江苏省常州市联盟学校2024-2025学年高二上学期期中学情调研数学试卷（解析版）

这是一份江苏省常州市联盟学校2024-2025学年高二上学期期中学情调研数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知直线方程为，
则直线与垂直，即直线的倾斜角为，
故选：C.
2. 圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆的标准方程为，该圆的半径为，
因此，该圆的面积为.
故选：B.
3. 直线关于轴的对称直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设所求直线上任意一点的坐标为，则其关于x轴的对称点坐标为.
已知直线，对称点在该直线上，所以将换为可得，即.
故选：A.
4. 若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】曲线是双曲线，则异号.则，解得.
故选：D.
5. 已知抛物线的焦点为,上一点到轴的距离为6，且，则（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 12
【答案】A
【解析】由题设及抛物线的定义，有.
故选：A
6. 比较下列椭圆的形状，最接近于圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A：，则，
B：，则，
C：，则，
D：，则，
由离心率越小，越趋向于圆，则，即最接近于圆.
故选：C
7. 直线与圆交于，两点，则面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，可化为，
所以，圆心，其到的距离，又圆的半径为，
所以，
则面积为.
故选：B
8. 设椭圆的左右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，可设，
根据椭圆对称性，有，，
所以，而，则，故，
所以，
即，
由为平行四边形，则，
又，所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知三条直线，，，则下列结论正确的有（ ）
A. 经过定点B. ，的交点坐标为
C. 若，则D. 若，则
【答案】AD
【解析】A选项：，即，
令，解得，即直线过点，A选项正确；
B选项：联立直线方程，解得，即直线，的交点坐标为，B选项错误；
C选项：由，可得，解得，C选项错误；
D选项：时，直线，满足，即，D选项正确；
故选：AD.
10. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于，两点，则下列结论正确的有（ ）
A. 左焦点到渐近线距离为B. 若，则或1
C. 若，则，两点位于的两支D. 点不可能是线段的中点
【答案】ACD
【解析】对于选项A，由双曲线，得渐近线方程为，
即.
左焦点，左焦点到渐近线距离，所以选项A正确.
对于选项B，根据双曲线定义，
又，则，
当时，；
当时，.
但是，所以舍去，，选项B错误.
对于选项C，当时，直线的方程为.
联立，消去得，
展开并整理得，即.
，
所以方程有两个不同的实根，设两根为，，，即两根异号，
所以直线与双曲线相交于两支上，选项C正确.
对于选项D，由，得到.
展开.
整理得
，.
设，，若是中点，则，
则，
所以，代入，矛盾.
所以点不可能是线段的中点，选项D正确.
故选：ACD.
11. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的有（ ）
A. 曲线有4条对称轴B. 曲线围成的图形面积为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
且曲线过原点，曲线围成的图形是四个全等的弓形组成，
令，有，又各圆半径为，则每个弓形圆弧是圆弧，
所以曲线的图形如下图示，

由图知，显然对称轴只有轴，A错；
曲线围成的图形是四个全等的弓形组成，面积为，B对；
由上分析，易知的最大值为，C对；
由表示曲线上点与点所成直线斜率，结合图知，
当过的直线与圆右上方相切时斜率最小，
令直线为且，联立圆得，
所以，
则，整理得，
所以，可得（正值舍），D对.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 两条平行直线与间的距离为________.
【答案】
【解析】由题设，即为，
所以两直线距离.
13. 两圆和的公切线有______条．
【答案】3
【解析】由题可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
则圆心距，
所以两圆外切，则公切线有3条.
14. 已知椭圆左右焦点分别为，，上的一点满足，且的面积为，则的值为__________，的取值范围为________.
【答案】 4 .
【解析】由，（），
所以，
又，则，
所以，结合，
所以，
由题设，则，故，
由上分析知，
而，
当且仅当时取等号，所以，则，
当且仅当时取等号，则，
综上，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知△的三个顶点为，，.
（1）求证：△为直角三角形；
（2）求边上的中线长及中线所在的直线方程.
（1）证明：由已知条件得，
,,
则,
所以△为直角三角形；
（2）解：设的中点坐标为，则边上的中线,
由中点坐标公式可得，，即的坐标为，
直线的斜率为，
所以边上的中线所在直线方程为，即.
16. 已知圆，点，.
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）点是圆上的动点，求的最值.
解：（1）当过点且与圆相切的直线斜率不存在时，该直线方程为，
当过点且与圆相切的直线斜率存在时，
设其斜率为，则该直线方程为，
因为该直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
即，解得，即；
（2）设点，为参数，且，
则
，
因为，所以，
所以最大值为，最小值为.
17. 已知双曲线经过点，且左焦点为.
（1）求的标准方程；
（2）过的右焦点作斜率为的弦，求的周长.
解：（1）由题设且，可得，故；
（2）由（1）知，则直线，
联立双曲线，得，整理，可得或，
不妨令，则，
而，故，，
所以.
18. 已知四边形的顶点、、在椭圆上，是坐标原点.
（1）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求菱形的面积；
（2）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由.
解：（1）对于椭圆，，，则，
当点是的右顶点，则，
因为四边形为菱形，所以与相互垂直且平分．
所以可设，代入椭圆方程得，即.
所以菱形的面积是.
（2）四边形不可能为菱形．理由如下：
假设四边形为菱形．
因为点不是顶点，且直线不过原点，则直线的斜率存在且不为零，
所以可设的方程为，
设点、，
联立，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，，
因为四边形为菱形，
则，
即点，所以，，
因为，则与不垂直，故四边形不可能是菱形.
19. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点.
（1）求线段的中点的轨迹方程；
（2）经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上.
解：（1）由题意，令，联立抛物线得，
若，则，，
所以，
而线段的中点坐标为，
所以中点的轨迹方程.
（2）令，，同（1）可得，，
由且，则，即，
可设，令，则，即，
所以，，
若，即，
所以
所以，
，
，显然与矛盾，
综上，不成立，故，即，，在同一条直线上.