2024_2025学年安徽省亳州市蒙城县八年级下册6月期末数学试卷【附答案】

这是一份2024_2025学年安徽省亳州市蒙城县八年级下册6月期末数学试卷【附答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A.8B.46C.13

2.如果一个多边形的每一个内角都是108∘，那么这个多边形是（ ）
A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形

3.若a为方程2x2+x−4=0的解，则6a2+3a−9的值为（ ）
A.2B.3C.−4D.−9

4.△ABC的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A.∠A=∠B−∠CB.a:b:c=5:12:13
C.∠A:∠B:∠C=3:4:5D.a2=b+cb−c

5.用配方法解方程x2−8x−1=0时，配方后得到的方程为（ ）
A.x−42=15B.x+42=17C.x−42=17D.x−82=65

6.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，AB=6，AD=10，则EF的长为（ ）
A.2B.3C.4D.6

7.在一次演讲比赛中，七位评委为某位选手打出的分数如下：87，95，89，99，87，93，97（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是（ ）
A.平均分 B.众数 C.中位数 D.方差

8.如图，在矩形ABCD中，BC=12，点M为AB的中点，连接MD，点E为MD中点，连接BE、CE，若∠BEC为直角，则AB的长为（ ）
A.4B.8C.9D.10

9.已知a，b，c为实数，且b−a=c2+2c+1，b+a=3c2−4c+11，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A.b≥a>cB.b≥c>aC.a≥b>cD.c>b≥a

10.如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10，点D为边AB上一动点，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，P为EF的中点，则PD的最小值为（ ）
A.2.4B.4.8C.6D.8
二、填空题

11.方程x2−4=0的解是____________．

12.如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N.若DM=1，CM=2，则矩形的对角线AC的长为____________．

13.定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝2，MN＝3，则BN的长为________．

14.如图，▱ABCD中，∠ABC=60∘，AB:BC=2:3，点E是CD的中点．
1当CE=2时，则BE=____________；
2点F在BC上，且BF:FC=1:2，过点A分别作AM⊥BE于点M，AN⊥DF于点N，则AMAN=____________．
三、解答题

15.计算：54×13−8+18÷2．

16.解方程：2x2+3x=2．

17.在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点．
（1）在图1中，以格点为顶点画△ABC，使三边长分别为AB=5，BC=10，AC=5
（2）如图2，△ABC各顶点均在格点上，求△ABC的面积和点A到BC的距离．

18.观察下列等式，解答后面的问题．
第1个等式：8+1=3；
第2个等式：12+12=512；
第3个等式：16+13=713；
第4个等式：20+14=914．
…
（1）按照此规律，第5个等式是：______；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

19.已知关于x的一元二次方程：kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k的值．

20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,CD=BC，对角线AC,BD交于点O，AC平分∠BCD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OE=8,BD=12，求BC的长．

21.为了解某校八年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表
学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a=______，b=______；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）跳远成绩大于等于2.0m为优秀，若该校八年级共有1300名学生，估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有多少人？

22.项目式学习：
【项目背景】
在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略．
【市场调研】
经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下．
【目标任务】
于是，商店运营项目组面临两个关键任务：
任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低x元，需准确计算出每天的销售量（用舍x的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据支持．
任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升．
请完成这两个任务．

23.如图1，在正方形ABCD中，AE⊥FG,AE、FG相交于点O．
（1）求证：AE=FG；
（2）如图2，连接DO，当BE=DG时．
①求证：DO=AD；
②如图2，当D、O、B三点共线时，求OG2AD2的值．
参考答案与试题解析
2024-2025学年安徽省亳州市蒙城县八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
最简二次根式
【解析】
化简得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：A、8=22，不是最简二次根式；
B、46是最简二次根式；
C、13=33，不是最简二次根式；
D、0.64=64100=810=45，不是最简二次根式；
故选：B．
2.
【答案】
B
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
根据多边形的内角和公式列式计算即可解答．
【解答】
解：设这个多边形是n边形，
由题意得：n−2⋅180∘=108∘⋅n，解得n=5．
所以这个多边形是五边形．
故选B．
3.
【答案】
B
【考点】
已知式子的值，求代数式的值
一元二次方程的解
【解析】
把x=a代入方程求得2a2+a=4，然后根据6a2+3a−9=32a2+a−9即可求解．
【解答】
解：把x=a代入方程得：2a2+a−4=0，
则2a2+a=4，
则6a2+3a−9=32a2+a−9=12−9=3．
故选：B．
4.
【答案】
C
【考点】
三角形内角和定理
判断三边能否构成直角三角形
【解析】
利用勾股定理逆定理和三角形内角和判断即可．
【解答】
解：A、∵∠A=∠B−∠C，
∴∠B=∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴2∠B=180∘，
解得∠B=90∘，
∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
B、∵a:b:c=5:12:13，
设a=5x，b=12x，c=13x，
∴a2+b2=169x2=c2，
∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
C、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，
∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠C=75∘，
∴△ABC是锐角三角形，所以此选项符合题意；
D、∵a2=b+cb−c，
∴a2=b2−c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
故选：C．
5.
【答案】
C
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得．
【解答】
解：x2−8x−1=0，
x2−8x=1，
x2−8x+16=1+16，
x−42=17，
故选：C．
6.
【答案】
A
【考点】
角平分线的有关计算
根据等角对等边证明边相等
利用平行四边形的性质求解
【解析】
根据平行四边形的性质、角平分线的定义、等角对等边得出AB=AE=6，DF=DC=AB=6，再根据线段的和差关系即可求解．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=6
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠FCB，
∵BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，
∴∠ABE=∠CBE，∠DCF=∠FCB，
∴∠ABE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，
∴AB=AE=6，DF=DC=AB=6，
∴AF+EF+EF+ED=6+6=12，
又∵AD=10，
即AF+FE+DE=10，
∴EF=2．
故选：A．
7.
【答案】
C
【考点】
中位数
【解析】
先将分数从小到大依次排序，然后分别求解各量，最后比较即可．
【解答】
解：将分数从小到大依次排序为：87，87，89，93，95，97，99；
平均分为：87+87+89+93+95+97+997=6477，
众数为：87，
中位数为：93，
方差为：87−64772×2+89−64772+93−64772+95−64772+97−64772+99−647727=99249，
去掉一个最高分和一个最低分后从小到大依次排序为：87，89，93，95，97；
平均分为：87+89+93+95+975=4615，
众数不存在，
中位数为：93，
方差为：87−46152+89−46152+93−46152+95−46152+97−461525=34425，
∴去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数，
故选：C．
8.
【答案】
B
【考点】
与三角形中位线有关的求解问题
直角三角形斜边上的中线
利用矩形的性质证明
【解析】
连接AE，过点E作EF⊥AD于F，并延长FE，交BC于点H，由题意易得∠BAD=∠ADC=∠ABC=90∘，AD=BC=12，AB=DC，则有四边形ABHF，四边形FHCD都是矩形，AE=DE，AF=DF，然后可得BH=CH，又∠BEC=90∘，所以EH=12BC=6，又根据中位线定理有EF=12AM=14AB，EH=34AB，然后问题可求解．
【解答】
连接AE，过点E作EF⊥AD于F，并延长FE，交BC于点H，
∵EF⊥AD，
∴∠AFH=∠DFH=90∘，
∵四边形ABCD是矩形，BC=12，
∴∠BAD=∠ADC=∠ABC=90∘，AD=BC=12，AB=DC，AD // BC，
∴∠BHF=∠DFH=90∘，∠CHF=∠AFH=90∘，
∴四边形ABHF，四边形FHCD都是矩形，
∵E为MD的中点，
∴AE=12DM，DE=12DM，
∴AE=DE，
∵EF⊥AD，
∴AF=DF，
∵四边形ABHF，四边形FHCD都是矩形，
∴BH=AF，CH=DF，
∴BH=CH，
∵∠BEC=90∘，
∴EH=12BC=6，
∵点E是DM的中点，AF=DF，
∴EF=12AM，
∵M为AB的中点，
∴AM=12AB，
∴EF=14AB，
∴EH=34AB=6，
∴AB=8，
故选：B．
9.
【答案】
A
【考点】
实数大小比较
【解析】
根据a−c=c−22+1≥0得b≥a，根据b−a−b+a=c2+2c+1−3c2−4c+11得a=c2−3c+5，则a−c=c2−4c+5=c−22+1≥0，即可得a>c，综上，即可得．
【解答】
解：∵b−a=c2+2c+1=c+12≥0，
∴b≥a，
∵b−a−b+a=c2+2c+1−3c2−4c+11，
∴2a=2c2−6c+10，
a=c2−3c+5，
∵a−c=c2−4c+5=c−22+1≥0，
∴a>c，
∴b≥a>c，
故选：A
10.
【答案】
A
【考点】
垂线段最短
判断三边能否构成直角三角形
直角三角形斜边上的中线
根据矩形的性质与判定求线段长
【解析】
根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，∠C=90∘，由题意可证四边形CEDF是矩形，再根据P为EF的中点，得到DP=12EF，当EF最小时，PD的值最小，如图所示，连接CD，由矩形的性质可得当CD最小时，即EF最小，此时PD的值最小，据点到直线，垂线段最短可得，当CD⊥AB时，CD的值最小，由等面积法得到S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，可求出CD=EF=4.8，由此即可求解．
【解答】
解：∵62+82=102，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90∘，
∵DE⊥AC,DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90∘=∠C，
∴四边形CEDF是矩形，
∴∠EDF=90∘，
∵P为EF的中点，
∴DP=12EF，
∴当EF最小时，PD的值最小，
如图所示，连接CD，
∵四边形CEDF是矩形，
∴EF=CD，
∴当CD最小时，即EF最小，此时PD的值最小，
根据点到直线，垂线段最短可得，当CD⊥AB时，CD的值最小，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=6×810=4.8，
∴EF的最小值为4.8，
∴PD=12EF=12×4.8=2.4，
故选：A ．
二、填空题
11.
【答案】
±2/2或−2/−2或2
【考点】
利用平方根解方程
【解析】
本题考查了利用平方根求解方程的解，根据x2=4求出结果即可．
【解答】
解：x2−4=0，
x2=4，
∴x=±2，
故答案为：±2．
12.
【答案】
23
【考点】
线段垂直平分线的性质
根据矩形的性质与判定求线段长
【解析】
连接AM，在Rt△ADM中，利用勾股定理求出AD2，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC即可．
【解答】
解：如图，连接AM．
∵直线MN垂直平分AC，
∴MA=MC=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90∘，
∵DM=1，MA=2，
∴AD2=AM2−DM2=22−12=3，
∴AC=AD2+CD2=3+9=23；
故答案为：23．
13.
【答案】
5或13
【考点】
勾股定理
【解析】
分两种情况：①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．
【解答】
分两种情况：
①当MN为最大线段时，
∵ 点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴ BN=MN2−AM2=32−22=5；
②当BN为最大线段时，
∵ 点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴ BN=MN2+AM2=32+22=13；
综上所述：BN的长为5或13．
14.
【答案】
213,23913
【考点】
与三角形的高有关的计算问题
含30度角的直角三角形
勾股定理的应用
利用平行四边形的性质求解
【解析】
（1）过点E作EG⊥BC延长线于点G，由平行四边形的性质得出∠DCG=60∘，得出∠CEG=30∘，然后利用含30度角的直角三角形和勾股定理即可解决问题；
2过点D作DH⊥BC延长线于点H，连接AF、AE，设CD=AB=2x，则BC=3x，由直角三角形的性质和勾股定理求出DF，BE，由三角形的面积关系得出AM⋅BE=AN⋅DF，即可得出结果．
【解答】
解：（1）如图，过点E作EG⊥BC延长线于点G，
在▱ABCD中，
∵AB // CD，
∴∠DCG=∠ABC=60∘，
∴∠CEG=30∘，
∵CE=2，
∴CG=12CE=1，
∴EG=CE2−CG2=3，
∵点E是CD的中点，
∴CD=AB=2CE=4，
∵AB:BC=2:3，
∴BC=6，
∴BG=BC+CG=7，
在Rt△BEG中，根据勾股定理得：
BE=BG2+EG2=72+3=213，
故答案为：213；
2过点D作DH⊥BC延长线于点H，连接AF、AE，
∵平行四边形ABCD中，AB:BC=2:3，∠ABC=60∘，AB // CD，
∴∠DCH=∠ABC=60∘，
∴∠CEG=∠CDH=30∘，
设CD=AB=2x，则BC=3x，
∴CH=12CD=x，DH=CD2−CH2=3x，
∵E是CD的中点，
∴CE=12CD=x，
∴CG=12CE=12x，
∴EG=CE2−CG2=32x，
∵BF:FC=1:2，
∴BF=x，FC=2x，
∴BG=BC+CG=3x+12x=72x，
∴FH=FC+CH=2x+x=3x，
由勾股定理得：DF=DH2+FH2=3x2+3x2=23x，
BE=EG2+BG2=32x2+72x2=13x，
∵S△ABE=S△ADF=12S▱ABCD，
∴AM⋅BE=AN⋅DF，
∴DFBE=AMAN=23x13x=23913．
故答案为：23913．
三、解答题
15.
【答案】
2+3
【考点】
二次根式的混合运算
【解析】
先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】
解：54×13−8+18÷2
=18−22+9
=32−22+3
=2+3．
16.
【答案】
x=−2或x=12
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
本题考查了因式分解法求解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键 ．
先将给定的方程化为一般形式ax2+bx+c=0a≠0，然后通过因式分解将方程左边转化为两个一次因式的乘积，再根据若两个因式的乘积为0，则这两个因式至少有一个为0的原理，分别求解两个一次方程，从而得到原一元二次方程的解．
【解答】
解：2x2+3x=2
移项得：2x2+3x−2=0
采用十字相乘法：2x2分解为2x与x，−2分解为2与−1，交叉相乘再相加可得2x×2+x×−1=3x，
∴2x2+3x−2=x+22x−1=0
∴x+2=0或2x−1=0，
解得：x=−2或x=12．
17.
【答案】
（1）见解析
（2）7，145
【考点】
勾股定理与网格问题
三角形的面积
【解析】
（1）利用勾股定理和数形结合的思想画出三角形即可；
（2）利用勾股定理求出BC，再利用面积法求解．
【解答】
（1）解：∵12+22=5，12+32=10，32+42=5，
则如图△ABC即为所求；
（2）设点A到BC的距离为h，
∵BC=32+42=5，
∴S△ABC=4×5−12×2×5−12×2×2−12×4×3=7，
∴12×5×h=7，
∴h=145．
∴点A到BC的距离为145．
18.
【答案】
24+15=1115
（2）4n+1+1n=2n+11n，见解析
【考点】
与实数运算相关的规律题
利用二次根式的性质化简
【解析】
（1）根据规律可知，第5个等式：左边的被开方数是24+15，右边根号外的系数为11，被开方数为15，据此写出第5个等式即可；
（2）根据规律可知，等式左边的被开方数为4n+1+1n，等式的右边根号外的系数为2n+1，被开方数为1n，然后证明即可．
【解答】
解：（1）根据规律可知，第5个等式是：
24+15=1115，
故答案为：24+15=1115；
（2）根据规律猜想第n个等式为：4n+1+1n=2n+11n，
证明：4n+1+1n
=4nn+1+1n
=4n2+4n+1n
=2n+12n
=2n+11n，
故猜想成立，即4n+1+1n=2n+11n．
19.
【答案】
（1）k>−1且k≠0
（2）另一个根是−13，k=3
【考点】
一元二次方程的定义
解一元二次方程-因式分解法
根据一元二次方程根的情况求参数
【解析】
（1）根据一元二次方程的定义得到k≠0，再由方程有两个不相等的实数根，利用判别式Δ>0求出k的范围，即可得出答案；
（2）代入x=1到kx2−2x−1=0，求出k的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出另一个根．
【解答】
（1）解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0，
∴k≠0，
∵方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=−22−4×k×−1>0，
解得：k>−1，
∴k的取值范围为k>−1且k≠0；
（2）解：代入x=1到kx2−2x−1=0，得k−2−1=0，
解得k=3，
∴方程为3x2−2x−1=0，
∴x−13x+1=0，
解得：x1=1，x2=−13，
∴另一个根是−13，
∴综上所述，另一个根是−13，k=3．
20.
【答案】
（1）见解析
（2）BC=10．
【考点】
勾股定理的应用
直角三角形斜边上的中线
证明四边形是菱形
【解析】
（1）根据平行线的性质，角平分线的定义可得出∠DCA=∠DAC，根据等角对等边得出CD=AD，则AD=BC，根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形可出四边形ABCD是平行四边形，然后结合邻边相等即可得证；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质求出AC，根据菱形的性质求出AO、BO，根据勾股定理求出AB，据此求解即可．
【解答】
解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD，
又∵CD=BC，
∴AD=BC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵CD=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴BD⊥AC，OB=OD，OA=OC，
∵CE⊥AB，OE=8,BD=12，
∴AC=2OE=16，
∴AO=12AC=8，OB=12BD=6，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB=OA2+OB2=82+62=10，
∴BC=AB=10．
21.
【答案】
8；20
（2）见解析
（3）780人
【考点】
由样本所占百分比估计总体的数量
频数（率）分布表
频数（率）分布直方图
【解析】
（1）根据频数分布直方图可知a=8，再结合抽取的学生人数即可求出b的值；
（2）结合1中b的值即可补全频数分布直方图；
（3）用八年级学生的人数乘以跳远成绩大于等于2.0m的学生占比，即可解答．
【解答】
（1）解：由频数分布直方图可知，a=8，
∴b=50−8−12−10=20，
故答案为：8；20；
（2）解：补充频数分布直方图如下：
（3）解：1300×20+1050=780（人），
答：估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有780人．
22.
【答案】
任务一：100+200x千克；任务二：降低2元
【考点】
列代数式
营销问题(一元二次方程的应用)
【解析】
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
任务一：先根据表格数据得到每千克的售价每降低0.1元，一天可多售出20千克，再利用每天的销售量=100+20×每千克的售价降低的钱数0.1，即可用含x的代数式表示出一天的销售量；
任务二：利用总利润=每千克的销售利润×每天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】
解：任务一：解：根据表格数据：每千克的售价每降低0.1元，一天可多售出20千克
若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是100+20×x0.1=100+200x千克；
任务二：根据题意得：15−x−12100+200x=500，
整理得：2x2−5x+2=0，
解得：x1=0.5，x2=2，
当x=0.5时，100+200x=100+200×0.5=200280，符合题意．
故商店需将水果每千克的售价降低2元．
23.
【答案】
（1）见解析
（2）①见解析；②OG2AD2=2−2
【考点】
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
勾股定理的应用
直角三角形斜边上的中线
根据正方形的性质证明
【解析】
（1）如图1，过点F作FH⊥CD于点H，证明△ABE≅△FHGASA，进而结论可知；
（2）①如图2，延长FG交AD于点P，证明点D是AP的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
②如图3，证明△AMO≅△ONGASA，△AOG是等腰直角三角形，△ADG≅△PDGSAS，则AG=PG，设OG=x，则PG=AG=2x，OP=1+2x，由勾股定理得AP2=OA2+OP2=x2+1+2x2=4+22x2=2AD2，得出AD2=1+22x2，根据OG2AD2=x21+22x2，计算求解即可．
【解答】
解：（1）证明：如图1，过点F作FH⊥CD于H，
则四边形BCHF是矩形，
∵正方形ABCD，
∴∠B=∠FHG=90∘，FH=BC=AB，
∵AE⊥FG，
∴∠FAE+∠AFO=90∘=∠AFO+∠GFH，即∠FAE=∠GFH，
∵∠B=∠FHG=90∘，AB=FH，∠BAE=∠HFG，
∴△ABE≅△FHGASA，
∴AE=FG；
（2）①证明：如图2，延长FG与AD的延长线相交于点P，

∵正方形ABCD，AE⊥FG，
∴AB=AD，∠P+∠PAO=90∘=∠PAO+∠BAE，即∠P=∠BAE，
∵∠BAE=∠P，∠ABE=∠PDG=90∘，BE=DG，
∴△ABE≅△PDGAAS，
∴DP=AB=AD，
∴OD是Rt△AOP斜边AP上的中线，
∴OD=AD；
②解：如图3，连接AG，过O作MN⊥AB于M，则MN⊥CD于N，作OK⊥BC于K，则四边形BKOM是矩形，四边形CNOK是矩形，

∵D、O、B三点共线，
∴∠DBC=∠DBA=45∘，
∴∠MOB=∠KOB=45∘，
∴OM=BM，OK=BK，
∴四边形BKOM是正方形，
∴AB−BM=BC−BK，即AM=CK=ON，
∵∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠NOG=90∘，
∴∠MAO=∠NOG，
∵∠MAO=∠NOG，AM=ON，∠AMO=∠ONG=90∘，
∴△AMO≅△ONGASA，
∴AO=OG，
∵∠AOG=90∘，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴AG=2OG=2AO，
由（2）①可知，AD=DP，∠GDA=∠GDP=90∘，DG=DG，
∴△ADG≅△PDGSAS，
∴AG=PG，
设OG=x，则PG=AG=2x，
∴OP=1+2x，
由勾股定理得：
AP2=OA2+OP2=x2+1+2x2=4+22x2=2AD2，
∴AD2=1+22x2，
∴OG2AD2=x21+22x2=2−2．分组
频数
1.2≤x