甘肃省平凉市第一中学2025届高三下学期高考冲刺压轴（一）数学试卷（含答案）

这是一份甘肃省平凉市第一中学2025届高三下学期高考冲刺压轴（一）数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量a=(1,x)，b=(−2,1)，若a//b，则x=( )
A. 1B. 12C. 0D. −12
2.已知A=xx2≤10 ，B=xx=2k−1,k∈N ，则A∩B=( )
A. −3,−1,1,3B. 1,3C. −1,1,3D. −3,−2,−1,1,2,3
3.若复数z=m+i1−i+i(m∈R)是纯虚数，则|z−1|=( )
A. 2 2B. 5C. 3D. 2
4.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，BC⊥AB，∠A=π4，AB=2CD=4，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以线段BE的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为( )
A. 8πB. 22π3C. 7πD. 6π
5.已知α，β为两个不同平面，l为直线且l⊥β，则“l//α”是“α⊥β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知数列an满足a1=1，nan+1=(n+2)an，则1an的前2025项和S2025=( )
A. 20231012B. 4.0482025C. 20251013D. 40522027
7.已知函数f(x)=2csx 3sinx−csx+3，对任意实数x1∈0,π2，存在实数x2∈(0,+∞)，使得fx1≤2mx22+x2成立，则实数m的取值范围为( )
A. −14,+∞B. 14,+∞C. −18,+∞D. 18,+∞
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且∀x∈R，xf(x+2)=(x+2)f(x)+1恒成立，则f(2025)=( )
A. −1B. −12C. 1D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x2−x+19=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a18x18，则( )
A. a1=−9B. a2=45
C. i=118ai=1D. i=19a2i−1=1−392
10.已知函数f(x)=x+xlnxlnx−1，则( )
A. ∀x∈0, e，f(x)>0B. f(x)在e,+∞上单调递增
C. f(x)的极大值为1D. f(x)的极小值为e e
11.已知F为抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点，P为E上一点，点P到F的距离的最小值为4，过F的直线l交E于A，B两点，E的过A，B的切线交于点M，则( )
A. E的准线方程为x=−4
B. 若|AB|=18，则线段AB的中点到x轴的距离为5
C. 若M的坐标为(1,−4)，则l的方程为x−8y+32=0
D. ▵AMB的面积的最小值为64
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点A−1, 3与圆O：x2+y2=4相切的直线方程为 ．
13.如图，有排列整齐的20个盒子和20个球(其中红球和黄球各5个，黑球10个)，在每个盒子中随机放入了一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种.现随机先后打开每个盒子(直到打开所有盒子结束)，则红球最先被全部开出的概率为 ．
14.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(1,0),O为坐标原点，过F的直线l与C的右支相交于A，B两点.若∠AOB恒为锐角，则C的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcsC−(2a−c)csB=0．
(1)求角B的大小；
(2)D为边AC上一点，且AD=2DC，若BD=2，求2a+c的最大值．
16.(本小题15分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，左、右焦点分别为F1,F2，点M(1,0)满足2 3−1MF1=2 3+1F2M．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点M的直线l交椭圆C于P,Q两点，垂直于x轴的直线PR与椭圆C的另一个交点为R，求▵MQR面积的最大值．
17.(本小题15分)
高血脂症是指脂肪代谢或者运转异常使人体血液中的血脂含量超过正常范围，表现为血中胆固醇或甘油三酯过高或高密度脂蛋白过低，现代医学称“血脂异常”.高血脂症是常见病、多发病，更是导致心脑血管疾病的元凶.最新的调查显示，中国成人高血脂的患病率为41.1%，大概每五位成人中就有两位是高血脂患者.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血脂水平下降，高血脂发病率降低，控制高血脂的发展．
(1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动起5个季度社区高血脂患者的血脂情况统计．
已知血脂明显降低(或治愈)人数y与季度变量x(季度变量x依次为1,2,3,4,5,⋅⋅⋅)具有线性相关关系，试求出y与x的经验回归方程，并预测第6季度血脂明显降低(或治愈)者大约有多少人？
(2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组去参加徒步走比赛.若比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲组在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙组在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为23和34；丙组在第一轮和第二轮获胜的概率分别为23和56.设进入决赛的组数为X，求X的分布列与数学期望．
附：经验回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax2(a∈R)．
(1)当a=0时，若直线l过原点且与曲线y=f(x)相切，求l的方程；
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上恰有2个零点x1，x2．
①求a的取值范围；
②求证：x1+x2>4．
19.(本小题17分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，AB，BB1的中点．
(1)求平面AEG与平面C1FG的夹角的余弦值；
(2)点P为正方体ABCD−A1B1C1D1表面或内部一点．
①若点P为线段BD1上一点，点M，N分别为直线FG，直线AD1上的动点，求PM+PN的最小值；
②若点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上，且点P到以D为公共顶点的三个面中的两个面的距离相等，到第三个面的距离等于点P到该正方体中心的距离，求出满足条件的点P的个数．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.A
6.C
7.C
8.B
9.ABD
10.AC
11.BCD
12.x− 3y+4=0
13.512
14.1, 5+12
15.(1)由正弦定理及bcsC−(2a−c)csB=0，
得sinBcsC−2sinA−sinCcsB=0，
sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsB，
所以sin(B+C)=2sinAcsB，即sinA=2sinAcsB，
因为A∈0,π，所以sinA≠0，所以csB=12，
又B∈0,π，所以B=π3．
(2)因为D在边AC上，且AD=2DC，所以AD=23b，CD=13b，
在▵ABD中，由余弦定理，得c2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB=49b2+4−83bcs∠ADB，
在▵BCD中，由余弦定理，得a2=CD2+BD2−2CD⋅BDcs∠CDB=19b2+4+43bcs∠ADB，
二者联立，消去cs∠ADB，得2a2+c2=23b2+12，
在▵ABC中，由余弦定理，得b2=a2+c2−ac，
所以2a2+c2=23a2+c2−ac+12，即4a2+c2=36−2ac，
所以(2a+c)2=36+2ac≤36+2a+c22，即34(2a+c)2≤36，
所以2a+c≤4 3，当且仅当2a=c，即a= 3，c=2 3时等号成立，
所以2a+c的最大值为4 3．
16.(1)由椭圆C的离心率为 32，得ca= 32，①
由2 3−1MF1=2 3+1F2M，
知MF1MF2=2 3+12 3−1，即c+1c−1=2 3+12 3−1，②
由①②，解得a=4，c=2 3，所以b2=a2−c2=4，
故椭圆C的标准方程为x216+y24=1．
(2)如图，由题意知直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为x=my+1(m≠0)，
由x=my+1x216+y24=1，得m2+4y2+2my−15=0，
由于直线过椭圆内一点，故必有Δ=64m2+240>0，
设Px1,y1，Qx2,y2，则Rx1,−y1，y1y2=−15m2+4，
又S▵PQR=12⋅2y1⋅x2−x1=y1⋅x2−x1，S▵PMR=12⋅2y1⋅1−x1=y1⋅1−x1，
易知x2−x1与1−x1同号，
所以S▵MQR=S▵PQR−S▵PMR=y1⋅x2−x1−1−x1=y1⋅x2−x1−1−x1
=y1⋅x2−1=y1⋅my2=my1y2=15|m|m2+4=15|m|+4|m|≤152 |m|⋅4|m|=154，
当且仅当|m|=4|m|，即m=±2时等号成立，
所以▵MQR面积的最大值为154．

17.(1)x=1+2+3+4+55=3，y=100+150+210+270+3205=210．
i=15xiyi=1×100+2×150+3×210+4×270+5×320=3710，
i=15xi2=12+22+32+42+52=55，
所以b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x2=3710−315055−45=56，
所以a=y−bx=210−56×3=42，
所以y=56x+42，
当x=6时，y=56×6+42=378，
所以第6季度血脂明显降低(或治愈)者大约有378人．
(2)由题知X的可能取值为0，1，2，3．
依题意，甲组、乙组、丙组进入决赛的概率分别为916，12，59，
所以P(X=0)=716×12×49=772，
P(X=1)=916×1−121−59+1−916×12×1−59+1−916×1−12×59=1132，
P(X=3)=916×12×59=532，
P(X=2)=1−P(X=0)−P(X=1)−P(X=3)=2972．
所以随机变量X的分布列为：
所以E(X)=0×772+1×1132+2×2972+3×532=233144．
18.(1)当a=0时，f(x)=ex，设直线l与曲线y=f(x)相切于点x0,y0，
因为f′(x)=ex，所以直线l的斜率k=f′x0=ex0，
又y0=fx0=ex0，故l的方程为y−ex0=ex0x−x0，
又l过原点，所以−ex0=ex0−x0，所以x0=1，
所以k=ex0=e，故l的方程为y=ex，即ex−y=0．
(2)①因为f(x)在(0,+∞)上恰有两个零点，
所以关于x的方程ex−ax2=0有两个不相等的正根，即a=exx2恰有2个不相等的正实数根x1，x2，
令g(x)=exx2(x>0)，则y=a与g(x)的图象有两个不同的交点．
因为g′(x)=(x−2)exx3，所以当x∈(0,2)时，g′(x)0，
所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(2)=e24，
当x从0的右侧无限趋近于0时，g(x)趋近于+∞；
当x无限趋近于+∞时，则g(x)趋近于+∞，则g(x)图象如图所示，

所以当a>e24时，直线y=a与g(x)的图象有两个不同交点，
所以实数a的取值范围为e24,+∞．
②由①知ex1=ax12，ex2=ax22x1>0,x2>0，
所以x1=lna+2lnx1，x2=lna+2lnx2，
所以x1−x2=2lnx1−2lnx2=2lnx1x2，
不妨设x2>x1>0，则x1−x2lnx1x2=2，
要证x1+x2>4，只需证x1+x2>2x1−x2lnx1x2，
因为x2>x1>0，所以0