天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（含答案解析）

这是一份天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（含答案解析），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分)
1. 设随机变量，，则（ ）
2. 设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（ ）
3. 在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（ ）
4. 随机变量的分布列如下，且，则（ ）
5. 某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种
6. 多项式的展开式中含项的系数为（ ）
7. 下列命题正确的是（ ）
8. 定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（ ）
9. 已知函数.若函数有8个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)
10. 已知在的二项展开式中，所有项的系数和为，所有项的二项式系数和为，则__________________.
11. 袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________.
12. 函数的最小值为______．
13. 天津某中学在学校发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为_________.
14. 中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产件、件、件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为，，.现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是____________.
15. 已知是曲线上的点，是曲线上的点，恒成立，则实数a的取值范围是______．
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
16. 甲､乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮是否命中互不影响.
(1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
(2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数X的分布列和数学期望.
17. 如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
18. 已知等差数列的公差，它的前项和为，若=70，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)中的第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来的顺序排成一个新数列，求的前n项和.
(3)已知数列，，若数列的前项和为，求证：.
19. 已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由.
20. 设函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)当时恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：计数原理与概率统计、函数与导数、空间向量与立体几何、数列、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
A．0.65
B．0.7
C．0.35
D．0.25
A．
B．
C．
D．
A．- 60
B．- 20
C．20
D．60
A．，
B．，
C．，
D．，
A．36
B．40
C．32
D．42
A．
B．
C．2
D．4
A．已知随机变量，若，则
B．若随机变量满足，则
C．已知随机变量，若，则
D．已知随机变量，则
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
题型
数量
单选题
9
填空题
6
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
9
适中
8
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
指定区间的概率
2
0.85
求超几何分布的概率
3
0.65
求二项展开式的第k项；二项式系数的增减性和最值
4
0.85
利用随机变量分布列的性质解题；离散型随机变量的方差与标准差；由离散型随机变量的均值求参数
5
0.85
相邻问题的排列问题；不相邻排列问题
6
0.85
求指定项的系数；两个二项式乘积展开式的系数问题
7
0.85
独立重复试验的概率问题；二项分布的方差；二项分布的均值
8
0.65
比较对数式的大小；比较函数值的大小关系；比较指数幂的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性
9
0.4
根据函数零点的个数求参数范围；函数与方程的综合应用；根据二次函数零点的分布求参数的范围；用导数判断或证明已知函数的单调性
二、填空题
10
0.94
二项式的系数和；二项展开式各项的系数和
11
0.85
计算古典概型问题的概率；计算条件概率
12
0.85
由导数求函数的最值（不含参）
13
0.65
分组分配问题；排列组合综合；分类加法计数原理；分步乘法计数原理及简单应用
14
0.65
利用全概率公式求概率；计算古典概型问题的概率；计算条件概率
15
0.85
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究不等式恒成立问题；求曲线切线的斜率（倾斜角）；求过一点的切线方程
三、解答题
16
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；独立重复试验的概率问题；利用互斥事件的概率公式求概率；求离散型随机变量的均值
17
0.65
面面角的向量求法；点到平面距离的向量求法；证明线面垂直
18
0.65
利用定义求等差数列通项公式；错位相减法求和；等差数列前n项和的基本量计算；分组（并项）法求和
19
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中的定值问题；求直线与椭圆的交点坐标
20
0.4
利用导数证明不等式；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究不等式恒成立问题
序号
知识点
对应题号
1
计数原理与概率统计
1,2,3,4,5,6,7,10,11,13,14,16
2
函数与导数
8,9,12,15,20
3
空间向量与立体几何
17
4
数列
18
5
平面解析几何
19