上海市晋元高级中学2024-2025学年高一下学期5月考试数学试卷（含答案解析）

这是一份上海市晋元高级中学2024-2025学年高一下学期5月考试数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为______．
2. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______.
3. 设向量，，若与共线，则实数a的值为_______．
4. 平行于同一平面的两直线的位置可能是___________.
5. 下列命题中正确的命题为__________.
①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；
②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；
③若直线异面，异面，则异面；
④若，则.
6. 如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于__________.
7. 设是复数的共轭复数．在复平面内，复数与对应的点关于y轴对称，则___________．
8. 如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为__________．
9. 如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为_____.
10. 已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．
11. 如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为______．

12. 已知正方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积，则点的轨迹长度为___________.
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. 用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（ ）
14. 已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（ ）
15. 若复数z满足，则的取值范围为（ ）．
16. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
18. 如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.
求的值；
判断的值是否为一个常数，并说明理由．
19. 正方体中，求证：
(1)平面；
(2)与的夹角的余弦值.
20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.
(1)设平面与直线相交于点，求证：；
(2)若，，，求直线与平面所成角的大小.
21. 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长.
上海市晋元高级中学2024-2025学年高一下学期5月考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：平面向量、空间向量与立体几何、复数、三角函数与解三角形、平面解析几何、集合与常用逻辑用语
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．2
C．
D．4
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
9
适中
9
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.85
平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示
2
0.85
已知数量积求模；用定义求向量的数量积
3
0.85
由向量共线（平行）求参数
4
0.94
异面直线的概念及辨析；线面平行的性质
5
0.85
空间中的点（线）共面问题；异面直线的判定
6
0.85
求异面直线所成的角
7
0.85
根据复数对应坐标的特点求参数；共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
8
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；数量积的坐标表示；辅助角公式
9
0.65
向量加法法则的几何应用；数量积的运算律
10
0.65
求点面距离
11
0.85
求线面角
12
0.4
立体几何中的轨迹问题；弧长的有关计算；证明线面垂直
二、单选题
13
0.85
斜二测画法中有关量的计算
14
0.65
判断命题的充分不必要条件；线面关系有关命题的判断
15
0.85
与复数模相关的轨迹（图形）问题；共轭复数的概念及计算
16
0.65
判断正方体的截面形状；面面平行证明线线平行
三、解答题
17
0.65
复数的相等；实数的平方根；求复数的模
18
0.65
向量在几何中的其他应用
19
0.65
求异面直线所成的角；证明线面垂直
20
0.65
求线面角；线面平行的性质；证明线面平行；证明线面垂直
21
0.4
求点面距离；线面垂直证明线线垂直；由线面角的大小求长度
序号
知识点
对应题号
1
平面向量
1,2,3,8,9,18
2
空间向量与立体几何
4,5,6,10,11,12,13,14,16,19,20,21
3
复数
7,15,17
4
三角函数与解三角形
8,12
5
平面解析几何
12
6
集合与常用逻辑用语
14