江苏省常州市2024-2025学年高一上学期期末质量调研数学试卷（解析版）

这是一份江苏省常州市2024-2025学年高一上学期期末质量调研数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以.
故选：B
2. 若为角终边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为角终边上一点，
所以，由已知，
所以，故点的坐标为，
所以点到原点距离为，
所以.
故选：A.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，得，即解得或，
所以是“”的充分且不必要条件.
故选：A.
4. 下列函数中，是奇函数且在上单调递减的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A，的定义域为，
且，所以在定义域内为偶函数，故A错误；
对于B，的定义域为R，
且，所以在定义域内为偶函数，故B错误；
对于C，，的定义域为，且是奇函数，
因为，所以在单调递减，故C正确；
对于D，的定义域为R，且是奇函数，
因为，所以在单调递增，故D错误.
故选：C.
5. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，所以，
因为在上单调递增，所以，
所以函数的值域为.
故选：D.
6. 已知，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
故，，
，故，
，故，
所以.
故选：B.
7. 形如的数称为费马数，记为，是一个位数，则的值为（参考数据：）（ ）
A. 19B. 20
C. 21D. 22
【答案】B
【解析】，设，
则两边取常用对数得.
，故的位数是20.
故选：B．
8. 若直线与函数的图象从左至右交于点，，直线与的图象从左至右交于点，，记线段和在轴上的投影长度分别为，，则当变化时，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设A，B，C，D的横坐标分别为，
则，，
，所以，，
所以，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在区间上单调递减
C. 点是图象的一个对称中心
D. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称
【答案】BC
【解析】对于A，的最小正周期为，故A不正确；
对于B，当时，，
由余弦函数的单调性可得函数在单调递减，故B正确；
对于C，因为，
故是图象的一个对称中心，故C正确；
对于D，因为，
显然不关于轴对称，故D不正确.
故选：BC.
10. 已知函数若，则实数的取值可能为（ ）
A. -2B.
C. 1D. 27
【答案】ABD
【解析】令，所以，
当时，，解得：，所以，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当，，解得：，所以，
当时，，解得：，
当时，，无解，
综上：实数的取值可能为：.
故选：ABD.
11. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.下列函数中，具有性质的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】A，设函数具有性质，则存在，满足条件，
所以，化简可得，即，
该方程无解，即满足条件的不存在，矛盾，所以函数不具有性质，A错误；
B，设函数具有性质，则存在，满足条件，
所以，化简可得，即，解得，
所以函数具有性质，B正确；
C，设函数具有性质，则存在，满足条件，
所以，化简可得，
解得或，
所以函数具有性质，C正确；
D，设函数具有性质，则存在，满足条件，
所以，化简可得，
因为函数在单调递增，
所以函数在单调递增，
而，，当时，，
所以方程在内有解，
所以函数具有性质，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为_____.
【答案】1
【解析】设扇形的半径为，
因为扇形的周长为，圆心角为，所以，得，
所以扇形的面积为.
13. 若函数在-1,1上恰有一个零点，则实数的值为_____.
【答案】2
【解析】当时，，令，解得，
当时，，不符合题意；
因函数在上恰有一个零点，
则方程在上恰有一个实根，
即函数与图象在上恰有一个交点.
当时，的图象为开口向下、顶点位于轴的抛物线，
此时，与图象无交点，不符合题意；
当时，，
要使函数与图象在上恰有一个交点.
只需，解得.
综上，.
14. 已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】因为当时，，
所以在上单调递增且，
又函数是定义域为的偶函数，
则当时，，
所以在上单调递减且，
所以，，
因为对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，显然，即；
所以对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
当时，不等式，解得，显然不成立；
当时，不等式，解得，
则，解得；
当时，不等式，解得，
则，解得；
综上可得：实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求值：；
（2）已知，求的值.
解：（1）原式.
（2）因为，
所以原式.
16. 设为实数，集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）由，得，解得或，
所以，
当时，，
因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
因为，所以，
即，，
因为，所以，所以，解得.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若，且，求的值.
解：（1）观察图象得函数的最大值为，最小值为，故，
观察图象可得，又，所以，
由，得，，
又，得，所以.
（2）因为，
所以，或，，
所以，或，，
又因为，所以，所以.
18. 已知函数，，令，.
（1）判断函数的单调性，并用定义证明：
（2）若存在，使得，求实数的取值范围.
解：（1）是上的增函数.
证明：由题意得，，，
任取，且，
则，
因为，所以，，
所以，又，，
所以，即，
所以是上的增函数.
（2）因为，所以是上奇函数，
由，得，
所以，
又因为是上的增函数，所以，
即，
化简得，，
令，则，
因为与在上单调递增，
因为在上单调递增，所以，
所以存在，使.
因为和在上单调递减，
所以当时，单调递减，
所以，即.
19. 苏教版必修一教材中有这样一段话：对于等式，如果将视为自变量，视为常数，为关于（即）的函数，记为，那么，是幂函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是指数函数；如果将视为常数，视为自变量，为关于（即）的函数，记为，那么，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.
如果为常数（为自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记为，将表示成的函数.
（1）直接写出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性：（不用证明）
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的值：
（3）当函数在区间上连续，对任意，，若恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性.试判断函数在上的凹凸性，并证明你的结论.
解：（1），
定义域：，
值域：，
单调性：在（0，1）上单调递减，在上单调递减，
奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数.
（2）由题意，当，即时，恒成立，所以；
当，即时，恒成立，所以，
所以.
（3）在上是下凸函数，
证明如下：对任意，，，，
，
当且仅当时等号成立，所以在上是下凸函数.