江苏省常州市2024-2025学年高二上学期期末质量调研数学试卷（解析版）

这是一份江苏省常州市2024-2025学年高二上学期期末质量调研数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将双曲线方程化为标准方程可得，
则，，所以，
因此该双曲线的离心率为.
故选：C.
2. 若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为，即.
故选：A.
3. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法，
再排其余4节，有种排法，
根据乘法原理，共有种排法，
故选：B．
4. 设某厂去年的产值为1，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，这十年的总产值为：
.
故选：C.
5. 点到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，
由得，故直线过定点.
记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值，
最大值为.
故选：D.
6. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由组合数性质得，
.
故选：C.
7. 数列中，（），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，则.
令，则，
所以.
又，所以，所以.
故选：A.
8. 已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由椭圆方程可知：.
设椭圆的左焦点为，可知，
因为，可得，
则，
又因为在内单调递减，且，
可知在内的值域为，所以的取值范围是.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（ ）
A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
B. 相关变量的线性回归方程为，若样本点中心为，则
C. 在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大
D. 以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则
【答案】BCD
【解析】A.回归直线可能不过散点图中的任何一点，选项A错误.
B.根据回归直线经过样本点中心得，，解得，选项B正确.
C.根据独立性检验思想，随机变量的观测值越小，
“认为两个变量无关”这种判断正确的概率越大，
即“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大，选项C正确.
D.由得，，∴，即，
∴，选项D正确.
故选：BCD.
10. 若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】A.令得，，故，选项A正确.
B.令得，，故，选项B错误.
C.二项式展开式的通项为，
∴，
当为偶数时，，当为奇数时，，
令得，，
选项C正确.
D. 令得，，
∵，∴，选项D错误.
故选：AC.
11. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，，，设C的离心率为e，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 四边形的面积与的面积之比为
C. 四边形的内切圆方程为
D. 设条形阴影部分的面积为，灰色阴影部分的面积为，则
【答案】ACD
【解析】由题可得，上、下顶点分别为，
左、右顶点分别为，
因为，，，所以，
若,则
则，故选项A正确.
对于B，四边形的面积为，
椭圆的面积，则面积比为，故B不正确；
对于C，设四边形的内切圆半径为，则在中可得，
所以，则四边形的内切圆方程为，故C正确；
对于D，由题意有又，所以，
所以，而且，
故，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 经过两点的直线的倾斜角为_________.
【答案】
【解析】由题意：，
设直线的倾斜角为，则，且.
所以.
13. 已知等差数列的公差d不为0，若，，成等比数列，则的值为______．
【答案】2
【解析】因为是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列
所以，即，化简得，
又因为，所以.
14. 动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为_________.
【答案】
【解析】圆的几何性质可知，，
四边形的面积为，，
所以
直线，过定点，直线过定点，
且两直线的系数满足，所以，
所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为，
所以PC的最大值为，
所以的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前n项和为，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求前n项和.
解：（1）因为是等差数列，设其公差为，
由题知，解得，
所以的通项公式为.
（2）由题知，
所以
16. 已知直线与圆相切.直线过点，且与C相交于两点.
（1）求的方程；
（2）若的面积为，求的方程.
解：（1）由已知得圆，
所以，圆心，半径.
因为圆与直线相切，
知圆心到直线的距离，解得，
所以圆的方程为.
（2）由题，
又，得，
所以圆心C到直线的距离为.
直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，满足题意；
直线斜率存在时，设直线的方程为y=kx-1，即，
由圆心C到直线的距离为，解得，
所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
17. 某款3A级别游戏自发布以来便受到了广泛关注，仅用了三天时间便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶.下表是该游戏发布以来在某一平台各月的销售量统计表.
（1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并判断月份编号与销售量之间是否具有较强的线性相关性；
（2）预计该平台半年时间的销售量能否突破26百万份.
参考数据：；
参考公式：.
解：（1）由题知，，
，
，
，
所以，
所以月份编号与销售量之间具有较强的线性相关性.
（2），，
所以经验回归方程为.
当时，，
所以该平台半年时间的销售量不能突破26百万份.
18. 已知，，其中.
（1）时，求的最大值；
（2）时，记，求数列前项和.
解：（1）由题知，
所以.，
由得，
化简得，解得
因为，所以.
所以的最大值为.
（2） 时，，
令，得，
∴.
则，
，
∴
所以.
19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与轴，轴分别交于点（均不与坐标原点O重合），与椭圆相交于两点.
（1）求的方程；
（2）直线的斜率为时，求与的面积之比；
（3）椭圆右顶点为，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
解：（1）由题知，，所以，
又离心率，得，则有
所以椭圆的方程为.
（2）如图：
设直线，所以，
联立直线与椭圆方程得，
整理得，，得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，即，
.
所以与的面积之比为1.
（3）当直线斜率存在，设直线，
联立直线与椭圆方程得，
整理得，，

整理得，
即，
所以或，均满足
当时，直线过点，不满足题意.
当时，直线过定点.
当直线斜率不存在时，直线的方程为，过点.
综上可知，直线过定点.月份编号
1
2
3
4
5
销售量（百万份）
8
6.3
51
3.2
2.4