广西壮族自治区梧州市2024-2025学年高二上学期1月期末抽样检测数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区梧州市2024-2025学年高二上学期1月期末抽样检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 双曲线的焦距为（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】D
【解析】因为，所以焦距.
故选：D.
2. 5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】每个毕业生都有4种不同选法，所以不同选法的种数为.
故选：D.
3. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】当直线过原点时，其方程是，符合题意;
当直线不过原点时，设直线方程为，代入，
可得：，解得：，
所以方程是.
故选：C.
4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令和的夹角为，
则，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
5. 北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（ ）
A. 2880B. 1440C. 720D. 576
【答案】A
【解析】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为.
故选：A.
6. 已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】圆的标准方程为，圆心，半径，
圆的标准方程为，圆心，半径，
所以，圆内切，所以与圆都相切的直线只有1条．
故选：A．
7. 现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设10名学生中有名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为，
由，得，化简得，解得，
即本次测试的不合格率为.
故选：C.
8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】的面积为因为的内切圆半径为，
所以面积可表示为，所以
解得因为所以
两边平方得：又因为
整理得：
因为不等式两边同时除以，得：；
解得：
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知展开式的所有二项式系数之和为256，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由题意知，所以，故选项A正确；
由二项式的展开式通项为，令，得，所以，故选项B正确；
令，得；
令，得，所以，故选项C错误；
二项式的展开式通项为，所以的奇数次幂的系数均为负数，偶数次幂的系数均为正数，即为负数，为正数，令，得，所以，故选项D正确.
故选：ABD.
10. 已知随机事件的对立事件分别为，若，则（ ）
A.
B.
C. 若独立，则
D. 若互斥，则
【答案】ACD
【解析】对于A，，
所以A正确；
对于B，，
所以B错误；
对于C，若独立，则，
所以，所以C正确，
对于D，若互斥，则，
所以，，
所以，所以D正确，
故选：ACD.
11. 如图，正方体的棱长为3，E，F分别为棱上的点，且，平面AEF与棱交于点G，若点P为正方体内部（含边界）的点，满足，则（ ）

A. 点P的轨迹为四边形AEGF及其内部
B. 当时，点P的轨迹长度为
C. 当时，
D. 当时，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A中，取上一点H，使得，连接EH，FH，HB，
可得且，且，
所以四边形和四边形是平行四边形，所以，
所以四边形为平行四边形，
因为，由空间向量基本定理可知，所以在四边形内（或边界上），所以A正确；
对于B中，当时，，所以，即，
所以P在线段EG上，点P的轨迹长度为线段EG的长，
所以，所以B正确；
对于C中，当时，可得点P为线段AF的中点，
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，可得，
则，可得，
所以不成立，所以C错误；
对于D中，当时，，分别取的中点，
连接，在线段上，,
由，可得，
平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
所以，
设，因为，则，
则，代入可得，
当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，所以D正确.
故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 由数据可得关于的线性回归方程为，若，则______.
【答案】32
【解析】依题意，，由，得，解得，所以.
13. 已知随机变量，若，则______.
【答案】
【解析】因为，
所以，解得，
所以.
14. 已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于A，B两点，且，则直线的斜率是______.
【答案】
【解析】抛物线的准线为，所以，
显然直线的斜率存在，设其方程为，Ax1,y1,Bx2,y2，
由得，
则由，可得k2>1,且，（*），
因为，所以，得，
代入（*），解得或
将其分别代入，可得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知方程：.
（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；
（2）在方程表示圆时，该圆与直线：相交于、两点，且，求的值.
解：（1）若方程表示圆，
则，所以，
所以方程C表示圆，实数m的范围是；
（2）圆的方程可化为，
圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为，所以，
解得，满足，
所以.
16. 某超市为调查顾客单次消费金额与性别是否有关，随机抽取70位当日来店消费的顾客，其中女性顾客有40人，统计发现，单次消费超过100元的占抽取总人数的，男性顾客单次消费不超过100元的占抽取总人数的.
（1）根据所给数据完成列联表，是否有的把握认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联？
（2）在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中女性人数为，求的分布列与数学期望.
参考公式：（其中.
参考数据：
解：（1）根据题意可知，男性顾客30人，女性顾客40人；
男性顾客单次消费不超过100元的占抽取总人数的，即10人，超过100元的有20人，
又单次消费超过100元的占抽取总人数的，即共35人，所以单次消费超过100元的女性顾客为15人；
可得如下2×2列联表：
零假设：顾客的单次消费是否超过100元与性别无关联，
由列联表中的数据，
计算得
故依据小概率值独立性检验，能认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联.故有的把握认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联
（2）在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，女性有人，男性有4人，
所以X的可能取值为，
则.
，
故X的分布列为
所以.
17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，M是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：在四棱锥中，由，是的中点，得，
而，，平面，则平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：在直角梯形中，，，又，，
平面，则平面，又平面，于是，
由，得，则，即，，两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
A1,0,0，，，P0,0,1，则，，
设m=x,y,z是平面的法向量，则，
令，得.
由（1）知平面，即平面的一个法向量为，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
（1）求首次摸球就试验结束的概率；
（2）在首次摸球摸出红球的条件下．
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
解：（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件．
所以．
所以摸球一次就试验结束的概率为．
（2）①因为，是对立事件，．
所以，所以选到的袋子为乙袋的概率为．
②由①，得，
所以方案一中取到白球的概率为．
方案二中取到白球的概率为，
因为．
所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且.
（1）求的方程；
（2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）.
①记，的面积分别为，，且，求点的坐标；
②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
解：（1）由题意知 解得，，所以的方程为.
（2）由题意可知，A-2,0，，设，
因为直线交于另外一点（不同于点），
所以，又双曲线的渐近线为，故，解得，
所以直线，即，
由，消得，
所以，解得，
所以.
①因为，，
又，所以，
解得或，即点的坐标为或.
②直线，即，
由，消得，，
即，所以，解得，
所以，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
令，得，
解得，
所以直线恒过定点，
又，即，又点是的中点，所以，
所以是定值，且定值为.
单次消费超过100元
单次消费不超过100元
合计
女性
男性
合计
0.050
0.025
0.01
3.841
5.024
6.635
单次消费超过100元
单次消费不超过100元
合计
女性
15
25
40
男性
20
10
30
合计
35
35
70
X
0
1
2
3
P