江苏省常州市金坛区2024-2025学年高一上学期期中质量调研数学试卷（解析版）

这是一份江苏省常州市金坛区2024-2025学年高一上学期期中质量调研数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
且注意到，从而
故选：A.
2. 下列哪一组中的两个函数表示同一个函数（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】A：的定义域为R，的定义域为，故A不符合题意；
B：和的定义域都为R，且，
所以该两个函数是同一个函数，故B符合题意；
C：的定义域都为R，但，故C不符合题意；
D：的定义域为，的定义域为R，故D不符合题意.
故选：B
3. “”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A选项，当，取，此时无意义，故由不能得到，故A错误；
B选项，当，取，则，故由不能得到，故B错误；
C选项，因，则，则由可得；
取，满足则，但是，
为的必要不充分条件，故C正确；
D选项，当，取，则，故由不能得到，故D错误.
故选：C
4. 函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，又，
所以在在上递增函数，在上是递减函数，
又函数在是递增函数，
所以在是递减函数.
故选：D.
5. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D. （）
【答案】B
【解析】对于A，当时，，当时，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，当时，，当时，，故C错误；
对于D，因为，，故D错误.
故选：B.
6. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. 1,2B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为不等式的解集为，所以且，即.
不等式转化，
解得，即不等式的解集为.
故选：A
7. 已知是定义在上的函数，，且的图象关于对称，当，且时，成立，则的解集为（ ）
A. （0，2）B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为的图象关于对称，
所以的图象关于对称，即为偶函数，
因为，所以，
因为，且时，，
所以在上单调递减，
故当时，，当时，，
所以在上单调递增，
故当时，，当时，，
不等式等价为或，
所以不等式的解集为：.
故选：D
8. 使函数满足：对任意的，都有的一个充分不必要条件为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D.
【答案】C
【解析】设，其值域为A，，值域为B.
因，不妨设，
若，由题对任意的，都有
当时，不合题意；
当时，单调，则，即此时；
若，因单调递减，则，即此时；
若，要使对任意的，都有，则.
若，此时在1,+∞上单调递减，则A，
又B，则要使，则；
如，此时在1,+∞上单调递增，则A
又B，则，即满足题意.
综上，“对任意的，都有”的充要条件为.
则其充分不必要条件应为的真子集，选项中只有C满足条件.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，值域是的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，，由于，故，故A正确；
对于B, ，
当且仅当，即时，取等号，即值域为，故B正确；
对于C, 的定义域为，
易判断函数在上单调递增，当时，，
所以值域为，故C正确；
对于D，因为，即函数值域为，故D错误.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数，则f1=0
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. ，则
D. 已知，，，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，令，可得，解得f1=0，故A正确；
对于B，因为函数的定义域为，
所以，所以，所以函数的定义域为，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为R，，且对任意实数m，n，，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是R上的单调递增函数
C. 为偶函数D. 为奇函数
【答案】ABD
【解析】A：函数的定义域为R，对任意实数满足，
令，得，有，又，
令，得，解得，故A正确；
B：当时，，设，则，，
由，得，
即，所以，则在R上递增，故B正确；
C：若为偶函数，则，与、矛盾，故C错误；
D：令，则，即，
所以函数奇函数，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】因，，则在R上无解，
则.
故答案为：
13. 已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】由，可得，解得，所以，
当时，由，可得，，
因为中恰有两个整数，所以，解得，
当，由，可得，，
此时，不符合题意，
综上所述：若中恰有两个整数，实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知关于x的不等式（其中m，n均为实数）的解集为，且，满足，则m的取值范围是________.
【答案】
【解析】已知关于x的不等式（其中m，n均为实数）的解集为，
则方程的两根为，所以，
因为，则，故，
则，又，所以，解得，
所以m的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 化简求值：
（1）；
（2）.
解：（1）；
（2）；
16. 已知命题p：存在，不等式成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立.
（1）若命题p真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围.
解：（1）∵p为真命题，∴，
∵，∴当时，，
，解得
所以.
（2）若q为真，则，
∵，a>0，，
∴，，
当且仅当，即时取等号.
所以.
①若p为真，q为假，则且，无解；
②若p为假，q为真，则且，或且，
解得或.
综上，或.
17. 已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系
（1）把商品的利润y表示为生产量x的函数；
（2）当该商品生产量x（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
解：（1）设利润是y（万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，
，
所以
（2）当时，
，
当且仅当，即时，，
当时，，
当时，，
所以时，，
所以生产量为5千件时，最大利润为7万元.
18. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，
（1）求函数在R上的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
（3）解不等式.
解：（1）因为是定义在R上的奇函数，所以，，
又，所以.又当时，，
得，解得.
经检验，符合题意.
所以当时，，
若，则，得，所以，
故；
（2）在上单调递增，证明如下：
由（1）知，当时，，
设，则，
所以，
即，
所以在上单调递增；
（3）由（2）知在上单调递增，所以在上也单调递增.
而，，
由，得，
当时，，所以成立；
当时，，即，解得；
当时，，即，无解.
综上，原不等式的解集为.
19. 定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）长度均为，其中.
（1）设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围；
（2）不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围；
（3）已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围.
解：（1）由（等号不能同时成立），解得（等号不能同时成立），
所以（等号不能同时成立）.又，所以，
因为的区间的长度为4，则，得，
所以，解得，即实数的取值范围为.
（2），解不等式得，
解不等式得，所以不等式的解集为.
∵不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6，
∴不等式在上恒成立，
令，，
则，解得，
∴实数t的范围为．
（3）二次函数，图象为开口向上的抛物线，
且对称轴为，顶点坐标为.
要使最大，则应尽量大，尽量小，即，
此时在上单调递减，在上单调递增，
则，解得，
所以，且，即为方程的两根，
得，所以，得，
即的最大值为；
要使最小，则应在对称轴的同侧，不放设m，n在抛物线对称轴右侧，
即，此时，得，
由，解得，
由，解得，
所以，
当且仅当即时，等号成立，又，故等号取不到，
所以.
同理当时，可得.
综上，函数的定义域区间的长度的取值范围为.