2024-2025学年云南省西双版纳州曲靖一中景洪学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省西双版纳州曲靖一中景洪学校高一（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={0,m+(m2−1)i}(m∈R)，B={1,−2i}，若A∩B={1}，则( )
A. m=−1B. m=0C. m=1D. m=2
2.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法错误的是( )
A. 若m⊥α，则“n//α”是“m⊥n”的必要条件
B. 若m⊄α，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的充分条件
C. 若m⊥α，则“m⊥β”是“α//β”的充要条件
D. 若m//α，则“m//n”是“n//α”的既不充分也不必要条件
3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=2A′B′=4.则该平面图形的面积为( )
A. 12 2
B. 9 2
C. 8 2
D. 6 2
4.如图，已知AB=a，AC=b，BC=4BD，CA=3CE，则DE=( )
A. 34b−13aB. 512b−34aC. 34a−13bD. 512a−34b
5.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=18，底面△ABC边AB上的高为ℎ.当底面ABC水平放置时水面高度为16(如图①).当侧面AA1B1B水平放置时(如图②)，水面高度为( )
A. 13ℎ
B. 12ℎ
C. 22ℎ
D. 23ℎ
6.灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面C处测得塔在南偏东30°的方向上，向正南方向行走15 2后到达D处，测得塔在南偏东75°的方向上，D处测得塔尖A的仰角为60°，则可得龙洲塔高度为( )
A. 15 2
B. 152( 6+ 2)
C. 15 3
D. 152( 6− 2)
7.下列选项错误的是( )
A. 复数6+5i与−3+4i分别表示向量OA与OB，则向量BA表示的复数为9+i
B. 若复数z满足|z+1−2i|=1，则|z|的最大值为1+ 5
C. 若复数z1，z2，满足z1z2=1−i,z1z2=2+i，则|z12|+|z22|=3 102
D. 若2i−3是方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p=−12，q=26
8.已知f(x)是定义在R的奇函数，且f(x+2)=f(x−2).若f(1)=2，则k=110f(k)=( )
A. −2B. 0C. 2D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若|a|=2，|b|=2，则a>b
B. 在△ABC中，若AB=AC，BC=4，则BA⋅BC=8
C. 已知向量a=(2,−1)，b=(x,1)，a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是(−∞,−2)∪(−2,12)
D. 已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，则“sinA>sinB”的充要条件是“A>B”
10.欧拉公式exi=csx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列选项中正确的是( )
A. e2π3i对应的点位于第二象限B. eπ2i为纯虚数
C. eπi 3+i的模长等于12D. eπ6i的共轭复数为12− 32i
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在点P，使得FP//平面ABC1D1
B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C. 三棱锥C1−A1B1P的体积不为定值
D. 三棱锥F−ACD的外接球表面积为9π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a=(−4,2),b=(1,3)，则a在b方向上的投影向量的坐标为______．
13.如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形ABC，将剩余部分绕着直径AB所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点C为半圆弧的中点，该几何体的体积为______．
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a= 3，且b2+c2= 3bc+a2，则∠A=______，△ABC的面积最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点．
(1)证明：E，B，F，D1四点共面；
(2)求平面EBFD1与平面ABCD夹角的正弦值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，C=2π3，D为AB边上一点．
(1)若D为AB的中点，且CD= 3，求b；
(2)若△ABC的面积为4 3，且CD平分∠ACB，求CD的长．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，Q为棱PD的中点．
(1)求证：PB//平面ACQ；
(2)已知：AQ⊥PD
①求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；
②求点P到平面ACQ的距离．
18.(本小题17分)
上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为60米，∠AOB=π3，动点P在扇形AOB的弧上，点Q在半径OB上，且PQ/​/OA．
(1)当OQ=40米时，求分隔栏PQ的长；
(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角形OPQ的面积S的最大值．
19.(本小题17分)
设平面内两个非零向量m，n的夹角为θ，定义一种运算“⊗”：m⊗n=|m||n|sinθ.试求解下列问题：
(1)已知向量a，b满足a=( 3, 2)，|b|=4，a⋅b=8，求a⊗b的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点A(−1,−2)，B(−4,−1)，C(−3,1)，求AB⊗BC的值；
(3)已知向量a=(−1csα,3sinα)，b=(3sinα,1csα)，α∈(0,π2)，求a⊗b的最小值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可得m+(m2−1)i=1，则m=1m2−1=0，解得m=1，
当m=1时，A={0,1}，又B={1,−2i}，此时A∩B={1}，符合题意．
故选：C．
根据给定条件，利用交集的结果，结合复数相等求出m值，验证即得．
本题考查交集及其运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，
对于A，若m⊥α，则“n//α”是“m⊥n”的充分不必要条件，故A错误；
对于B，m⊄α，n⊂α，则“m//n”⇒“m//α”，
“m//α”⇒“m，n平行或异面”，
∴“m//n”是“m//α”的充分条件，故B正确；
对于C，m⊥α，则“m⊥β”⇔“α//β”，
∴“m⊥β”是“α//β”的充要条件，故C正确；
对于D，m//α，则“m//n”⇒“n//α或n⊂α”，
“n//α”⇒“m，n相交、平行或异面“，
∴“m//n”是“n//α”的既不充分也不必要条件，故D正确．
故选：A．
利用线面垂直的性质判断A；利用线面平行的判定与性质判断B；利用线面垂直的性质、面面平行的判定判断C；利用线面平行的性质判断D．
本题考查线面垂直、线面平行、面面平行的判定与性质、充分条件、必要条件等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，直观图为直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=2A′B′=4．
其面积S′=(2+4)×22=6 2，
故原图的面积S=2 2S′=12 2．
故选：A．
根据题意，求出直观图的面积，进而由原图面积与直观图面积的关系，分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量的三角形法则和向量的数乘运算，属于基础题．
根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出．
【解答】
解：∵BC=4BD，
∴DC=34BC=34(AC−AB)
∴DE=DC+CE=34(AC−AB)+13CA
=(34−13)AC−34AB=512b−34a，
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：设AB=a，图2中，侧面小三角形面积为S，
则根据题意可得V水=12aℎ×16=12aℎ×18−18S，
所以12aℎ=9S，
所以S12aℎ=19，
所以图2中侧面小三角形与大三角形的高之比为13，
所以水面高度为23ℎ．
故选：D．
设AB=a，图2中侧面小三角形面积为S，则根据题意可得V水=12aℎ×16=12aℎ×18−18S，从而可得图2中侧面小三角形与大三角形的高之比为13，从而得解．
本题考查几何体的体积问题的求解，属中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得∠BCD=30°，CD=15 2，∠ADB=60°，
△BCD中，可得∠CDB=180°−75°=105°，
所以∠CBD=180°−30°−105°=45°，
因为CD=15 2，
由正弦定理可得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，
即15 2 22=BD12，可得BD=15，
在Rt△ABD中，可得AB=BD⋅tan∠ADB=15× 3=15 3．
故选：C．
由题意在△BCD中，由正弦定理可得BD的大小，在再求出AB的值．
本题考查正弦定理的应用及直角三角形的性质的应用，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：A：由选项A可得：OA=(6,5)，OB=(−3,4)，∴BA=OA−OB=(9,1)，
∴向量BA表示的复数为9+i，故A正确；
B：设z=x+yi(x,y∈R)，∴|z+1−2i|=|x+1+(y−2)i|=1，
∴在复平面内点Z(x,y)在圆C：(x+1)2+(y−2)2=1上，
∴圆C的圆心C(−1,2)，半径r=1，
∴|z|的几何意义为原点O(0,0)到圆C上点的距离，
又|OC|= 5，∴|z|的最大值为1+ 5，故B正确；
C：∵z1z2=1−i,z1z2=2+i，
∴z12=z1z2⋅(z1z2)=(1−i)(2+i)=3−i，z22=z1z2z1z2=2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+32i，
∴|z12|+|z22|= 32+(−1)2+ (12)2+(32)2=3 102，故C正确；
D：∵2i−3是方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
∴方程的两个根分别为x1=−3+2i，x2=−3−2i，
∴−p2=x1+x2=−6，q2=x1x2=13，∴p=12，q=26，故D错误．
故选：D．
A选项利用复数的几何意义即可判断；B选项转化为原点到圆上点的距离的最值问题求解；C选项将z12，z22用z1z2,z1z2表示即可求解；D选项利用已知条件可写出方程的两个根，再利用韦达定理即可求解．
本题考查了复数的运算性质以及复数的几何意义，涉及到方程虚根，韦达定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为f(x)是定义在R的奇函数，f(1)=2，
所以f(−1)=−f(1)=−2，
又因为f(x+2)=f(x−2)，
所以f(x+4)=f(x)，
所以函数的周期为4，
在f(x+2)=f(x−2)中，
令x=0，则f(2)=f(−2)=−f(2)，解得f(2)=0；
令x=1，则f(3)=f(−1)=−2；
令x=2，则f(4)=f(0)=0；
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0−2+0=0，
所以k=110f(k)=2[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2×0+2+0=2．
故选：C．
由f(x+2)=f(x−2)，可得函数的周期为4，利用赋值法及奇函数的性质，求出f(2)、f(3)及f(4)的值，即可得答案．
本题考查了奇函数的性质、函数的周期性及赋值法的应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A选项，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A选项错误；
对于B选项，在△ABC中，若AB=AC，BC=4，
则BA⋅BC=|BC||BA|csB=|BC|×12|BC|=4×2=8，故B选项正确；
对于C选项，已知向量a=(2,−1)，b=(x,1)，a与b的夹角为钝角，
由a⋅bb⇔A>B，故D选项正确．
故选：BCD．
对于A，向量不能比较大小；对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断；对于C，利用数量积为负，同时要排除反向共线即平角的情况即可判断；对于D，由正弦定理和大边(角)对大角(边)即可判断．
本题考查了平面向量的综合应用，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：e2π3i=cs2π3+isin2π3=−12+ 32i，对应的点位于第四象限，所以A不正确；
eπ2i=csπ2+isinπ2=i，是纯虚数，所以B正确；
eπi=csπ+isinπ=−1，
|eπi 3+i|=1| 3+i|=12，所以复数的模长等于12，所以C正确；
eπ6i=csπ6+isinπ6= 32+12i，它的共轭复数为 32−12i，所以D不正确；
故选：BC．
利用欧拉公式exi=csx+isinx，化简各个选项，判断对应点所在象限即可．
本题考查复数的基本运算，欧拉公式的应用，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：当P为BD中点时，由F是DD1的中点得FP//BD1，
∵FP⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，
∴FP//平面ABC1D1，故A正确；
由E，F分别是AD，DD1的中点，知EF/​/AD1，
由正方体的结构特征可得AD1/​/BC1，则EF/​/BC1，知截面为梯形EBC1F，故B正确；
VC1−A1B1P=VP−A1B1C1=13×12×2×2×2=43，可得三棱锥C1−A1B1P的体积为定值，故C错误；
三棱锥F−ACD的外接球可以补形为长方体外接球，
其过一个顶点D的三条侧棱长分别为2，2，1，半径R= 4+4+12=32，
表面积S4π×(32)2=9π，故D正确．
故选：ABD．
由P为BD中点可判断A；由EF/​/BC1可判断B；由VC1−A1B1P=VP−A1B1C1可判断C；由分割补形法求三棱锥外接球的表面积判断D．
本题考查命题的真假判断与应用，考查棱锥体积、多面体外接球球的表面积的求法，是中档题．
12.【答案】(15,35)
【解析】解：由题可得a⋅b=−4×1+2×3=2，|b|= 12+32= 10，
所以向量a在b方向上的投影向量坐标为a⋅b|b|⋅b|b|=2 10⋅(1,3) 10=(15,35)．
故答案为：(15,35)．
根据投影向量公式直接计算可得．
本题考查投影向量的求解，属于基础题．
13.【答案】163π
【解析】解：根据题意可知，三角形ABC即为等腰直角三角形，
作CO⊥AB于点O，如下图所示：
则三角形ABC绕着直径AB所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥AO和BO，
由半径为2可得圆锥底面圆半径为CO=2，圆锥的高AO=2，
则圆锥AO的体积V1=13π×22×2=83π，
半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为V2=43π×23=323π，
因此剩余部分所形成的几何体的体积为V=V2−2V1=323π−2×83π=163π．
故答案为：163π．
在三角形ABC中作CO⊥AB于点O，求得圆锥AO的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果．
本题主要考查了旋转体的结构特征，考查了圆锥和球的体积公式，属于中档题．
14.【答案】π6 6+3 34
【解析】解：根据题意可知，csA=b2+c2−a22bc= 32，
因A∈(0,π)，故A=π6，根据基本不等式：b2+c2≥2bc，
得 3bc+3≥2bc，所以bc≤32− 3=6+3 3，当且仅当b=c时取等号，
所以S△ABC=12bcsinA≤6+3 34．
故答案为：π6；6+3 34．
第一空：由余弦定理即可求解，第二空：由基本不等式求得bc最大值，即可求解．
本题考查了余弦定理，属于中档题．
15.【答案】解：(1)证明：如图，取DD1的中点G，
连接AG，GF，
则CD/​/GF，CD=GF，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD/​/AB，CD=AB，
∴AB//GF，AB=GF，
∴四边形ABFG是平行四边形，∴AG//BF，
∵AE=D1G，AE//D1G，
∴四边形AED1G是平行四边形，∴AG//ED1，
∴BF//ED1，∴E，B，F，D1四点共面．
(2)如图，延长D1E交DA的延长线于点M，
延长D1F交DC的延长线于点N，连接BD，BD1，MN，则点B在MN上，
不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
则DM=DN=4，BD=BM=BN=2 2，D1M=D1N= 42+22=2 5，BD1= (2 2)2+22=2 3，
∴B是MN的中点，
∴BD⊥MN，BD1⊥MN，
∴∠DBD1是平面EBFD1与平面ABCD的夹角，
∵DD1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴DD1⊥BD，
∴sin∠DBD1=DD1BD1= 33．
【解析】(1)根据条件证明出线线平行，即可得到四点共面；
(2)延长D1E交DA的延长线于点M，延长D1F交DC的延长线于点N，连接BD，BD1，MN，根据面面角的定义找到∠DBD1是平面EBFD1与平面ABCD的夹角，然后直接求解该夹角的正弦值即可．
本题考查四点共面的判定，以及面面夹角的计算，属于中档题．
16.【答案】2； 2．
【解析】(1)因为D为AB的中点，所以CD=12(CA+CB)，
两边平方得：CD2=14(CA2+CB2+2CA⋅CB)，
因为a=4，C=2π3，CD= 3，
所以3=14(b2+16+2×4×b×cs2π3)，解得b=2；
(2)因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD=π3，
又因为S△ACD+S△BCD=S△ABC，
所以12AC⋅CDsin∠ACD+12BC⋅CDsin∠BCD=12AC⋅CBsin∠ACB，
所以12×CD×b×sinπ3+12×4×CD×sinπ3=12×4×b×sin2π3=4 3，
解得CD=2．
(1)由三角形中线的性质可得CD=12(CA+CB)，再将其平方计算即可求得；
(2)由面积相等可建立关于CD的方程，求解即可．
本题考查三角形中线与角平分线的性质，三角形的面积公式应用，属于中档题．
17.【答案】证明见解析； ①13；②2 33．
【解析】(1)证明：如图：
在四棱锥P−ABCD中，连接BD，交AC于E，因为四边形ABCD为正方形，所以E为BD中点，
又Q为PD中点，所以EQ//PB，又EQ⊂平面ACQ，PB⊄平面ACQ，
所以PB/​/平面ACQ．
(2)②因为PA⊥平面ABCD，所以△PAD是直角三角形，
又Q为PD中点，且AQ⊥PD，所以AP=AD=2．
设点P到平面ACQ的距离为ℎ，
则VP−ACQ=13S△ACQ⋅ℎ．
又因为S△APQ=12S△APD=12×12×AP×AD=12×12×2×2=1，
所以VP−ACQ=VC−APQ=13S△APQ⋅CD=13×1×2=23．
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA，
又底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，PA，AD⊂平面APD，PA∩AD=A，
所以CD⊥平面APD．
又PD⊂平面APD，所以CD⊥PD.所以△CDQ为直角三角形．
△ACQ中，AQ= 2，CQ= CD2+DQ2= 22+( 2)2= 6，AC=2 2．
因为AQ2+CQ2=AC2，则AQ⊥CQ，
所以S△ACQ=12× 2× 6= 3．
所以ℎ=3×23 3=2 33．
即点P到平面ACQ的距离为2 33．
又PC= AP2+AC2= 4+8=2 3，
①设直线CP与平面ACQ所成的角为θ，
则sinθ=ℎPC=2 332 3=13．
即直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为13．
(1)构造线线平行，根据线线平行，证明线面平行；
(2)利用体积法求点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦．
本题考查线面平行的判定，以及线面角的计算，考查等体积法的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)扇形的半径OP=60，
因为圆心角为π3，所以∠PQO=2π3，又OQ=40，
在△OPQ中，由余弦定理可得，OP2=OQ2+PQ2−2OQ⋅PQ⋅cs2π3，
即602=402+PQ2−2×40×PQ×(−12)，
解得PQ=20 6−20或PQ=−20 6−20(舍去)，
所以PQ的长为(20 6−20)米．
(2)设∠AOP=θ，θ∈(0,π3)，
在△OPQ中，由正弦定理得，PQsin(π3−θ)=OPsin∠OQP=60sin2π3，
所以PQ=120 3sin(π3−θ)，θ∈(0,π3)，
所以△OPQ的面积为S=12⋅PQ⋅OP⋅sinθ
=3600 3sin(π3−θ)sinθ
=1200 3( 32csθ−12sinθ)sinθ
=1200 3( 34sin2θ+14cs2θ−14)
=600 3sin(2θ+π6)−300 3，
当sin(2θ+π6)=1，即θ=π6时，△OPQ的面积最大为300 3平方米，
所以此时种植白玉兰的最大面积是300 3平方米．
【解析】(1)在三角形ΔQPO中利用余弦定理列方程，即可解出PQ的长；
(2)设∠AOP=θ，将三角形ΔOPQ的面积用θ表示出来，再求最大值．
本题考查了函数模型的实际应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19.【答案】4；
7；
4+2 3．
【解析】解：(1)因为a=( 3, 2)，|b|=4，a⋅b=8，
可得a|=| ( 3)2+( 2)2= 5，
则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=8 5×4=2 55，
又〈a,b〉∈[0,π]，
所以sin〈a,b〉= 1−cs2〈a,b〉= 55，
所以a⊗b=|a||b|sin〈a,b〉= 5×4× 55=4；
(2)由A(−1,−2)，B(−4,−1)，C(−3,1)，
可得AB=(−3,1)，BC=(1,2)，
所以|AB|= (−3)2+12= 10，|BC|= 12+22= 5，
|AB⋅BC=−3×1+1×2=−1，
所以cs〈AB,BC〉=AB⋅BC|AB|⋅|BC|=−1 10× 5=− 210，
又0≤〈AB,BC〉≤π，
所以sin〈AB,BC〉= 1−cs2〈AB,BC〉= 1−(− 210)2=7 210，
所以AB⊗BC=|AB||BC|sin〈AB,BC〉= 10× 5×7 210=7；
(3)由向量a=(−1csα,3sinα)，b=(3sinα,1csα)，
可得a⋅b=−1csα×3sinα+3sinα×1csα=0，
所以a⊥b，则〈a,b〉=π2，sin〈a,b〉=sinπ2=1，
又|a|=|b|= (1csα)2+(3sinα)2，
所以a⊗b=|a||b|sin〈a,b〉=(1csα)2+(3sinα)2
=1cs2α+3sin2α=sin2α+cs2αcs2α+3(sin2α+cs2α)sin2α
=sin2αcs2α+3cs2αsin2α+4=tan2α+3tan2α+4，
因为α∈(0,π2)，所以tanα>0，
所以tan2α>0，
所以tan2α+3tan2α≥2 tan2α⋅3tan2α=2 3，
当且仅当tan2=3tan2α，tanα>0，即tanα= 3时等号成立，
所以tan2α+3tan2α+4的最小值为4+2 3，
所以a⊗b的最小值为4+2 3．
(1)根据已知得出|a|，结合数量积公式得出cs〈a,b〉的值，进而求出sin〈a,b〉的值，根据定义代入数值计算即可得出答案；
(2)根据已知得出AB,BC的坐标，进而根据向量模及其数量积的坐标表示得出cs〈AB,BC〉的值，进而求出sin〈AB,BC〉，然后代入公式求解即可得出答案；
(3)由已知可得a⋅b=0，进而根据向量模的坐标表示得出向量的模，根据定义公式并化简得出a⊗b=tan2α+3tan2α+4，根据基本不等式即可得出答案．
本题考查m⊗n的新定义的应用，向量数量积的应用，属于中档题．