天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了04）， 下列说法正确的个数为等内容，欢迎下载使用。
（2025.04）
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题只有一个正确答案）
1. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 下列说法正确的个数为（ ）
①用一个平面去截圆锥，截面与底面之间部分是圆台；
②在中，“若则；
③平面向量 ，若则 ；
④若非零向量 满足则 与的夹角为锐角.
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 若、、为三条不同的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A 如果，，则
B. 如果，，，，则
C. 如果，，则
D. 如果，，，则
4. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
5. 在中，角所对的边分别为．若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图一个水平放置图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（ ）
A. B. C. D.
8. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面为矩形，面，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（ ）

A. 1B. C. D.
9. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10. 已知复数z＝，则|z|＝________.
11. 已知平面向量，，，且与的夹角为，则_________.
12. 已知底面半径为1的圆锥侧面积是它底面积的两倍，则圆锥的体积为_____________.
13. 已知向量且，，若向量与向量的夹角是，则的值是______；向量在向量上的投影向量的坐标是______.
14. 已知等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________.
15. 在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则_________.若，点为线段上的动点，则的最小值为_______________.
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. 已知复数．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：
①实数；
②纯虚数；
（Ⅱ）当时，化简．
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A大小；
（2）若，，
①求的值；
②求的面积．
18. 如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点.
（1）求证: 直线平面
（2）求证：平面 平面
（3）求与平面所成的角的正切值.
19. 在四棱锥 中，底面为平行四边形，为底面中心，、分别为、的中点，，且.
（1）求证:平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若、分为、的中点，点在线段上，且.
求证: 平面平行平面
20. 在中，角的对边分别为，若平面向量，其中 ，.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积;
（3）若，求的最大值.
2024-2025学年度第二学期高一年级期中考试
数学试卷
（2025.04）
一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题只有一个正确答案）
1. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由等式先解出复数，然后再求出共轭复数，从而确定对应的点所在象限.
【详解】∵，
∴，
∴，在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D．
2. 下列说法正确的个数为（ ）
①用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台；
②在中，“若则；
③平面向量 ，若则 ；
④若非零向量 满足则 与的夹角为锐角.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】对于①，根据圆台的定义即可判断；对于②，在中，根据正弦定理及大边对大角即可判断；对于③，考虑到可能为即可判断；对于④，由得到即可判断.
【详解】对于①，用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分才是圆台，故①错误；
对于②，在中，若由正弦定理可得
根据三角形中大边对大角可得，故②正确；
对于③，若，则不一定平行，故③错误；
对于④，由，可得，此时，
不是锐角，故④错误.
综上，①③④错误，②正确，
故选：A
3. 若、、为三条不同的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 如果，，则
B. 如果，，，，则
C. 如果，，则
D. 如果，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用面面平行的性质可判断C选项；利用已知条件判断线面、线线、面面的位置关系，可判断ABD选项.
【详解】对于A选项，若，，则或，A错；
对于B选项，若，，，，则或、相交，B错；
对于C选项，若，，则，C对；
对于D选项，若，，，则或、异面，D错.
故选：C.
4. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5. 在中，角所对的边分别为．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦定理得到，再利用正弦定理计算得到答案
【详解】根据余弦定理：，故，
根据正弦定理：，即，解得.
故选：.
【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积．
【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F，
则

确定原平面图形的形状及部分边长：
在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍．
已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下：

将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得．
原平面图形的面积是．
故选：A．
7. 如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求.
【详解】在中，，
则，
由正弦定理得，
解得(m），
又在点测得塔顶的仰角为，即，
在中，(m).
故选：D.
8. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面为矩形，面，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用等体积法可得，进而可得，然后根据组合体的体积结合题意可得和的关系，即可.
【详解】因为面 ，且底面为矩形，
所以，
所以，
所以，
所以，整理得，即，
故选：B
9. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】由及面积公式与正弦定理求得， 由得，由平方结合二次函数求的最小值.
【详解】，，
由正弦定理得，
，，
，
，.
，，当且仅当时取等号.
，
.
.
故选：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10. 已知复数z＝，则|z|＝________.
【答案】
【解析】
【详解】|z|＝
11. 已知平面向量，，，且与的夹角为，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，且与的夹角为，
所以，
所以.
故答案为：
12. 已知底面半径为1的圆锥侧面积是它底面积的两倍，则圆锥的体积为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的母线为，高为，根据圆锥的侧面积公式求出，即可求出，再由圆锥的体积公式计算可得.
【详解】设圆锥的母线为，高为，又底面半径，依题意，所以，
则，
所以圆锥的体积.
故答案为：
13. 已知向量且，，若向量与向量的夹角是，则的值是______；向量在向量上的投影向量的坐标是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，以及平面向量的夹角公式，即可求解.
【详解】向量且，，
则，
故，解得；
向量在向量上投影向量是：
.
故答案为：①；②.
14. 已知等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________.
【答案】##
【解析】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点在内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可.
【详解】
如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线
分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，设的边长为2，
则，，
设，则，，
因为，且，
所以，且，
即，可得.
因，点在内部，所以，
可得，所以.
所以，
所以，
所以当时， 取最小值.
故答案为：
15. 在中，，，，分别为边 ，的中点，若点在线段上，且，，则_________.若，点为线段上的动点，则的最小值为_______________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理解决第一空，建立平面直角坐标系，设，，表示出点坐标，再由坐标法求数量积，最后由二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意
，
又，且、不共线，所以，所以；
如图建立平面直角坐标系，则，，所以，，
所以，
因为点为线段上的动点，所以设，，
则，则，
所以，，
所以
，
所以当时取得最小值，最小值为；

故答案为：；
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. 已知复数．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：
①实数；
②纯虚数；
（Ⅱ）当时，化简．
【答案】（Ⅰ）①m=1或m=2；②m=﹣（Ⅱ）
【解析】
【详解】试题分析：（I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．（II）当m=0时，z=-2+2i，再利用复数的运算法则即可得出
试题解析：（Ⅰ）①当m2﹣3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．
②当时，解得，
即m=﹣时，复数z为纯虚数．
（Ⅱ）当m=0时，z=﹣2+2i，
∴．
考点：复数的代数表示法及其几何意义
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，，
①求的值；
②求的面积．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）法一：根据正弦定理及三角恒等变换求解；
法二：根据余弦定理求解.
（2）①根据正弦定理求，再由和差公式求.
②法一：由解得，再用求面积.
法二：先求，再用求面积.
【小问1详解】
法一：
由，根据正弦定理有，
因为，
所以，
整理得，
因为，所以，
因为，所以．
法二：
由，根据余弦定理有．
整理得，即．
∴，
因为，所以．
【小问2详解】
因为，，由（1）知，
①由正弦定理，，∴，
又因为，所以为锐角，∴，
所以，，
所以.
②法一：由，将，，代入，
解得，
∴.
法二：∵，
∴，
∴．
18. 如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点.
（1）求证: 直线平面
（2）求证：平面 平面
（3）求与平面所成的角的正切值.
【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）先证明，，再由线面垂直的判定定理证明平面，再用面面垂直的判定定理证明即可；
（3）由（2）可知平面，先找到在平面内的射影，再根据线面角的定义，得到即为与平面所成的角，在中求解即可.
【小问1详解】
设，连接，
在三棱柱中， 底面，且为正三角形，
三棱柱为正三棱柱，侧面为正方形，
为的中点，又为的中点，在中有，
平面，平面，平面；
【小问2详解】
连接，
底面，平面， ，
又为正三角形，为的中点，，
又，又平面，平面，
平面，又平面，平面平面；
【小问3详解】
由（2）可知平面，即为在平面内的射影，
即为与平面所成的角，
三棱柱为正三棱柱，且，
，，
.
19. 在四棱锥 中，底面为平行四边形，为底面中心，、分别为、的中点，，且.
（1）求证:平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若、分为、的中点，点在线段上，且.
求证: 平面平行平面.
【答案】（1）证明见解析.
（2）.
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线及线面平行的判定即可证明；
（2）通过转化得异面直线MO与EC所成角即PC与EC夹角，由余弦定理求解即可；
（3）连接，由线线平行证明线面平行，再根据面面平行判定证明即可．
【小问1详解】
证明：连接，则为中点，点为中点，所以，
因为平面平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角，
，，所以为等腰直角三角形，
设，则，，，
在中，由余弦定理得，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
【小问3详解】
连接，如图所示，因为、分别为、的中点，
所以，
因为为的中点，所以，
因为点在线段上，且，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
又因为，、平面，
所以平面平面．
20. 在中，角的对边分别为，若平面向量，其中 ，.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积;
（3）若，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，即可得解；
（2）利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果；
（3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围，令，将所求式子化为，，由函数的单调性可求得最大值.
【小问1详解】
因为，则，
又，，
所以，
由正弦定理得，
即，
又是内角，则,
所以，即,
又，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得，即，解得：（负值已舍去），
.
【小问3详解】
由余弦定理得，
即，
（当且仅当时取等号），，
又，；
所以，
令，，，则在上单调递增，
，即，即，
的最大值为.