2024-2025学年天津市西青区杨柳青第一中学高一下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市西青区杨柳青第一中学高一下学期4月期中考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足3+4iz=5i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.下列说法正确的个数为( )
①用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台；
②在▵ABC中，“若sinA>sinB,则A>B；
③平面向量a,b,c，若a//b,b//c则a//c；
④若非零向量a,b满足a·b>0则a与b的夹角为锐角．
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.若m、n、l为三条不同的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A. 如果m⊂α，l//m，则l//α
B. 如果m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
C. 如果α//β，l⊂β，则l//α
D. 如果α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
4.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( )
A. 34AB−14ACB. 14AB−34ACC. 34AB+14ACD. 14AB+34AC
5.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,c=2 2,B=45°，则sinC=( )
A. 441B. 45C. 2 55D. 4 4141
6.如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45∘，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是( )
A. 2+ 2B. 1+ 2C. 12+ 22D. 1+ 22
7.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A. 15mB. 15 2mC. 15 3mD. 15 6m
8.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为矩形，EF//面ABCD，记该刍甍的体积为V1，三棱锥E−ABD的体积为V2，AB=a，EF=b，若V2V1=25，则ba=( )
A. 1B. 12C. 13D. 23
9.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知▵ABC的面积为S，2a+b=4，c(a+b−c)sinA+sinB+sinC=6S，CA=3CD−2CB，则CD的最小值为( )
A. 2B. 2 23C. 3D. 2 33
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
10.已知复数z=1+3i2+i，则|z|= ．
11.已知平面向量a，b，a=2，b=1且a与b的夹角为π3，则a+2b= ．
12.已知底面半径为1的圆锥侧面积是它底面积的两倍，则圆锥的体积为 ．
13.已知向量a=(m,2)且m≠0，b= 3,1，若向量a与向量b的夹角是120°，则m的值是 ；向量a在向量b上的投影向量的坐标是 ．
14.已知▵ABC等边三角形，点M是▵ABC内一点，且AM=λAB+μAC，若λ+μ=12，则MB·MC的最小值为 ．
15.在▵ABC中，AB=3，AC=2，M，N分别为边AB，AC的中点，若点E在线段MN上，且NM=3EM，BE=xAB+yAC，则xy= .若∠BAC=60°，点P为线段MN上的动点，则BP⋅CP的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（14分）已知复数z=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i．
(Ⅰ)当实数m取什么值时，复数z是：
①实数；
②纯虚数；
(Ⅱ)当m=0时，化简z2z+5+2i．
17.（15分）在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c−2b+2acsC=0．
(1)求角A的大小；
(2)若a= 3，c= 62，
①求sin(2C+A)的值；
②求▵ABC的面积．
18.（15分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，且▵ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．
(1)求证：直线AB1//平面BC1D
(2)求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1
(3)求BC1与平面A1ACC1所成的角的正切值．
19.（15分）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为底面中心，M、E分别为PA、PD的中点，PD⊥DC，且DP=DC．
(1)求证：MO//平面PDC；
(2)求异面直线MO与EC所成角的余弦值；
(3)若F、N分为CE、DE的中点，点G在线段PB上，且PG=3GB．
求证：平面GFN平行平面ABCD．
20.（16分）在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若平面向量m⊥n，其中m= 3a,sinA，n=csB,−b．
(1)求角B的大小；
(2)若a= 3，b=3，求▵ABC的面积;
(3)若b=3，求aca+c的最大值．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.A
5.C
6.A
7.D
8.B
9.D
10. 2
11.2 3
12. 33π
13.−2 3 ；− 3,−1
14.−14或−0.25
15.−4 ； −1114
16.试题解析：(Ⅰ)①当m2−3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．
②当2m2−3m−2=0m2−3m+2≠0时，解得m=−12或m=2m≠1且m≠2,
即m=−−12时，复数z为纯虚数．
(Ⅱ)当m=0时，z=−2+2i，
∴z2z+5+2i=−8i3+4i=−8i3−4i25=−3225−2425i．
考点：复数的代数表示法及其几何意义

17.解：(1)法一：
由c−2b+2acsC=0，根据正弦定理有sinC−2sinB+2sinAcsC=0，
因为sinB=sin(A+C)，
所以sinC−2sin(A+C)+2sinAcsC=sinC−2sinAcsC−2csAsinC+2sinAcsC=0，
整理得sinC−2csAsinC=0，
因为sinC≠0，所以csA=12，
因为A∈0,π，所以A=π3．
法二：
由c−2b+2acsC=0，根据余弦定理有c−2b+2a⋅a2+b2−c22ab=0．
整理得bc−2b2+a2+b2−c2=0，即b2+c2−a2=bc．
∴csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
因为A∈0,π，所以A=π3．
(2)因为a= 3，c= 62，由(1)知A=π3，
①由正弦定理asinA=csinC， 3 32= 62sinC，∴sinC= 64，
又因为cb=3，∴3