2024-2025学年上海市晋元高级中学高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市晋元高级中学高二上学期期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果函数y=fx在x=1处的导数为1，那么limx→0fx+1−f12x=( )
A. 12B. 1C. 2D. 14
2.已知直线l1:x−y−1=0，动直线l2:k+1x−ky+k=0k∈R，则下列结论正确的为( )
A. 不存在k，使得l2的倾斜角为π2B. 对任意的k，l1与l2都不垂直
C. 存在k，使得l1与l2重合D. 对任意的k，l1与l2都有公共点
3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⊥MF2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. 0,12B. 12, 22C. 0, 22D. 22,1
4.已知F 2,0为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且▵OFP外接圆的面积为2π3，则椭圆C的长轴长为( )
A. 2 5B. 2 3C. 4D. 6
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.在等比数列an中，若a1a3a5a7a9=132，则a5= ．
6.函数y=x2+x在x=1处的导数是 ．
7.已知圆锥的轴截面是一个顶角为2π3，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为 ．
8.直线 3x−y=0被圆(x−2)2+y2=4截得的弦长为 ．
9.已知m,n为空间中两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，若m⊂α,α∩β=n，则m//n是m//β的 条件.(填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个)
10.设Sn是数列an的前n项和，且Sn=3n2，则an的通项公式为an= ．
11.已知椭圆x23m2+y25n2=1和双曲线x22m2−y23n2=1有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为 ．
12.记等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn.若SnTn=2n+1n+3，则a5b8= ．
13.已知集合Ak={x|x为不超过k的正整数}，k∈N∗.若xk∈Ak，k=1nxk=60，则n的最大值与最小值之和为 ．
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为 5，左，右焦点分别为F1，F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若PF1=2，则▵PF1F2的面积为 ．
15.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为5，点M在棱AB上，且AM=2，点P是正方体下底面ABCD内(含边界)的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是 ．
16.设双曲线x24−y2=1的右焦点为F，点P1,P2,⋯,Pn是其右上方一段2≤x≤2 5,y≥0上的点，线段PkF的长度为ak(k=1,2,3,……,n).若数列ak,k=1,2,3,⋯,n成等差数列且公差d∈15, 55,则n最大取值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知等差数列an的前n项和为Sn，满足a2+a4=10，S7=49．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=(−1)nan，求b1+b2+b3+⋯+b20．
18.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2．
(1)证明：A1C⊥平面ABC1；
(2)求直线AC1与平面A1BC1所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
已知南方某发达城市2019年新建住房面积为500万m2，其中安置房面积为200万m2.计划以后每年新建住房面积比上一年增长10%，且安置房面积比上一年增加50万m2.记2019年为第1年．
(1)该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m2？
(2)是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由．
20.(本小题12分)
已知点F1、F2，为双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30∘．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l过点(0,1)且与双曲线C交于A、B两点，若A、B中点的横坐标为1，求直线l的方程；
(3)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为P1、P2，求证：PP1⋅PP2为定值．
21.(本小题12分)
已知过点1,0的直线与抛物线E:y2=2pxp>0交于A,B两点，O为坐标原点，当直线AB垂直于x轴时，▵AOB的面积为 2．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过曲线E上一点P12,y0y0>0作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S,T(异于点P)两点，求证：直线ST恒过定点；
(3)若O为▵ABC的重心，直线AC,BC分别交y轴于点M,N，记▵MCN,▵AOB的面积分别为S1,S2，求S1S2的取值范围．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.B
5.12/0.5
6.3
7.π
8.2
9.充要
10.6n−3
11.y=± 34x
12.1918
13.71
14.4
15.2 3
16.14
17.解：(1)设等差数列的公差为d，
由题意可得2a1+4d=107a1+21d=49，解得a1=1d=2，所以an=2n−1．
(2)由(1)可得bn=(−1)nan=−1n2n−1，
所以b1+b2+b3+⋯+b20=−1+3+−5+7+⋯+−37+39=2×10=20．

18.解：(1)由题知AA1⊥面ABC，又AB⊂面ABC，所以AA1⊥AB，
又AB⊥AC，AA1∩AC=A，AA1,AC⊂面ACC1A1，所以AB⊥面ACC1A1，
又A1C⊂面ACC1A1，所以AB⊥A1C，
又AC=AA1=2，所以四边形ACC1A1是正方形，得到A1C⊥AC1，
又AB∩AC1=A，AB,AC1⊂面ABC1，所以A1C⊥平面ABC1．
(2)如图，
建立空间直角坐标系，因为AB=1,AC=AA1=2，
则A(0,0,2)，A1(0,0,0),B(1,0,2),C1(0,2,0)，
得到A1B=(1,0,2)，A1C1=(0,2,0)，AC1=(0,2,−2)，
直线AC1与平面A1BC1所成角为θ，
设平面A1BC1的法向量为n=x,y,z，
则n⋅A1B=x+2z=0n⋅A1C1=2y=0，令x=2，则z=−1,y=0，
所以平面A1BC1的法向量为n=2,0,−1，
则sin θ=|cs< AC1,n>|=|AC1⋅n||AC1|⋅|n|=22 2× 5= 1010，
直线AC1与平面A1BC1所成角的正弦值为 1010．

19.解：(1)设n(n∈N∗)年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m2，
依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列，
从而n年内所建安置房面积之和为[200n+n(n−1)2×50] m2，
则200n+n(n−1)2×50⩾3000，
整理得，n2+7n−120⩾0，
解得n⩾8 (n⩽−15舍去)．
答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m2.
(2)依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1.1为公比的等比数列，
设第m年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为p(m)，
则p(m)=200+50(m−1)500⋅(1+0.1)m−1=m+310×1.1m−1，
由p(m)=p(m+1)得，m+310×1.1m−1=m+410×1.1m，解得m=7．
即第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变.

20.解：(1)由双曲线的方程可得a=1，
在直角三角形MF1F2中，∠MF1F2=30∘，MF2⊥F2F1，
可得MF1=2MF2，且MF1−MF2=2a=2，
解得MF2=2，又MF2=b2a=b2，
所以b2=2，
则双曲线的方程为x2−y22=1；
(2)由题意可得直线l的斜率存在，设为k，直线l的方程为y=kx+1，
联立y=kx+12x2−y2=2，可得2−k2x2−2kx−3=0，
Δ=4k2+122−k2>0，解得− 3