共有4个，结论Ⅱ正确，
故选：．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是 ．
解：根据题意可知，．
故答案为：．
14．如图，在△中，点在的延长线上，且，添加的度数，使得△成为等腰三角形，写一个满足条件的的度数：或或 ．
解：，
，
分情况讨论：
当时，，
；
当时，，
，
，
当时，；
综上所述，的度数为或或．
故答案为：或或．
15．如图，在四边形中，，连接，，，，是的中点，连接并延长，交于点，则图中阴影部分的面积为 24 ．
解：，
，，
是的中点，
，
在△和△中，
，
△△，
，
．
故答案为：24．
16．如图，在等边三角形中，是角平分线，动点从点出发，沿向终点运动，连接，将△沿进行折叠，点落在点处，．在点运动过程中，点与点之间的最小距离为 （用含的代数式表示）．
解：如图，连接，
在△中，，
当点在上时，点与点之间的距离最小为，
如图，当点在上时，
由折叠的性质得：，，，，
在等边三角形中，是角平分线，
，，
，
，
，
（等角对等边），
，
，
即在点运动过程中，点与点之间的最小距离为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）按要求完成下列各小题．
（1）因式分解：；
（2）计算：．
解：（1）原式；
（2）原式．
18．（9分）按要求完成下列各小题．
（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【解答】（1）原方程去分母，方程两边乘以，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原分式方程的解，
；
（2）原式
，
当时，
原式．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中（不完整），每个小正方形的边长均为1，△与△关于轴对称．
（1）在图中补全轴和原点，并直接写出点关于轴对称的点的坐标；
（2）若，，是三个村庄，现要在公路边轴上）建一货栈，向，，三个村庄送农用物资，路线是或．试判断在公路边是否存在一点，使送货路线之和最短？若存在，请在图中画出点所在的位置；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图，
由图可知点关于轴对称的点的坐标为；
（2）存在，理由如下：
不变，
送货路线之和最短即为最小，如图：点即为所求．
20．（9分）如图，已知在中，是高，是角平分线．
（1）若，求的最大内角的度数；
（2）若，，求的度数．
解：（1），
设，，，
，
，
解得：，
，，，
的最大内角的度数；
（2）是高，
，
，
，
是角平分线，
，
，
．
21．（9分）【新定义】如果a，b都是非零整数，且a＝4b，那么就称a是“4倍数”．
【验证】嘉嘉说：1002﹣962是“4倍数”，淇淇说：12×11+9×11﹣19×11也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？
【证明】设三个连续偶数的中间数是2n（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
解：验证：
根据平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算可知：
1002﹣962＝（100﹣96）（100+96）＝4×196，
∴1002﹣962是“4倍数”，故嘉嘉的说法正确；
12×11+9×11﹣19×11＝11×（12+9﹣19）＝11×2，
∴12×11+9×11﹣19×11不是“4倍数”，故淇淇的说法错误；
证明：
原式＝4n2﹣8n+4+4n2+4n2+8n+4
＝4n2+4n2+4n2﹣8n+8n+4+4
＝12n2+8
＝4（3n2+2），
∵n是整数，
∴3n2+2是整数，
∴这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
22．（9分）如图，在等边三角形中，点，分别在边和边上（点不与点，重合，点不与点，重合），且．
（1）判断与之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△是等腰三角形；
（3）若△是锐角三角形，请直接写出度数的取值范围．
【解答】（1）解：；理由如下：
三角形是等边三角形，
，
在△和△中，
，
△△，
；
（2）证明：由（1）得：△△，
，
三角形是等边三角形，
，
，
，
，
△是等腰三角形；
（3）解：度数的取值范围为；
当时，如图1，
由（2）得，
，
，
，
；
当点，，，重合时，如图2，此时，
△是锐角三角形时，．
23．（9分）创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵．
（1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求的值；
（2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务．
①甲组完成该任务需要 天，乙组完成该任务需要 天；（均用含的式子表示）
②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用如下所示的作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．
解：（1）甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵，
根据题意列分式方程得：
，
整理得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
的值是100；
（2）①甲组每天植树棵，乙组每天植树棵，
甲组完成160棵任务需要天，乙组完成200棵任务需要天，
故答案为：，；
②
，
，
，
，
即：，
，
甲组完成任务所用的时间更少，
嘉淇的说法正确．
24．（9分）【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，连接DE．
【特例解答】
（1）若∠A＝50°，求∠B的度数；
（2）若BD＝CF，BF＝CE，求证：点F在线段DE的垂直平分线上；
【拓展探究】
（3）若△BFD与△CEF全等（点B与点C是对应点），且△ABC的周长为14，BC＝4，求CE的长度；
（4）在（2）的基础上，试判断△ADE与△FDE是否存在关于直线DE成轴对称的情况，若存在，直接写出此时∠ADE的度数；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝50°，
∴；
（2）证明：连接DF，EF．
在△BFD和△CEF中，
，
∴△BFD≌△CEF（SAS），
∴DF＝EF，
∴点F在线段DE的垂直平分线上；
（3）解：∵△ABC的周长为14，BC＝4，AB＝AC，
∴AB＝AC＝5．
又∵D是AB的中点，
∴．
当△BFD≌△CEF时，，BF＝CE，
∴；
当△BFD≌△CFE时，；
（4）解：△ADE与△FDE存在关于直线DE成轴对称的情况；∠ADE的度数为60°；
∵△BFD≌△CEF，
∴∠BDF＝∠CFE．
∵∠DFC＝∠DFE+∠CFE＝∠B+∠BDF，
∴∠DFE＝∠B．
∵△ADE与△FDE关于直线DE成轴对称，
∴∠A＝∠DFE，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠DFE＝60°．
又∵DF＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝60°，
∴∠ADE＝60°．
作差法：通过作差，利用差的符号确定两个代数式的大小．
即要比较代数式，的大小，只要算的值．
若，则；若，则，若，则．
作差法：通过作差，利用差的符号确定两个代数式的大小．
即要比较代数式，的大小，只要算的值．
若，则；若，则，若，则．