河北省秦皇岛市山海关第一中学2025届高三复读班暑假检测数学试题含解析

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注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在本试卷和答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B 9.BCD 10.ACD 11.BD
12.16 13.17 14.11−2π
15.
（1） 因为f(x)=x2+aex−1，所以f′(x)=2xex−1−(x2+a)ex−1(ex−1)2=2x−x2−aex−1，（2 分）
所以f′(1)=1−a
因为曲线f(x)=x2+aex−1在点(1,f(1))处的切线与直线x+4y+2=0垂直，所以(1−a)×(−14)=−1，（4 分）
解得a=−3 （5 分）
（2） 因为f(x)=x2−3ex−1，所以f′(x)=2x−x2+3ex−1=−(x−3)(x+1)ex−1
令f′(x)=0，解得x=3或x=−1；令f′(x)3或x0，解得−10，所以ba=36或ba=−36（舍去），所以ba=36 （6 分）
（2） 因为∠CAD=∠BAD，设△ABC中BC边上的高为h，所以S△ADBS△ADC=12AD⋅ABsin∠BAD12AD⋅ACsin∠CAD=12BD⋅h12CD⋅h，所以ABAC=BDCD ，（7 分）
设ABAC=BDCD=m(m>0)，
由a=6，ba=36，BD+CD=BC=6，得b=3，则AB=3m，BD=6m1+m，CD=61+m ，（9 分）
在△ABC中，由余弦定理得csC=CA2+CB2−AB22CA⋅CB=(3)2+62−(3m)22×3×6，（11 分）
设AC的中点为E，连接DE，如图所示，由DA=DC，得DE⊥AC，
在Rt△CED中，csC=CECD=3(1+m)12，（13 分）
所以3(1+m)12=(3)2+62−(3m)22×3×6，解得m=3或m=−4（舍去），（14 分）
所以csC=33 ，（15 分）
18.
（1） 设M(1,t)，N(1,n)，所以kOM=t1=t，kON=n1=n，
又OM⊥ON，所以kOM⋅kON=tn=−1，
又k1=t1−(−2)=t3，k2=n1−(−2)=n3，所以k1⋅k2=t3⋅n3=−19 ，（2 分）
（2） 由题意可知a=2ca=32 c2=a2−b2，解得a=2b=1c=3 ，（4 分）
所以椭圆E的方程为x24+y2=1 ，（5 分）
当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx+m，B(x1,y1)，C(x2,y2)，
由y=kx+mx24+y2=1消去y，得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，则Δ=(8km)2−4(1+4k2)(4m2−4)=16(4k2−m2+1)>0，
所以x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2 ，（7 分）
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2−4k21+4k2 ，（8 分）
由（1）知k1⋅k2=−19，所以kAB⋅kAC=y1(x1+2)⋅y2(x2+2)=−19，
整理，得9y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0，所以9×m2−4k21+4k2+4m2−41+4k2+2×(−8km1+4k2)+4=0，
整理，得13m2−16km−20k2=0，（10 分）
即(13m+10k)(m−2k)=0，解得m=−1013k或m=2k ，（12 分）
当m=2k时，直线BC的方程为y=k(x+2)，过定点A(−2,0)，不符合题意，舍去；
当m=−1013k时，直线BC的方程为y=k(x−1013)，过定点P(1013,0) ，（14 分）
当直线BC的斜率不存在时，易得M(1,1)，N(1,−1)
所以直线AM的方程为y=13(x+2)。
由y=13(x+2)x24+y2=1消去y，得13x2+16x−20=0，解得x=−2（舍去）或x=1013，
所以B(1013,1213)，同理得C(1013,−1213)，此时直线BC的方程是x=1013，过定点P(1013,0) ，（16 分）
综上，直线BC过定点P(1013,0)。
又|OP|=1013，所以点O到直线BC的距离的最大值为1013 ，（17 分）
19.
（1） 由题意，如令n=1，则|a1−b1|