2024-2025学年山东省济南市历城区七年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省济南市历城区七年级（下）期末数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2的算术平方根是( )
A. 2B. ±2C. 2D. ± 2
2.下列关于天气的图标是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.在全球对清洁能源需求日益迫切的当下，太阳能作为一种取之不尽、用之不竭的可再生能源，其开发与利用备受关注.某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为0.000000068米.其中数据0.000000068用科学记数法表示为( )
A. 6.8×108B. 6.8×10−8C. 6.8×10−7D. 0.68×106
4.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. (a+2)2=a2+2a+4
C. (−2a2b3)3=−8a6b9D. a12÷a6=a2
5.如图，在△ABC中，以A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AB于点E，已知△ADE的周长为13，AC=5，则AB的长为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
6.已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. a：b：c=2：2：3B. ∠A=∠B=2∠C
C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. (a+c)2+(a−c)2=2b2
7.在螳螂的示意图中，AB//DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC=124°，∠CDE=72°，则∠ACD=( )
A. 16°B. 28°C. 44°D. 45°
8.如图是一个H型连通器模型，甲、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面积是乙水箱底面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处(体积忽略不计)，现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止.下列图象能大致反映甲水箱的水面高度y与注水时间x之间关系的图象是( )
A. B. C. D.
9.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB=14，AC=12，S△BDC=20，则EF的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共有A，B，C，D，E五个项目，每位同学选择其中的两项(不考虑顺序)，以下是该班的报名表：
若选择BD组合的刚好有10人，则选择AC组合的人数是( )人．
A. 15B. 12C. 10D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.如图，已知△ABC≌△DEC，∠A=60°，∠B=40°，则∠DCE的度数为______．
12.四边形ABCD的边长如图所示，线段AC的长度随四边形形状的改变而变化，当△ABC为等腰三角形时，线段AC的长为______．
13.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的.则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______．
14.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为______．
15.如图，∠ABC=30°，AB=6，BC=2，点D是射线BA上的动点，以CD为边在CD左侧作等边三角形CDE，连接AE，则CE+AE的最小值是______．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题16分)
计算：
(1)a3⋅a4⋅2a−(a2)4+(−3a4)2；
(2)|−3 3|− 12−(13)−2+(3−π)0；
(3) 48÷ 3− 12× 18+ 24；
(4)(2a−5)(5+2a)．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：[(2x+y)(2x−y)+(x−y)2+x(x−2y)]÷2x，其中x=12，y=1．
18.(本小题6分)
读懂下面的推理过程，并填空(理由或数学式)．
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB//CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF=∠GHD，MG//FN.求证：∠EFN=∠G．

证明：如图2，延长EF交CD于点P．
∵AB//CD(已知)，
∴∠AEF=∠EPD(______).
又∵∠AEF=∠GHD(______)，
∴∠EPD= ______(等量代换)．
∴EP//GH(______).
∴∠EFN+ ______=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵ ______(已知)，
∴∠FNG+∠G=180°(______).
∴∠EFN=∠G(______).
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC=AE，E是△ABC外一点，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.求证：BC=DE．
20.(本小题9分)
(1)在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个△ABC，该三角形的三个顶点均在格点上．
①计算△ABC的面积______；
②在图(1)中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
③若点P为直线l上的一点，请在图(1)中标出使PA+PB的值最小时点P的位置．

(2)如图(2)，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上．
①请在网格中找出一个格点C，使△ABC成为轴对称图形，画出△ABC；
②符合条件的格点C有______个.
21.(本小题6分)
在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______；
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______；(精确到0.1)
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
22.(本小题7分)
阅读与思考：我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以帮助我们求代数式的最大值或最小值.例如：求a2+4a+5的最小值．
解：a2+4a+5=a2+4a+22−22+5=(a+2)2+1，∵(a+2)2≥0，∴(a+2)2+l≥1，
所以当(a+2)2=0时，即当a=−2时，a2+4a+5有最小值，最小值为1．
【直接应用】
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：x2+6x+______；
(2)2m2−4m+3的最小值等于______；
(3)当x=______时，多项式−x2+6x+3有最______值，是______；
【知识迁移】
(4)代数式4a2+b2+4ab−8a−4b+10的最小值为______．
23.(本小题10分)
如图1，长方形ABCD中，AB=6，动点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动到点D停止，已知点P在AB边上的速度为每秒1个单位长度，在BC边上的速度为每秒2个单位长度，在CD边上的速度为每秒3个单位长度.设运动时间为x秒，△APD的面积为S，S与x的关系图象如图2所示．
(1)AD= ______，a= ______；
(2)当S=12时，求x的值；
(3)如图3，连接AC，当点P在线段AC的垂直平分线上时，x= ______；当点P在∠BAC的角平分线上时，x= ______．
24.(本小题12分)
本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置(如顶点、中点、对称点等)、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题．
【问题】
如图1，已知等边三角形ABC中，AB=6，点P为边BC上一点，过P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F.求PE+PF的值．
【特殊化】
(1)因为点P在边BC上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时PF=0，PE恰为AC边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时PE的长，由此可得到特殊情形的结论：PE+PF的值等于______．
【一般化证明】
(2)在上述条件下，请在图1中添加高线BD，求证：PE+PF=BD．
【迁移应用】
(3)已知等边三角形ABC，AB=6．
①如图2，点P为△ABC内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为______；
②如图3，若点P在线段BC的延长线上，过点P分别向AC，AB作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段PE，PF的数量关系为______；
③如图4，若点P是等边三角形ABC外一点，且∠BPC=120°，连接AP，则用等式表示线段PB，PC，PA的数量关系为______．
25.(本小题12分)
类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动.请尝试用类比思维解决以下问题：
(1)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，直线l经过点C但不与边AB相交，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．
小明同学分析图形关系，发现了∠ACD=∠CBE，以及三角形全等，在此基础上，请进一步探索并直接写出AD，BE，DE之间的数量关系：______；
(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=∠B，且DA=DE，若BC=a，AB=b，求CE的长度(用含a，b的代数式表示)；
(3)如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=45°，点D，E分别是边AC，AB上的动点，以DE为腰向右作等腰△DEF，使得∠EDF=45°，且DE=DF，连接CF，∠FCA=22.5°；
①探索BE与AD的数量关系并说明理由；
②在点D，E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若AB=2，当点E，F，C共线时，直接写出线段DE的长．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.C
5.B
6.D
7.C
8.D
9.B
10.D
11.80°
12.3
13.13
14.5
15.6
16.(1)原式=2a8−a8+9a8
=10a8；
(2)原式=3 3−2 3−9+1
= 3−8；
(3)原式= 16− 9+2 6
=4−3+2 6
=1+2 6；
(4)原式=(2a−5)(2a+5)
=4a2−25．
17.解：原式=(4x2−y2+x2−2xy+y2+x2−2xy)÷2x
=(6x2−4xy)÷2x
=3x−2y；
当x=12，y=1时，
原式=3×12−2×1=−0.5．
18.证明：如图2，延长EF交CD于点P．
∵AB//CD(已知)，
∴∠AEF=∠EPD(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠AEF=∠GHD(已知)，
∴∠EPD=∠GHD(等量代换)．
∴EP//GH(同位角相等，两直线平行)．
∴∠EFN+∠FNG=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵MG//FN(已知)，
∴∠FNG+∠G=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠EFN=∠G(同角的补角相等)．
19.证明：∵∠BAD=∠CAE，∠CAD=∠CAD，
则∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
∠BAC=∠DAEAC=AE∠C=∠E，
∴△BAC≌△DAE(ASA)，
∴BC=DE．
20.(1)①△ABC的面积为12×(2+4)×3−12×2×2−12×4×1=9−2−2=5．
故答案为：5．
②如图(1)，△A1B1C1即为所求．
③如图(1)，连接AB1，交直线l于点P，连接BP，
此时PA+PB=PA+PB1=AB1，为最小值，
则点P即为所求．
(2)①如图(2)，△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4均满足题意．
②由图可知，符合条件的格点C有4个．
故答案为：4．
21.解：(1)根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60，
故答案为：0.60；
(2)因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
所以摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.6，0.4；
(3)因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球有30×0.6=18个，黑球有30×0.4=12个．
22.(1)∵x2+6x+9=(x+3)2，
∴在横线上添上9可使之成为完全平方式．
故答案为：9．
(2)由题意得，2m2−4m+3=2(m2−2m+1−1)+3
=2(m2−2m+1)+1
=2(m−1)2+1．
∵对于任意的实数m都有(m−1)2≥0，
∴2m2−4m+3=2(m−1)2+1≥1．
∴2m2−4m+3的最小值等于1．
故答案为：1．
(3)由题意得，−x2+6x+3=−(x2−6x+9)+12=−(x−3)2+12．
∵对于任意的实数x都有(x−3)2≥0，
∴−(x−3)2≤0．
∴−x2+6x+3=−(x−3)2+12≤12．
∴当x=3时，多项式−x2+6x+3有最大值，是12．
故答案为：3；大；12．
(4)由题意得，4a2+b2+4ab−8a−4b+10=(2a+b)2−4(2a+b)+10=(2a+b−2)2+6．
又∵对于任意的a，b都有(2a+b−2)2≥0，
∴4a2+b2+4ab−8a−4b+10=(2a+b−2)2+6≥6．
∴代数式4a2+b2+4ab−8a−4b+10的最小值为6．
故答案为：6．
23.(1)由题意可知，在BC边上运动时，面积为12AD⋅AB=12×6AD=24，
解得AD=8，点P在AB边上的速度为每秒1个单位长度，在BC边上的速度为每秒2个单位长度，在CD边上的速度为每秒3个单位长度．a=61+82+63=12，
故答案为：8，12；
(2)当S=12时，有两种情况：当点P在AB边上时，S=12ADAP=4x=12，解得x=3，
当点P在CD边上时，S=12AD⋅DP=4[6−3(x−61−82)]=12，解得x=11，
综上可知，x=3或11；
(3)连接AC，当点P在线段AC的垂直平分线上时，如图，连接AP，设BP=m，则AP=CP=8−m，
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BP2=AP2=62+m2=(8−m)2，
解得m=74，
x=6÷1+74÷2=2524；
当点P在∠BAC的角平分线上时，作PQ⊥AC于点Q，
∵∠ABC=90°，
∴BP=PQ，设BP=PQ=n，则CP=BC−BP=8−n，
∵∠BAP=∠QAP，∠B=∠AQP=90°，AP=AP，
∴△ABP≌△AQP(AAS)，
∴AQ=AB=6，
∵AB=6，BC=8，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=10，
∴CQ=AC−AQ=10−6=4，
在Rt△CPQ中，PQ2+CQ2=CP2，
∴n2+42=(8−n)2，解得n=3，
∴x=6÷1+3÷2=53，
故答案为：2524，53．
24.(1)当点P与顶点B重合时，此时PF=0(因为P、B重合，PF⊥AB，垂足F也与B重合)，PE为AC边上的高，
△ABC是等边三角形，AB=6，则AC=AB=6．
过B作BD⊥AC于D，则D为AC中点(等边三角形三线合一)，AD=12AC=3．
在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2，即BD= AB2−AD2，
把AB=6，AD=3代入可得：BD= 62−32= 36−9= 27=3 3，
此时PE=BD=3 3，PF=0，
所以PE+PF=3 3，
故答案为：3 3；
(2)作BD⊥AC交AC于点D，连接AP，
∵S△ABC=S△ABP+S△APC=12AB⋅PF+12AC⋅PE，
S△ABC=12AC⋅BD，
∴12AB⋅PF+12AC⋅PE=12AC⋅BD，
∵AB=AC，
∴PE+PF=BD；
(3)①连接PA、PB、PC，作AG⊥BC，
将△ABC分割为△ABP、△ACP、△BCP，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP.过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．
∴PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，
∴S△ABP=12AB⋅PF，S△ACP=12AC⋅PE，
S△BCP=12BC⋅PD⋅S△ABC=12AC⋅AG．
因为△ABC是等边三角形，
所以AB=AC=BC=6.将上述面积关系代入S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP可得：12BC⋅AG=12AB⋅PF+12AC⋅PE+12BC⋅PD，AG=PF+PE+PD．
在等边三角形ABC中，AB=6，
由(1)得等边三角形的高公式ℎ= 32a(a为边长)，可得AG= 32×6=3 3，
所以PD+PE+PF=BD=3 3．
故答案为：3 3；
②连接AP，
将图形分割为△ABP和△ACP，S△ABP−S△ACP=S△ABC，
对于△ABP，以AB为底，PF为高，面积S△ABP=12AB⋅PF对于△ACP，以AC为底，PE为高，面积S△ACP=12AC⋅PE．
对于△ABC，以BC为底，AG为高(AG是等边三角形ABC的高)，面积S△ABC=12AC⋅BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=6.将上述面积关系代入S△ABP−S△ACP=S△ABC可得：12AB⋅PF−12AC⋅PE=12BC⋅AG得PF−PE=BD．
在等边三角形ABC中，AB=6，由(1)得等边三角形的高公式ℎ= 32a(a为边长)，
AG= 32×6=3 3，AG= 32×6=3 3，PF−PE=3 3；
故答案为：PF−PE=3 3；
③延长PC至Q，使CQ=PB，连接AQ．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在四边形ABPC中，∠BPC=120°，
∴∠ABP+∠ACP=180°．
∵∠ACQ+∠ACP=180°，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠ABP=∠ACQPB=CQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)．
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，
∴∠CAQ+∠PAC=60°，即∠PAQ=60°，
∵AP=AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴PA=PQ．
∵PQ=PC+CQ，且CQ=PB，
∴PA=PB+PC．
25.(1)如图1，∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵CB=CA，
∴△BEC≌△CDA(AAS)，
∴EC=DA，BE=CD，
∴DE=CE+CD=AD+BE，
故答案为：DE=AD+BE；
(2)如图2，∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠DAB，∠B=∠ADE，
∴∠EDC=∠DAB，
∵DA=DE，
∴△DAB≌△EDC(AAS)，
∴AB=CD=b，BD=CE，
∴CE=BD=BC−CD=BC−AB=a−b；
(3)①BE=2AD，理由如下：
如图3，在AC上取一点M，使得DM=AE，连接FM，
∵∠A=45°，∠EDF=45°，
∴∠A=∠EDF，
∵∠EDC=∠A+∠AED，
∠EDC=∠EDF+∠FDM，
∴∠AED=∠FDM，
∵DE=DF，DM=AE，
∴△AED≌△MDF(SAS)，
∴AD=FM，∠DMF=∠A=45°，
∵∠FCD=22.5°，∠FMD=∠FCD+∠MFC，
∴∠MFC=22.5°，
∴∠MFC=∠FCD，
∴FM=CM，
∴CM=AD，
∴BE=AB−AE=AC−DM=AD+CM=2AD，
即BE=2AD；
②如图4，在DC取一点M，使DM=AE，连接FM，
∵∠A=45°，∠EDF=45°，
∴∠A=∠EDF，
∵∠EDC=∠A+∠AED，
∠EDC=∠EDF+∠FDM，
∴∠AED=∠FDM，
∵DE=DF，DM=AE，
∴△AED≌△MDF(SAS)，
∴∠A=∠FMA=45°，AD=MF，
∵∠FCA=22.5°，
∴∠FCA=∠MFC=22.5°，
∴∠EFD=∠FDC+∠FCD=67.5°，
∴∠EFD+∠MFC=90°，
∴∠DFM=90°，
∴△DFM是等腰直角三角形，
∴MC=AD=MF，DM= 2MF，
∵AB=2，
∴AC=AB=2，
∵AD+DM+MC=AC，
∴DE+ 2DE+DE=2，
∴DE=2− 2．
项目类型
A
B
C
D
E
报名人数
15
10
13
10
12
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601