2023-2024学年山东省济南市历城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市历城区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数 2的相反数是( )
A. 2B. 2C. − 2D. 22
2.下列图案中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.2024年3月25日鹊桥二号中继卫星顺利进入环月轨道飞行，其搭载的天线由精细的镀金钼丝编织而成，这些钼丝的直径仅为0.0000015米，用科学记数法表示该钼丝的直径是( )
A. 1.5×105米B. 1.5×106米C. 1.5×10−5米D. 1.5×10−6米
4.下列运算正确的是( )
A. a2+2a2=3a4 B. a6÷a2=a3 C. (a−b)2=a2−b2 D. (ab)3=a3b3
5.下列事件属于必然事件的是( )
A. 负数大于正数B. 经过红绿灯路口，遇到红灯
C. 抛掷硬币时，正面朝上D. 任意画一个三角形，其内角和是180°
6.满足下列条件的△ABC，其中是直角三角形的为( )
A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5B. AB：BC：AC=3：4：5
C. AB=1，BC=4，AC=5D. ∠A=30°，∠B=75°
7.若x2+kx+25=(x−5)2，那么k的值是( )
A. 5B. −5C. 10D. −10
8.绿色出行，健康出行，你我同行，某县为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，∠1=52°，∠BAC=48°，已知BC/​/AM，则∠ACB的度数为( )
A. 80°
B. 70°
C. 68°
D. 50°
9.如图1，在长方形ABCD中，动点P从点A出发，沿AB−BC−CD运动，至点D处停止.点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当y=8时，对应的x的值是( )
A. 4B. 4或12C. 4或16D. 5或12
10.如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=5，BC=7，点D，E分别是AB，BC边上的动点，满足AD=BE.连接AE，CD，则AE+CD的最小值为( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.9的平方根是______．
12.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．
13.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为______．
14.如图，已知AB=AC=5，BC=3，分别以A，B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，作直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为______．
15.由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为4，两直角边的和为6，则图中阴影部分的面积为______．
16.如图，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F.若BE=AC，AF=2，CF=8，那么BF的长度为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题16分)
计算：
(1)a⋅a7+(−3a4)2−a10÷a2；
(2)(4a3b−6a2b2+12ab3+2a2b2)÷2ab；
(3)(x+2)(x−5)−2x(x+4)；
(4)|−2|+(π−3)0−(13)−2．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：[(x+3y)2−(2x−3y)(−2x−3y)−xy]÷x.其中x=−1，y=2．
19.(本小题6分)
如图，点E在线段AC上，AB=CE，AC=CD，AB/​/CD.求证：∠ACB=∠CDE．
20.(本小题8分)
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点.已知△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A′B′C′；
(2)△A′B′C′的面积是______；
(3)在直线DE上找出点P，使|PA−PC|最大，并求出最大值为______.(保留作图痕迹)
21.(本小题8分)
在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近______；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)在(2)条件下，如果要使摸到白球的概率为35，需要往盒子里再放入多少个白球？
22.(本小题8分)
如图所示，在△ABC中：
(1)下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是______(将序号按正确的顺序写在横线上)．
①分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；
②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N；
③画射线BP，交AC于点D．
(2)能说明∠ABD=∠CBD的依据是______(填序号)．
①SSS
②ASA
③AAS
④角平分线上的点到角两边的距离相等
(3)如图，过点D作DE⊥AB于点E，若BC=12，△BCD的面积是24，△ADE的周长为12，求AD的长．
23.(本小题10分)
综合与实践
根据上述的素材，解决以下问题：
(1)根据上表中数据的规律，表格中空白处的数据为______；
(2)请写出双层部分的长度y(cm)与单层部分长度x(cm)之间的关系式______；
(3)根据成成同学的身高和习惯，背带的总长度为110cm时，背起来最舒适，请求出此时单层部分的长度．
24.(本小题12分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D是AC上的一点，CD=32.点P从B点出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t，连接AP．
(1)当t=3秒时，求AP的长度；
(2)当点P在线段AB的垂直平分线上时，求l的值；
(3)过点D作DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？请直接写出t的值．
25.(本小题12分)
【发现问题】如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是______，∠BDC= ______°.
【类比探究】如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由．
【解决问题】如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，已知AB= 5，BC=1，求BD的长．
答案解析
1.C
【解析】解：实数 2的相反数是− 2．
故选：C．
2.D
【解析】解：A，B，C选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
3.D
【解析】解：0.0000015米=1.5×10−6米．
故选：D．
4.D
【解析】解：A、a2+2a2=3a2，故A不符合题意；
B、a6÷a2=a4，故B不符合题意；
C、(a−b)2=a2−2ab+b2，故C不符合题意；
D、(ab)3=a3b3，故D符合题意；
故选：D．
5.D
【解析】解：A、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意；
B、经过红绿灯路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、抛掷硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意，
故选：D．
6.B
【解析】解：A、∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠C+∠B+∠A=180°，
∴最大角为∠C=53+4+5×180°=75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
B、设AB、BC、AC分别为3k，4k，5k，
∵(3k)2+(4k)2=25k2=(5k)2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
故本选项符合题意；
C、∵AB=1，BC=4，AC=5，1+4=5，
∴不符合三角形三边关系，
故本选项不符合题意；
D、∵∠A=30°，∠B=75°，∠C+∠B+∠A=180°，
∴∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故该选项不符合题意；
故选：B．
7.D
【解析】解：∵x2+kx+25=(x−5)2，
∴x2+kx+25=x2−10x+25，
∴k=−10，
故选：D．
8.A
【解析】解：∠CAM=180°−∠1−∠CAB=180°−52°−48°=80°，
∵BC/​/AM，
∴∠ACB=∠CAM=80°，
故选：A．
9.B
【解析】解：当点P运动到点B处时，x=6，y=12，即AB=6，S△ABC=12AD⋅AB=12，
∴AD=4，
∴BC=4，DC=6，
当点P在AB上运动时，S△ADP=12AD⋅AP=8，
∴AP=4，
∴x=4，
当点P在DC上运动时，S△ADP=12AD⋅DP=8，
∴DP=4，
∴x=6+4+6−4=12，
故选：B．
10.B
【解析】解：过点A作AF⊥AB，使AF=AB=5，连接DF，CF，过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于B，如下图所示：
∵∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠ABC=90°，
在△ADF和△BEA中，
AF=AB∠FAD=∠ABC=90°AD=BE，
∴△ADF≌△BEA(SAS)，
∴FD=AE，
∴AE+CD=FD+CD，
根据“两点之间线段最短”得：FD+CD≥CF，
∴FD+CD的最小值为线段CF的长，
即AE+CD的最小值为线段CF的长，
∵AF⊥AB，FH⊥CB，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠ABH=∠H=90°，
∴四边形AABHF为矩形，
∴BH=AF=AB=5，FH=AB=5，
∴CH=BC+BH=7+5=12，
在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF= CH2+FH2=13．
∴AE+CD的最小值为13．
故选：B．
11.±3
【解析】解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根是±3，
故答案为：±3．
12.13
【解析】解：通过连接小正方形的对角线，如图，
9个小正方形被分成18个全等的等腰直角三角形，其中阴影区域占6个全等的等腰直角三角形，
∴P(最终停留在阴影区域)=618=13，
故答案为：13．
13.40°或100°
【解析】解：△ABC，AB=AC．
有两种情况：
(1)顶角∠A=40°，
(2)当底角是40°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°−40°−40°=100°，
∴这个等腰三角形的顶角为40°和100°．
故答案为：40°或100°．
14.8
【解析】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC
=DA+DC+BC
=AC+BC
=5+3
=8．
故答案为：8．
15.4
【解析】解：设较长直角边为a，较短直角边为b，
则12ab=4a+b=6，
∴阴影部分的面积=(a−b)2=(a+b)2−4ab=(4+2)2−4×8=4．
故答案为：4．
16.12
【解析】解：如图，延长AD到G使DG=AD，连接BG，
在△ACD与△GBD中，
CD=BD∠ADC=∠BDGAD=DG，
∴△ACD≌△GBD(SAS)，
∴∠CAD=∠G，AC=BG，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠G=∠BEG，
∵∠BEG=∠AEF，
∴∠AEF=∠EAF．
∴EF=AF，
∴AF+CF=BF−AF，
即2+8=BF−2，
∴BF=12，
故答案为：12．
17.解：(1)a⋅a7+(−3a4)2−a10÷a2
=a8+9a8−a8
=9a8；
(2)(4a3b−6a2b2+12ab3+2a2b2)÷2ab
=4a3b÷2ab−6a2b2÷2ab+12ab3÷2ab+2a2b2÷2ab
=2a2−3ab+6b2+ab
=2a2−2ab+6b2；
(3)(x+2)(x−5)−2x(x+4)
=x2−5x+2x−10−2x2−8x
=−x2−11x−10；
(4)|−2|+(π−3)0−(13)−2
=2+1−9
=−6．
【解析】(1)先算同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，再合并同类项即可；
(2)利用整式的除法的法则进行运算即可；
(3)先算多项式乘多项式，单项式乘多项式，再合并同类项即可；
(4)先算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可．
18.解：[(x+3y)2−(2x−3y)(−2x−3y)−xy]÷x，
=(x2+6xy+9y2−9y2+4x2−xy)÷x，
=(5x2+5xy)÷x，
=5x+5y，
当x=−1，y=2时，原式5x+5y=5×(−1)+5×2=5．
【解析】先化简式子，再把x=−1，y=2代入计算即可．
19.证明：∵AB/​/CD，
∴∠A=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
AB=CE∠A=∠DCEAC=CD，
∴△ABC≌△CDE(SAS)，
∴∠ACB=∠CDE．
【解析】利用SAS证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的对应角相等求证即可．
20.(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(2)5．
(3) 10．
【解析】
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)利用割补法求三角形的面积即可．
(3)延长AC，交直线DE于点P，则点P即为所求．利用勾股定理求出AC的长，即可得出答案．
21.(1)0.50；
(2)20×0.5=10(个)，20−10=10(个)；
答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有10个、10个；
(3)设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：10+x20+x=35，
解得：x=5；
答：需要往盒子里再放入5个白球．
【解析】
(1)根据题意容易得出结果；
(2)由40×0.5=20，40−20=20，即可得出结果；
(3)设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可．
22.(1)②①③；
(2)①；
(3)如图2，过D点作DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE，
∵BC=12，△BCD的面积是24，
∴12⋅BC⋅DF=24，即12×12×DF=24，
解得DF=4，
∴ED=DF=4，
∵△ADE的周长为12，
∴AE+AD=12−4=8，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2=AE2+ED2，
∴AD2=(8−AD)2+42，
解得AD=5．
【解析】
(1)根据作角平分线的方法进行判断；
(2)利用作图和全等三角形的判定方法进行判断；
(3)过D点作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DF=DE，再利用勾股定理列方程，然后解方程即可．
23.(1)71．
(2)y=75−12x.
(3)∵x+y=110，
∴x+75−12x=110，
解得：x=70，
答：此时单层部分的长度70cm．
【解析】
(1)由表格可知，单层部分的长度2cm，双层部分的长度就减少1cm，进而得出答案；
(2)由表格可知，单层部分的长度2cm，双层部分的长度就减少1cm，进而得出答案；
(3)由已知可得x+y=110，再将y=75−12x代入上式，列出关于x的方程式，即可得出答案．
本题主要考查一次函数的应用，求出函数的表达式是解题的关键．
24.解：(1)根据题意，得BP=t，PC=8−t=8−3=5，AC=4，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP= AC2+PC2= 41．
答：AP的长为 41；
(2)在Rt△ABC中，AC=4，BC=8，
根据勾股定理，得AB= 42+82=4 5，
当点P在线段AB的垂直平分线上时，即PA=PB，
则t2=(8−t)2+42，
解得t=5；
(3)t的值为5或11；理由如下：
①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：

则∠AED=∠PED=90°，
∴∠PED=∠ACB=90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD=∠CPD，
又∵PD=PD，
∴△PDE≌△PDC(AAS)，
∴ED=CD=32，PE=PC=8−t，
∴AD=AC−CD=4−32=52，
∴AE=2，
∴AP=AE+PE=2+8−t=10−t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：42+(8−t)2=(10−t)2，
解得：t=5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：

同①得：△PDE≌△PDC(AAS)，
∴ED=CD=32，PE=PC=t−8，
∴AD=AC−CD=4−32=52，
∴AE=2，
∴AP=AE+PE=2+t−8=t−6，
在Rt△APC中，由勾股定理得：42+(t−8)2=(t−6)2，
解得：t=11；
【解析】(1)根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；
(2)根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
(3)根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．
25.(1)BE=CF，30；
(2)BE=CF，∠BDC=60°，理由如下：
∵∠BAC=∠EAF=120°，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAF−∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴BE=CF，∠AEB=∠AFC，
∵∠EAF=120°，AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=30°，
∴∠BDC=∠BEF−∠EFD=∠AEB+30°−(∠AFC−30°)=60°；
(3)如图3，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EC，
∵∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
AE=AB∠EAC=∠BADAC=AD，
∴△EAC≌△BAD(SAS)，
∴BD=CE．
∵AE=AB= 5，
∴BE= 10，∠ABE=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，
∴EC= ( 10)2+12= 11，
∴BD=CE= 11．
【解析】
(1)利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；
(2)利用SAS证明△BAE≌△CAF，根据等腰三角形的性质即可得出结论；
(3)如图3，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解．生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1
如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短(总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计)
素材2
对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是x(cm)，双层部分的长度是y(cm)，得到如下数据：
单层部分的长度x(cm)
0
2
4
6
8
⋯
150
双层部分的长度y(cm)
75
74
73
72
⋯
0