广东省广州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷（解析版）

这是一份广东省广州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A. 外离B. 相交C. 相切D. 内含
【答案】B
【解析】对圆，圆心，半径.
圆：，圆心，半径.
圆心距：.
因为，所以两圆相交.
故选：B.
2. 已知是椭圆：上一点，，是其左右焦点，则（ ）
A. 椭圆焦距为B.
C. 椭圆的离心率D. 的面积的最大值是
【答案】C
【解析】如图：
根据椭圆的标准方程：，
得，，
所以.
所以：椭圆的焦距为：，故A错；
根据椭圆的定义：，故B错；
椭圆的离心率：，故C正确；
当点为椭圆短轴端点时，的面积最大，为，故D错.
故选：C.
3. 如图，在平行六面体中，M为，的交点.若，，，则向量（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为：
.
故选：D.
4. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则“取出的鞋不成双”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设柜子里的3双不同的鞋为：，，.
从中随机地取出2只，所有的可能情况有：，，，，，，，，，，，，，，.共15种.
其中“取出的鞋恰好成双”的情况有：，，3种，“取出的鞋不成双”的情况有：种.
所以“取出的鞋不成双”的概率为：.
故选：D.
5. 斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知，抛物线方程为，所以抛物线焦点为，
所以该直线方程为，即，
联立，得，
设，则，
所以.
故选：A
6. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
设其倾斜角为，当时，直线为，，
当，直线的斜率，则，
由正切函数性质可知.
故直线的倾斜角的范围是，
故选：C.
7. 在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设底面正方形边长为，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，可取，
所以，
因直线与平面所成角的余弦值为，
故直线与平面所成角的正弦值为，
所以，解得，
故正四棱柱的体积为，
故选：B.
8. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一 M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，
则，，，
，
选A.
情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
，，
所以，即，
所以双曲线的离心率.
选C.
[方法二]：答案回代法
，
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率，
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故，即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分.
9. 下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，
则，,
则,,
因为，所以，
因为,所以，
所以,且是平面内的两条相交直线，所以面，故A正确；
对于B选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，
则，,
则,,
因为， ,所以，
所以,但是与都不垂直，所以与面不垂直，故B错误；
对于C选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，
则，,
则,,
因为，所以，
因为,所以，
所以,且是平面内的两条相交直线，
所以面，故C正确；
对于D选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，
则，,则,,
因为，所以，因为,所以，
所以,且是平面内的两条相交直线，
所以面，
故D正确；
故选：ACD.
10. 一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 事件A和事件B相互独立D. 事件B和事件C相互独立
【答案】BCD
【解析】由题，，
故事件A和事件B相互独立，事件B和事件C相互独立,故选项C、D正确.
对于A选项，，故选项A错误；
对于B选项，故选项B正确；
故选：BCD.
11. 我们把由半椭圆与半椭圆：合成的曲线称作“果圆”，其中，.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，，是“果圆”与x，y轴的交点，叫做“果圆”的顶点，是线段的中点，为“果圆”上任意一点.则（ ）
A. 若半椭圆方程为，则两个半椭圆离心率的乘积为
B. 若是边长为1的等边三角形，则“果圆”部分方程为
C. 若，则
D. 若取得最小值，则为“果圆”的顶点
【答案】BC
【解析】对A：根据半椭圆的方程，可得：，，
所以，该半椭圆的离心率为：；
另外的半椭圆方程为：，其离心率为：.
所以两个半椭圆离心率的乘积为：，故A错误；
对B：因为，，，
且是边长为1的等边三角形，
所以，，
所以.
所以半椭圆的方程分别为：和，故B正确；
对C：因为且，所以.
因为，所以，
所以.故C正确；
对D：因为，，所以.
若点在半椭圆上，
则
.
若，即时，在时取最小值，此时点不是“果圆”的顶点，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过点，方向向量为的直线方程是______.
【答案】
【解析】因为直线的方向向量为，
所以直线的斜率为：.
又直线过点，所以直线方程为：，即.
13. 某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度，拱高，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则_______m.

【答案】3
【解析】如图：建立平面直角坐标系.

设过点的圆的方程为：.
因为点，在圆上，
所以，解得.
所以圆的方程为：.
令得：.
又，所以.
14. 双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，已知，分别为双曲线：的左，右焦点，为坐标原点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，过点作，垂足为，则_______.
【答案】
【解析】如图：
根据双曲线的标准方程：，得：，，.
延长，交直线于点，由题意：平分，又，
所以，且为中点.
所以.
又为中点，为中点，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球.
（1）写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率；
（2）分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论?
解：（1）设三个红球记为：，，，一个黄球记为：.
从中不放回地依次随机摸出3个球，该实验的样本空间为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有24个基本事件.
第一次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共18个.
所以第一次摸到红球的概率为：.
（2）第二次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共有18个.
所以第二次摸到红球的概率为：.
第三次摸到红球的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共18个.
所以第三次摸到红球的概率为：.
结论：抽签的概率与抽签顺序无关.
16. 已知直线：与以C为圆心的圆交于A、B两点.
（1）当时，求弦长；
（2）当面积为时，求的外接圆的方程.
解：（1）当时，直线：，
以圆心半径为2，圆，
所以圆心到直线距离为，
所以弦长.
（2）设圆心到直线距离为，则弦长为，
当面积为时，或，
所以或，解得，所以，
联立，解得．
不妨设，
设外接圆的方程为，
将三点的坐标代入所设圆的方程，
得：，解得，
所以外接圆的方程为．
17. 如图，把的菱形纸片沿对角线翻折，E，F，G，H分别为，，，的中点，O是菱形对角线的交点.
（1）证明：E，F，G，H四点共面；
（2）若菱形纸片沿对角线翻折成直二面角，求折纸后异面直线，所成角余弦值；
（3）若菱形纸片沿对角线翻折到使异面直线，的所成角为，求平面与平面的夹角的余弦值.
（1）证明：如图，连接.
∵E，F，G，H分别为，，，的中点，
∴，∴，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）解：∵四边形为菱形，，
∴，为等边三角形，.
设菱形的边长为2，则.
∵二面角为直二面角，∴平面平面，
∵平面平面，，平面，∴平面.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，故，
∴异面直线，所成角的余弦值为.
（3）解：设菱形的边长为2，则.
如图，连接.
∵为等边三角形，∴，
∵异面直线，的所成角为，∴，
∵平面，，∴平面，
∵平面，∴，∴.
∵，平面，平面，平面平面，
∴为二面角的平面角.
∵，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点，，为椭圆上不同三点，且，关于原点对称，以，为邻边作平行四边形，已知平行四边形存在内切圆.
（i）判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程；
（ii）求平行四边形的面积的取值范围.
解：（1）易知，即，又点在椭圆上，
所以.所以椭圆标准方程为：.
（2）（i）如图：
因为点，，为椭圆上不同三点，且，关于原点对称，以，为邻边作平行四边形，所以点也在椭圆上.
又存在内切圆，所以圆心必为，设圆的半径为.
所以点到直线，，，的距离相等，均为，
又，，，的面积相等，
所以，故为菱形.所以.
当直线存在斜率，且斜率不为0时，设直线：，
由，不妨取.
用代替，可得.
由
，
即.
当直线斜率为0时，可取,，
则，所以.
当直线不存在斜率时，类似可得：.
所以该内切圆为定圆，其方程为：.
（ii）当直线斜率为0或不存在时，.
当直线斜率存在且不为0时，
令（），
则，
因为，所以，所以
所以.
综上可知：.
19. 如图，边长为1的正方体中，M为底面上一动点，且满足，过点M作垂直于，垂直于，直线与直线交于点P.
（1）若以D为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，求点P的轨迹方程.
（2）以为直径作圆，以圆为底面，为高作圆柱，是否存在一个与平面平行的平面，该平面与圆柱相交，所得截面面积为定值，若存在，确定平面的位置，并求截面的面积；若不存在，说明理由.
解：（1）以题设建立平面直角坐标系，并补充过原点D向上方向为z轴.
设且，因为，
所以，
由,则，即，
因为，，故，，
设，由在上，
所以，
又因为在上，
所以，
故，有因为点满足，
将代入有，
故点轨迹方程为，且；
（2）先判断在平面ABCD内是否存在与平行的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值，
假设满足条件的直线存在，其方程为，设，，的中点为，
点的坐标为.与为直径的圆相交于点，，的中点为，
则，，
因为，
所以，
所以.
令，得，此时为定值，
故满足条件的直线存在，其方程为，
所以过点作一个与平面平行的平面，与圆柱相交，所得截面为矩形，底边长为，高为1，面积为定值.