广东省广州市番禺区2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

这是一份广东省广州市番禺区2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､班级､姓名和座位号､准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则集合中元素的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】当时，，则；
当时，，则；
所以集合，
所以元素的个数为5个.
故选:D.
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】，则的虚部为-2.
故选：C.
3. “”是“函数为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若为奇函数，其定义域为，关于原点对称，
有，即，即，
即，故有，解得，
故“”是“函数为奇函数”的充要条件.
故选：C.
4. 一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据中位数的定义，
该组数据的中位数是，
根据极差的定义，
该组数据的极差是，
依题意得，，
解得，
，
根据百分位数的定义，
该组数据的第百分位数是从小到大排列的第个数，即.
故选：A
5. 过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解法一：由，
得，
该圆的圆心为，半径为1，
如图所示，连接，易知，
所以，

解法二 由，得，
该圆的圆心为，半径为1，设直线的方程为，
则， 解得：或，所以．
故选：B．
6. 菱形中，，点在线段上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】建立如图所示坐标系，，B-2,0，，，
设Ex,y，，，则，，，
所以.故选：D．
7. 为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示：
参考数据：.则下列说法不正确的是（ ）
A. 经验回归直线经过点
B.
C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元
D. 相应于点的残差为0.1
【答案】D
【解析】选项A：由题意得：，
因为，，所以，得，
因此该经验回归直线经过样本点的中心，故A正确；
选项B：由A知，，得，故B正确；
选项C：由B得，则当时，，
故该地2023年12月的GDP的预测值为百亿元，故C正确；
选项D：当时，，
相应于点的残差为，故D错误，
故选：D.
8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点，
由题意可得，则，
阳光照射方向与地面的夹角为60°，即，
则，
，
在中，，即，
即，解得，而，故,
.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数B. 的最小正周期为
C. 的最小值为D. 在上单调递增
【答案】ABC
【解析】；
对A：定义域为，，
故是奇函数，故A正确；
对B：，故的最小正周期为，故B正确；
对C：由，则，故C正确；
对D：令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，故D错误.
故选：ABC.
10. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴
D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】A选项，，由于，
故时，
故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
11. 半正多面体（）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 异面直线和所成角为60°
C. 该二十四等边体的体积为
D. 该二十四等边体外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】对于A中，若平面，因为平面，所以，
又因为为等边三角形，所以，所以A不正确；
对于B中，因为，所以异面直线和所成角即为直线和所成角
设角，在正六边形中，可得，
所以异面直线和所成角为，所以B正确；
对于C中，补全八个角构成一个棱长为的一个正方体，
则该正方体的体积为，
其中每个小三棱锥的体积为，
所以该二十四面体的体积为，所以C正确；
对于D中，取正方形对角线的交点为，即为该二十四面体的外接球的球心，
其半径为，
所以该二十四面体的外接球的表面积为，所以D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 二项式的展开式中的常数项为__________.（用数字作答）
【答案】
【解析】对有，
令，解得，此时，即常数项为.
故答案为：.
13. 某中学 1600 名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布 ，已知成绩小于 130的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在 次之间的人数约为_________.
【答案】500
【解析】因为成绩服从正态分布 ，即正态曲线关于对称，
因为成绩小于 130的有 300 人，所以，
所以，人数约为.
故答案为:500
14. 已知在锐角ΔABC中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，，
即
则，
当且仅当时取到等号；
故答案为
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别是，且.
（1）求角；
（2）若的角平分线交于点，求.
解：（1）由正弦定理可得，
即有，
即，又，故，
即，又，
故；
（2），即，
即，即，
即，
由余弦定理可得，
即，故.
16. 人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为.
（1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为.
（i）求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；
（ii）若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率.
解：（1）易知的所有可能取值为，
此时，，
，，
所以的分布列为：
则；
（2）（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，
记“输入的问题有语法错误”为事件B，
记“聊天机器人模型的回答被采纳”为事件C，
则，，PC|B=0.5，，
；
（ii）若聊天机器人模型的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为：
.
17. 如图，在正方体中，分别是棱的中点.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）若点为棱的中点，试探究点是否在平面上，请说明理由.
解：（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则有，令，则有，，
即，
则有，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（2）由轴平面，
则平面的法向量可为，
则有，
故平面与平面的夹角的余弦值；
（3）由点为棱的中点，则，则，
由，则，又平面，
故平面，故点在平面上.
18. 已知数列为等差数列，，其前项和为，数列满足：.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试探究数列中是否存在三项构成等比数列？若存在，请求出这三项；若不存在，请说明理由.
解：（1）由数列为等差数列，则其公差，
故，
故，
则，可得相邻两项差为常数3，故数列bn为等差数列；
（2）假设存在，且为三项构成等比数列，则有，
即有，
即有，
由、、均为整数，则有，
即有，化简得，
即，其与矛盾，故数列中不存在三项构成等比数列.
19. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，其中且，求实数值．
解：（1）由题意， 即切点为，
，，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，
即；
（2）由，设，
则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在0,+∞上单调递增，又，
所以对于任意的有gx>0，即f'x>0，
因此在 单调递增，在 单调递增，
设，则 ，
所以时，h'x