2024-2025学年云南省西双版纳州曲靖一中景洪学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省西双版纳州曲靖一中景洪学校高一（下）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={0,m+(m2−1)i}(m∈R)，B={1,−2i}，若A∩B={1}，则( )
A. m=−1B. m=0C. m=1D. m=2
2.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法错误的是( )
A. 若m⊥α，则“n//α”是“m⊥n”的必要条件
B. 若m⊄α，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的充分条件
C. 若m⊥α，则“m⊥β”是“α//β”的充要条件
D. 若m//α，则“m//n”是“n//α”的既不充分也不必要条件
3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=2A′B′=4.则该平面图形的面积为( )
A. 12 2
B. 9 2
C. 8 2
D. 6 2
4.如图，已知AB=a，AC=b，BC=4BD，CA=3CE，则DE=( )
A. 34b−13aB. 512b−34aC. 34a−13bD. 512a−34b
5.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=18，底面△ABC边AB上的高为ℎ.当底面ABC水平放置时水面高度为16(如图①).当侧面AA1B1B水平放置时(如图②)，水面高度为( )
A. 13ℎ
B. 12ℎ
C. 22ℎ
D. 23ℎ
6.灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面C处测得塔在南偏东30°的方向上，向正南方向行走15 2后到达D处，测得塔在南偏东75°的方向上，D处测得塔尖A的仰角为60°，则可得龙洲塔高度为( )
A. 15 2
B. 152( 6+ 2)
C. 15 3
D. 152( 6− 2)
7.下列选项错误的是( )
A. 复数6+5i与−3+4i分别表示向量OA与OB，则向量BA表示的复数为9+i
B. 若复数z满足|z+1−2i|=1，则|z|的最大值为1+ 5
C. 若复数z1，z2，满足z1z2=1−i,z1z2=2+i，则|z12|+|z22|=3 102
D. 若2i−3是方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p=−12，q=26
8.已知f(x)是定义在R的奇函数，且f(x+2)=f(x−2).若f(1)=2，则k=110f(k)=( )
A. −2B. 0C. 2D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若|a|=2，|b|=2，则a>b
B. 在△ABC中，若AB=AC，BC=4，则BA⋅BC=8
C. 已知向量a=(2,−1)，b=(x,1)，a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是(−∞,−2)∪(−2,12)
D. 已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，则“sinA>sinB”的充要条件是“A>B”
10.欧拉公式exi=csx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列选项中正确的是( )
A. e2π3i对应的点位于第二象限B. eπ2i为纯虚数
C. eπi 3+i的模长等于12D. eπ6i的共轭复数为12− 32i
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在点P，使得FP//平面ABC1D1
B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C. 三棱锥C1−A1B1P的体积不为定值
D. 三棱锥F−ACD的外接球表面积为9π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a=(−4,2),b=(1,3)，则a在b方向上的投影向量的坐标为______．
13.如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形ABC，将剩余部分绕着直径AB所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点C为半圆弧的中点，该几何体的体积为______．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a= 3，且b2+c2= 3bc+a2，则∠A=______，△ABC的面积最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点．
(1)证明：E，B，F，D1四点共面；
(2)求平面EBFD1与平面ABCD夹角的正弦值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，C=2π3，D为AB边上一点．
(1)若D为AB的中点，且CD= 3，求b；
(2)若△ABC的面积为4 3，且CD平分∠ACB，求CD的长．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，Q为棱PD的中点．
(1)求证：PB//平面ACQ；
(2)已知：AQ⊥PD
①求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；
②求点P到平面ACQ的距离．
18.(本小题17分)
上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为60米，∠AOB=π3，动点P在扇形AOB的弧上，点Q在半径OB上，且PQ/​/OA．
(1)当OQ=40米时，求分隔栏PQ的长；
(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角形OPQ的面积S的最大值．
19.(本小题17分)
设平面内两个非零向量m，n的夹角为θ，定义一种运算“⊗”：m⊗n=|m||n|sinθ.试求解下列问题：
(1)已知向量a，b满足a=( 3, 2)，|b|=4，a⋅b=8，求a⊗b的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点A(−1,−2)，B(−4,−1)，C(−3,1)，求AB⊗BC的值；
(3)已知向量a=(−1csα,3sinα)，b=(3sinα,1csα)，α∈(0,π2)，求a⊗b的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.D
6.C
7.D
8.C
9.BCD
10.BC
11.ABD
12.(15,35)
13.163π
14.π6 6+3 34
15.解：(1)证明：如图，取DD1的中点G，
连接AG，GF，
则CD//GF，CD=GF，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD//AB，CD=AB，
∴AB//GF，AB=GF，
∴四边形ABFG是平行四边形，∴AG//BF，
∵AE=D1G，AE//D1G，
∴四边形AED1G是平行四边形，∴AG//ED1，
∴BF//ED1，∴E，B，F，D1四点共面．
(2)如图，延长D1E交DA的延长线于点M，
延长D1F交DC的延长线于点N，连接BD，BD1，MN，则点B在MN上，
不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
则DM=DN=4，BD=BM=BN=2 2，D1M=D1N= 42+22=2 5，BD1= (2 2)2+22=2 3，
∴B是MN的中点，
∴BD⊥MN，BD1⊥MN，
∴∠DBD1是平面EBFD1与平面ABCD的夹角，
∵DD1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴DD1⊥BD，
∴sin∠DBD1=DD1BD1= 33．
16.(1)因为D为AB的中点，所以CD=12(CA+CB)，
两边平方得：CD2=14(CA2+CB2+2CA⋅CB)，
因为a=4，C=2π3，CD= 3，
所以3=14(b2+16+2×4×b×cs2π3)，解得b=2；
(2)因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD=π3，
又因为S△ACD+S△BCD=S△ABC，
所以12AC⋅CDsin∠ACD+12BC⋅CDsin∠BCD=12AC⋅CBsin∠ACB，
所以12×CD×b×sinπ3+12×4×CD×sinπ3=12×4×b×sin2π3=4 3，
解得CD=2．
17.(1)证明：如图：
在四棱锥P−ABCD中，连接BD，交AC于E，因为四边形ABCD为正方形，所以E为BD中点，
又Q为PD中点，所以EQ//PB，又EQ⊂平面ACQ，PB⊄平面ACQ，
所以PB//平面ACQ．
(2)②因为PA⊥平面ABCD，所以△PAD是直角三角形，
又Q为PD中点，且AQ⊥PD，所以AP=AD=2．
设点P到平面ACQ的距离为ℎ，
则VP−ACQ=13S△ACQ⋅ℎ．
又因为S△APQ=12S△APD=12×12×AP×AD=12×12×2×2=1，
所以VP−ACQ=VC−APQ=13S△APQ⋅CD=13×1×2=23．
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA，
又底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，PA，AD⊂平面APD，PA∩AD=A，
所以CD⊥平面APD．
又PD⊂平面APD，所以CD⊥PD.所以△CDQ为直角三角形．
△ACQ中，AQ= 2，CQ= CD2+DQ2= 22+( 2)2= 6，AC=2 2．
因为AQ2+CQ2=AC2，则AQ⊥CQ，
所以S△ACQ=12× 2× 6= 3．
所以ℎ=3×23 3=2 33．
即点P到平面ACQ的距离为2 33．
又PC= AP2+AC2= 4+8=2 3，
①设直线CP与平面ACQ所成的角为θ，
则sinθ=ℎPC=2 332 3=13．
即直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为13．
18.解：(1)扇形的半径OP=60，
因为圆心角为π3，所以∠PQO=2π3，又OQ=40，
在△OPQ中，由余弦定理可得，OP2=OQ2+PQ2−2OQ⋅PQ⋅cs2π3，
即602=402+PQ2−2×40×PQ×(−12)，
解得PQ=20 6−20或PQ=−20 6−20(舍去)，
所以PQ的长为(20 6−20)米．
(2)设∠AOP=θ，θ∈(0,π3)，
在△OPQ中，由正弦定理得，PQsin(π3−θ)=OPsin∠OQP=60sin2π3，
所以PQ=120 3sin(π3−θ)，θ∈(0,π3)，
所以△OPQ的面积为S=12⋅PQ⋅OP⋅sinθ
=3600 3sin(π3−θ)sinθ
=1200 3( 32csθ−12sinθ)sinθ
=1200 3( 34sin2θ+14cs2θ−14)
=600 3sin(2θ+π6)−300 3，
当sin(2θ+π6)=1，即θ=π6时，△OPQ的面积最大为300 3平方米，
所以此时种植白玉兰的最大面积是300 3平方米．
19.解：(1)因为a=( 3, 2)，|b|=4，a⋅b=8，
可得a|=| ( 3)2+( 2)2= 5，
则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=8 5×4=2 55，
又〈a,b〉∈[0,π]，
所以sin〈a,b〉= 1−cs2〈a,b〉= 55，
所以a⊗b=|a||b|sin〈a,b〉= 5×4× 55=4；
(2)由A(−1,−2)，B(−4,−1)，C(−3,1)，
可得AB=(−3,1)，BC=(1,2)，
所以|AB|= (−3)2+12= 10，|BC|= 12+22= 5，
|AB⋅BC=−3×1+1×2=−1，
所以cs〈AB,BC〉=AB⋅BC|AB|⋅|BC|=−1 10× 5=− 210，
又0≤〈AB,BC〉≤π，
所以sin〈AB,BC〉= 1−cs2〈AB,BC〉= 1−(− 210)2=7 210，
所以AB⊗BC=|AB||BC|sin〈AB,BC〉= 10× 5×7 210=7；
(3)由向量a=(−1csα,3sinα)，b=(3sinα,1csα)，
可得a⋅b=−1csα×3sinα+3sinα×1csα=0，
所以a⊥b，则〈a,b〉=π2，sin〈a,b〉=sinπ2=1，
又|a|=|b|= (1csα)2+(3sinα)2，
所以a⊗b=|a||b|sin〈a,b〉=(1csα)2+(3sinα)2
=1cs2α+3sin2α=sin2α+cs2αcs2α+3(sin2α+cs2α)sin2α
=sin2αcs2α+3cs2αsin2α+4=tan2α+3tan2α+4，
因为α∈(0,π2)，所以tanα>0，
所以tan2α>0，
所以tan2α+3tan2α≥2 tan2α⋅3tan2α=2 3，
当且仅当tan2=3tan2α，tanα>0，即tanα= 3时等号成立，
所以tan2α+3tan2α+4的最小值为4+2 3，
所以a⊗b的最小值为4+2 3．