[数学]山东省青岛市市北区2023-2024学年七年级下学期期中试题（解析版）

这是一份[数学]山东省青岛市市北区2023-2024学年七年级下学期期中试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1. 国产手机芯片麒麟是全球首个纳米制程芯片，已知纳米米，将纳米用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】D
【解析】纳米米米，
故选：D．
2. 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据如图，在下列选项中指出白昼时长不足11小时的节气（ ）
A. 惊蛰B. 小满C. 立秋D. 大寒
【答案】D
【解析】A、惊蛰白昼时长为11.5小时，高于11小时，不符合题意；
B、小满白昼时长为14.5小时，高于11小时，不符合题意；
C、秋分白昼时长为12.2小时，高于11小时，不符合题意；
D、大寒白昼时长为9.8小时，低于11小时，符合题意，
故选D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、和不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
4. 将一副三角板按不同位置摆放，下图中与互余的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选项A：根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°，
∴∠α+∠β=90°， 即∠α与∠β互余；故A符合题意；
选项B：如图，

故B不符合题意；
选项C：如图，
故C不符合题意；
选项D：
故D不符合题意；
故选A.
5. 赵先生手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）：
下列说法错误的是（ ）
A. 赵先生的身高从0岁到3岁增长最快
B. 赵先生的身高增长速度总体上先快后慢
C. 赵先生的身高在21岁以后基本不长了
D. 赵先生期待自己身高在27岁时自然生长到，这个愿望能够实现
【答案】D
【解析】A．赵先生的身高从0岁到3岁增长最快，故不符合题意；
B．赵先生的身高增长速度总体上先快后慢，故不符合题意；
C．赵先生的身高在21岁以后基本不长了，故不符合题意；
D．赵先生的身高在21岁以后基本不长了，长到的这个愿望不能够实现，故符合题意．
故选：D．
6. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他这一选择用到的数学知识是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短
C. 两点之间线段最短D. 两点之间直线最短
【答案】B
【解析】小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他这一选择用到的数学知识是因为垂线段最短，故B正确．
故选：B．
7. 如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片（ ）
A. 5张B. 6张C. 7张D. 8张
【答案】C
【解析】∵，
∵一张C类卡片的面积为，
∴需要C类卡片7张．
故选：C．
8. 当从下列所给条件中选取一个，如图所示，能得出这一结论的是（ ）
①；②；③且
A. 只有②B. ①或②C. ②或③D. ①或③
【答案】C
【解析】①∵ ，
∴，无法证明，故①不符合题意；
②∵，
∴，故②符合题意；
③∵，
∴
∵
∴
∴，故③符合题意；
能判断的是②或③．
故选C．
9. 一个正方形的边长增加，面积相应增加，则原正方形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设原正方形的边长为，
由题意得：，
，
，
，
，
原正方形的边长为，
故选：B．
10. 是饮水机的图片．饮水桶中的水由图1的位置下降到图2的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据图片位置分析：水减少的体积随着水位下降的高度而增加，且饮水机是圆柱形，所以均匀增加
故答案选：C．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：3x（x－2）＝______．
【答案】3x2－6x
【解析】3x（x－2）＝3x2－6x，
故答案为：3x2－6x．
12. 如图是对顶角量角器，它所测量的角是________度．
【答案】30
【解析】由题意得，这个物体的的顶角与其两边的反向延长线组成的一组角是对顶角
由对顶角相等可知，图中的角的度数为30°，即这个物体的角度为30°
故答案为：30.
13. 计算______．
【答案】1
【解析】
，
故答案为：1.
14. 如果多项式是一个完全平方式，则______．
【答案】
【解析】∵，
∴．
故答案为：．
15. 如图，将一张长方形纸片（长方形对边平行）沿EF折叠，使顶点、分别落在点；处，'交点，若，则的度数为______．
【答案】
【解析】由题意得，，
∴，，
∵四边形沿折叠得到四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 两个边长分别为a和b的正方形按图1所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图2所示，再在图1中边长为a大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，则的值是______．
【答案】280
【解析】由图可得：，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴原式，
故答案为：280．
三、作图题：（本题满分4分）
17. 请利用直尺和圆规作图，不写作法，但保留作图痕迹
如图，已知为锐角，是直角，作使其与互余．
结论：
解：如图所示：
以点D为圆心任意长r为半径画圆，交的两边为M、N，
连接，
在的图中，以点O为圆心，r长为半径画圆，再以点C为圆心，长为半径画圆，两圆相交于点B，此时，
∵是直角，
∴与互余，
结论：角度和为两个角互余．
四、解答题（本题满分68分，共有9道小题）
18 计算：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）
．
（2）．
（3）
．
19. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
当时，，
∴化简结果为，代入数值为．
20. 完成下面的解题过程：
如图，，点F是上一点，与的延长线相交于点E，且，
．与平行吗？为什么？
解：．理由如下：
因为（已知），所以（ ）
又因为（已知），所以（ ）
因为（已知），所以（等式的性质）
即 所以
所以（ ）
解：∵，
∴根据两直线平行同位角相等可得到；
∵，，
∴根据等量代换可得到；
∵，
∴由图可得：，
∵，
∴，
根据内错角相等，两直线平行可得到．
21. 在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
22. 周末，小刚家开车到郊外春游，出发前汽车油箱内有一定量的油．在行驶过程中，油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的关系如下表，请根据表格回答下列问题：
（1）汽车行驶前油箱里有 升汽油，汽车每小时耗油 升；
（2）请写出y与t的关系式；
（3）当汽车行驶小时时，油箱中还剩余多少升油？
解：（1）由表格可得，汽车行驶前油箱里有50升汽油，
汽车每小时耗油为：升，
故答案为：50；5；
（2）设y与t的关系式为：，
由表格可知当时，，
代入到关系式中可得：，
此时表达式为：，
由表格可知当时，，
代入到关系式中可得：，
∴y与t的关系式为：，
（3）由（2）可得y与t的关系式为：，
当时，此时升，
∴汽车行驶小时时，油箱中还剩余38升油．
23. 学习了《整式乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？
他通过类比小学除法的运算法则：
被除数=除数×商+余数，推理出多项式除法法则：被除式=除式×商+余式．请根据以上材料，解决下列问题：
（1）请你帮小明求出多项式A；
（2）小明继续探索，已知关于x的多项式除以的商为，余式为x，请你根据以上法则，求出m，n的值．
解：（1）由题意得：
（2）
，
∴，
∴.
24. 甲乙两地相距千米，下图中的折线表示小丽骑自行车时，离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的关系．一辆客车时从乙地出发，以千米/小时的速度匀速行驶，并于甲乙两地之间往返（乘客上下车的停留时间忽略不计）．请结合图像解答下列问题：
（1）小丽一共休息 次，共休息了 小时；
（2）请在图中画出时至时之间客车与甲地的距离（千米）随时间（时）变化的图像；
（3）在 时，小丽与客车同时位于 地（填“甲”或“乙”），除此之外的行进过程中，有 次是小丽与客车迎面相遇．
解：（1）小丽一共休息了次，
第一次休息的时间（小时），
第二次休息的时间：（小时），
∴共休息：（小时）．
故答案为：；．
（2）由图像可知，甲乙两地相距千米，
又∵客车时从乙地出发，以千米/小时的速度匀速行驶，
∴客车往返于甲乙两地单程需要的时间为：（小时），
∵客车匀速行驶，∴客车与甲地的距离是时间的一次函数，
∴时至时之间客车与甲地的距离随时间变化的图像如图所示：
（3）如上图，在点处，即在时，小丽与客车同时位于乙地，
线段、、客车从乙地开往甲地，线段客车从甲地开往乙地，在行进过程中除点之外，小丽与客车分别于点、和处次迎面相遇．
故答案为：；乙；．
25. （1）用两种不同方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．如图1，用长为a，宽为b的四个相同的长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式 ．
（2）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：
（3）已知，请应用上面所得的结论，直接写出的结果 ．
解：（1）由图可得：该正方形的边长为：，
∴该正方形的面积为：，
如果把该正方体看成是四个小长方形和一个小正方形的和，则该面积为：，
∴；
（2）由几何体可知，
该几何体是边长为的正方体，
∴该体积为：，
该几何体还是由1个边长为a的正方体、1个边长为b的正方体，3个长宽高分别为b、b、a，3个长宽高分别为b、a、a，
∴该体积为：，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
由（2）可得，
∴，
将代入可得：，
∴．
26. 如图1，，点C、B分别在直线上，点A为直线 之间的一动点．

【建立模型】
请直接写出之间的数量关系 ．
【应用模型】
（1）提出问题：
如图2，，点E在上，，判断和相等吗？请说明理由．
（2）解决问题：
请把下面的解题过程补充完整．
延长与相交于点K
因为（已知）
所以（ ）
又因为（已知）
所以（ ）
所以 （ ）
由第一问得知：
因为（已知）
即
所以
【拓展提升】
如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为 度．
解：建立模型：过点A作，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
应用模型：延长与相交于点K，
因为（已知），
所以（两直线平行同位角相等），
又因为（已知），
所以（两直线平行，内错角相等），
所以 （等量代换），
由第一问得知：，
因为（已知），
即，
所以，
故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；
拓展提升：∵，
∴，
∵，
即，
∴，
由（1）可知，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
故答案为：．年龄岁
0
3
6
9
12
15
18
21
24
身高
48
100
130
140
150
158
165
170
170.4
时间/小时
0
1
2
3
4
5
邮箱剩余油量/升
50
45
40
35
30
25