专题11 导数及其应用（全国通用）含答案-【好题汇编】2025年高考数学真题分类汇编

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一、多选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．当时，
C．当且仅当D．是的极大值点
【答案】ABD
【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.
【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；
对B，当时，，则，故B正确；
对C，， 故C错误；
对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
则是极大值点，故D正确；
故选：ABD.
二、填空题
2．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 .
【答案】
【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解.
【详解】法一：对于，其导数为，
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，
所以切点坐标为，
因为切点在曲线上，
所以，即，解得.
故答案为：.
法二：对于，其导数为，
假设与的切点为，
则，解得.
故答案为：.
3．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
【答案】
【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解.
【详解】由题意有，
所以，
因为是函数极值点，所以，得，
当时，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
所以.
故答案为：.
三、解答题
4．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】(1)
(2)且.
【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解；
（2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）因为，故，故，故，
故即为，
设，则，故在上为增函数，
而即为，故，
故原不等式的解为.
（2）在有极大值即为有极大值点.
，
若，则时，，时，，
故为的极小值点，无极大值点，故舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
若，则时，，无极值点，舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
综上，且.
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设分别为在区间的极值点和零点.
（i）设函数·证明：在区间单调递减；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析.
【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点；
（2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证；
（ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合，
和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证.
【详解】（1）由题得，
因为，所以，设，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
，令，
所以当时，，则；当时，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上存在唯一极值点，
对函数有在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以在上恒成立，
又因为，时，
所以时，
所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点.
（2）（i）由（1）知，则，，
，
则
，
，
，
即在上单调递减.
（ii），证明如下：
由（i）知：函数在区间上单调递减，
所以即，又，
由（1）可知在上单调递减，，且对任意，
所以.
6．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
(1)求的最大值；
(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值；
（2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可；
（3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围.
【详解】（1）设，，
由可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为.
（2）因为，所以直线的方程为，即，
设，，
由（1）可知，在上单调递增，而，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，
而当时，，所以总有，单调递增
故，从而命题得证；
（3）解法一：由题意，直线，直线，
所以，，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以
，
由（1）可得当时，，
所以，
所以.
解法二：由可设，又，所以，即，
因为直线的方程为，易知，
所以直线的方程为,
，.
所以
,由（1）知,当时，，所以,
所以.
7．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1)时，求在点处的切线方程；
(2)有3个零点，且.
（i）求a的取值范围；
（ii）证明．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得；
（2）（i）令，分离参数得，作出函数图象，数形结合可得范围；（ii）由（2）结合图象，可得范围，整体换元，转化为，结合由可得，两式作差，利用对数平均不等式可得，再由得，结合减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式.
【详解】（1）当时，，，
则，则，且，
则切点，且切线的斜率为，
故函数在点处的切线方程为；
（2）（i）令，，
得，
设，
则，
由解得或，其中，；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
且当时，； 当时，；
如图作出函数的图象，
要使函数有3个零点，
则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点.
结合图象可知，.
故的取值范围为；
（ii）由图象可知，，
设，则，
满足，由可得，
两式作差可得，
则由对数均值不等式可得，
则，故要证，
即证，只需证，
即证，又因为，则，
所以，故只需证，
设函数，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
故，即.
而由，可知成立，故命题得证.
8．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数，求在的最大值；
（2）给定，设a为实数，证明：存在，使得；
（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.
（2）利用反证法可证三角不等式有解；
（3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值.
【详解】（1）法1：，
因为，故，故，
当时，即，
当时，即，
故在上为增函数，在为减函数，
故在上的最大值为.
法2：我们有
.
所以：
.这得到，同时又有，
故在上的最大值为，在上的最大值也是.
（2）法1：由余弦函数的性质得的解为，，
若任意与交集为空，
则且，此时无解，
矛盾，故无解；故存在，使得，
法2：由余弦函数的性质知的解为，
若每个与交集都为空，
则对每个，必有或之一成立.
此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.
故存在，使得成立.
（3）法1：记，
因为，
故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况.
当时，，
当时，，
此时，
令，则，
而，
，故，
当，在（2）中取，则存在，使得，
取，则，取即，
故，故，
综上，可取，使得等号成立.
综上，.
法2：设.
①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有.
所以对任意恒成立，这直接得到.
设，则根据恒成立，有
所以均不超过，
再结合，
就得到均不超过.
假设，则，
故.
但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧.
所以假设不成立，这意味着.
②另一方面，若，则由（1）中已经证明，
知存在，使得
.
从而满足题目要求.
综合上述两个方面，可知的最小值是.
一、单选题
1．（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先对原函数进行求导，根据题意导数小于0，然后根据正弦函数的性质确定其最值即可求出的取值范围.
【详解】由题意得在上恒成立，
则.
因为，
要使得不等式恒成立，则．
故选：D.
2．（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】求导得，设切点为，根据，求出切点坐标，再代入原函数即可.
【详解】设，，
设切点为，根据切线斜率为1，则，
解得，则，则切点坐标为，则，解得.
故选：C.
3．（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为，对分类讨论求出，验证即可.
【详解】由题意，，
则，
令，解得或，
当时，在，上满足，单调递增，
在上满足，单调递减，
所以在处取得极大值，，解得，
当时，在，上满足，单调递增，
在上满足，单调递减，
所以在处取得极大值，，不符合题意，
当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意，
综上所述，.
故选：D.
4．（2025·云南·一模）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式求解．
【详解】设，，则.
令得，所以函数在区间单调递减.
因为，所以，
即，所以．
故选：C
5．（2025·山东菏泽·一模）已知函数在区间单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先对函数求导，令导数等于0，求出增减区间，进而得到或，即可求得结果.
【详解】由已知得，当时，令，得，
令，解得；令，解得；
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以若在区间上单调，则需满足或，即或，
所以的取值范围是
故选：B
6．（2025·广西河池·二模）已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断B；当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断C；当时，，根据对数函数的性质即可判断C；时，求确定函数的极值点即可判断A.
【详解】已知函数，
当时，，则，令得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
且则选项B是函数的部分图像；
当时，，则，令得，
所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
且则选项C是函数的部分图像；
当时，，则在上单调递增，且，选项D是的部分图像，
对于A选项，显然，
，令得，所以一定有极值点，故A选项不符合.
故选：A.
7．（2025·山西·三模）已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求导，由题意可得，可得，分类讨论可求得.
【详解】，，，
根据题意，则有，
当时，显然不成立，
所以，若，，不满足题意；
若，则恒成立，解得.
故选：B．
8．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由解析式可分析得到的一个周期为，则只需考虑在上的值域即可，利用导函数求得其最值即可.
【详解】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域，
，
当或时，，当时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此的极小值为，极大值为，
又易知，所以函数在上的值域为，
结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为
所以的最小值为，
故选：B
9．（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题.
【详解】因为，即，
令，则恒成立，
则恒成立，
令，则，
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故a的取值范围为.
故选：C.
10．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为减函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①
因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数，
故当时，，所以，函数在上为减函数，
由可得，
所以，，整理可得，解得或.
故选：D.
11．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值.
【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，，
故两切线方程为，，
即，，
与存在公切线，所以有解，消去后得：，
令，，
易得在上单调递增，且时，；时，，
故在区间上递减，在上递增．
所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为．
故选：B．
12．（2025·浙江宁波·三模）已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数求导得，结合研究的区间单调性，进而确定极值点，再由区间存在最大值得，即可求范围.
【详解】由题设，
由，所以，
当或时，，即在、上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以极小值点为，极大值点为，
而，
且，
所以，只需，即，
所以.
故选：D
13．（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论的值，再根据导数分析的单调性，结合函数有两个零点，即可求解范围．
【详解】函数的定义域为.
当时，令，在只有一个零点，不合题意；
当时，，
当时，，则在单调递增，，所以在只有一个零点，不合题意；
当时，令，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
又时，，
若有两个零点，则，
设，令，解得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，
所以，
故选：C．
14．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过同构，令得到，通过确定单调性，得到，问题转化成，在有解，进而可求解.
【详解】由题意可得：
，即，
令，即存在使得，
构造，，
由，可得，由，可得，
所以在单调递减，在单调递增，
又，
所以，即存在，使得，
参变分离得到，
令，
易得当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
最小值为，当时，，
所以的值域为：，
所以实数的取值范围是，
故选：B
二、多选题
15．（2025·山东·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时，
B．函数有2个零点
C．函数在点处的切线方程为
D．，都有
【答案】ACD
【分析】对于A，由奇函数性质验算即可；对于B，由零点定义解方程即可；对于C，只需求出即可；对于D，只需算出函数的值域即可.
【详解】对于A，当时，则，,因为是定义在R上的奇函数,所以，故A对.
对于B，时，令,解得，由是定义在R上的奇函数，所以时，又；故函数有3个零点，故B不对.
对于C，对求导得，
所以，故所求切线为，即，所以C对.
对于D，当时，，，
当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，
且当时，，时，所以
由是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对.
故选：ACD.
16．（2025·辽宁大连·三模）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是.则（ ）
A．
B．若是对称中心，则极小值是-12
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据函数极值，单调性，零点，与导函数之间的关系，以及函数对称性，列出等式，分别判断各选项的正误.
【详解】已知函数在上是增函数，在上是减函数，所以在取得极大值，则，
由，得，所以A正确.
方程有一个根是，则，得，
由函数对称中心是，可得，
代入得，化简得，
联立，解得，则，
求导得，令，解得或，
可知函数在单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，
则，所以B错误.
已知，可得，因为在上是减函数，所以，
即，解得.
由，得，则，
由，可得，所以，所以C正确.
因为方程有3个实数根，所以设，
所以，得，
由得，
因为，所以，所以，所以D正确.
故选：ACD.
17．（2025·广东广州·三模）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于对称B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据为奇函数推出对称中心，根据逆向思维得到，代入推出的对称轴为，进一步得到周期为4，从而周期也为4，算出时的函数值以及一个周期内的值即可求解.
【详解】因为，则，
因为，所以，
用去替，所以有，所以有，
令，则，则，
故，用换，可得，
则函数的图象关于对称，故A正确；
由为奇函数，则过，图象向右移动两个单位得到过，
故图象关于对称，；
，而，所以有，则的周期.
综上，可得，，
，故C正确；
是由的图象移动变化而来，故的周期也是4，
因为，，
所以，，
所以，故B错误；
，周期为4，，，
，，
故，故D正确.
故选：ACD.
18．（2025·四川·三模）已知是函数的极大值点，则（ ）
A．函数的极小值为0
B．若，则
C．若，则有3个相异的零点
D．若（其中），则
【答案】ACD
【分析】根据题意，求得，得到，求得，得出函数的单调性与极值（点），可判定A正确；当时，得到，结合函数的单调性，可判定B错误；作出函数的图象，结合图象，可得判定C正确；根据题意，转化为证明，构造，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】对于A中，由函数，可得，
因为是的极大值点，所以，解得，
所以，可得，
当时，，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确；
对于B中，当时，，则，
因为在区间上单调递减，所以，所以B错误；
对于C中，由，且当时，，当时，，
可得的图象，如图所示，
当时，有3个相异零点，所以C正确；
对于D中，因为，要证，只需证明，
由在上单调递增，需证明，
即当时，证明，
构造函数（其中），
则，
当时，，则在上单调递增，
所以，即当时，，
所以，所以，所以D正确．
故选：ACD.
三、填空题
19．（2025·山西晋中·三模）若函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求导，令，求得，进而可求解.
【详解】因为，
所以，
令，得，解得，
所以，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：
20．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线在处的切线与曲线相切，则 ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求出在处的切线方程，设切点为，即可得到方程组，解得即可.
【详解】由，则，则，又当时，
所以曲线在处的切线为；
对于，可得，设切点为，
则，解得.
故答案为：.
21．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 .
【答案】1
【分析】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立方程，可得答案.
【详解】由，求导可得，
当时，令，可得，
由可得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，解得；
当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意；
当时，，函数在上单调递减，故不合题意.
故答案为：
22．（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ．
【答案】
【分析】将问题转化为不等式在上能成立，利用导数研究函数的单调性求出即可.
【详解】由，得，
即不等式在上能成立.
设，则，
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
即实数a的取值范围为.
故答案为：
23．（2025·甘肃金昌·二模）函数的最小值为 .
【答案】
【分析】由，去绝对值，求导确定函数单调性，进而可求解.
【详解】函数的定义域为.
当时，易知在上单调递增，.
当时，.，
令，解得，
可得：当，，当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，，
所以函数的最小值为.
故答案为：
24．（2025·甘肃金昌·二模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求导，通过，，结合有两个变号零点，讨论求解.
【详解】由题意，得，
若，则，此时函数在上单调递减，不可能存在两个极值点，舍去，
若，则由题意，得关于的方程在上有两个不相等的实数根，
所以，解得，
故实数的取值范围为.，
故答案为：
25．（2025·甘肃白银·二模）若曲线恒在直线的上方，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用数形转化，等价于研究恒成立的，再同构函数，求导可求最小值，最后利用不等式恒成立可求参数范围.
【详解】由曲线恒在直线的上方，
可得，
令，因为，所以，
则构造，求导得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以有，此时，
根据函数图象的交点可知：
即存在正数使得，此时，
要满足对任意恒成立，
则必须要使得时也要成立，即，解得，这是必要性，
再证明充分性，当，
所以实数a的取值范围是,
故答案为：
26．（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 .
【答案】
【分析】设与直线平行的直线与曲线相切于点，由导数的几何意义结合题意求出切点坐标，再由点到直线的距离公式计算即可.
【详解】由得，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，
则作出和图像如图：
则曲线上任意一点M到直线的最小距离，
即为斜率为3的切线的切点到直线的距离；
设与直线平行的直线与曲线相切于点，
因为，所以，即，
解得或（舍去），
所以，即切点为，
所以切点到直线的距离为.
故答案为：.
27．（2025·山东日照·二模）定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出在区间的单调性，再结合K-条件的定义进行分析，从而求K的取值范围，即可求出K的最小值.
【详解】因为，
令，，
当时，，所以在上单调递减，
又因为，所以在上恒成立，
所以，则在上单调递增，
设，所以，
若函数在区间上满足K-条件
因此对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
则对任意恒成立，
令，所以在上单调递减，
在恒成立，所以，
又因为在上单调递减，.
所以，所以K的最小值为.
故答案为：.
28．（2025·河南·二模）已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为 ，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为 ．
【答案】 0
【分析】由有三个零点，则有两个不相等的实数根，即可求解的取值范围；由题得，得出，根据导数的几何意义计算即可．
【详解】因为有三个零点，且，
所以有两个不相等的实数根，
所以，解得，
故a的取值范围为．
由题得，
所以，
同理，，
故
．
故答案为：，0．
四、解答题
29．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数．
(1)若，讨论函数在的单调性；
(2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值．
【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减．
(2)1．
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；
（2）求出，利用导数求的最值，即可得参数范围.
【详解】（1）由条件，
则，
由，所以，
令，则，得或，
令，则，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由，则，
令，则，
所以当时，单调递增，
又，所以，
，
所以在上单调递增，，
由题意，，解得，
所以a的最小值为1．
30．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出导数，解不等式得到的增区间，解不等式得到的减区间；
（2）分离参数后构造函数，利用导数研究其最值即可求解恒成立问题.
【详解】（1）依题意，，，
由得．
当时，．
令，得，，
故当时，，
故当时，，当时，，当时，，
所以在单调递增；在单调递减；在单调递增．
（2）令，因为，所以，故，
令，则，
令，则，
易知为减函数，则在[2，4]上，，
故在[2，4]上单调递减，
则，
故，在[2，4]上单调递减，
故，
故实数λ的取值范围为．
31．（2025·广东广州·三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性.
(3)若存在极大值，且极大值不大于，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据导函数的几何意义，求在函数图形上一点的切线方程.
（2）根据函数单调性与导函数的关系，对参数进行分类讨论，求出各类别中导函数的正负，求出函数单调区间.
（3）根据对函数单调性的讨论情况，找到极大值点，求出极大值，列出极大值不等式，求出参数范围.
【详解】（1）当时，，，
则，，所以切线方程为，化简得.
（2）由可得，则，即函数定义域为，
当时，恒成立，所以在上单调递增.
当时，令，即，解得，因为定义域为，
所以，由，可得,
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：
当时， 在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）可知当时函数无极值点，当时函数在处有极大值，
可得，代入得，化简得，
令，则，
因为，所以，在上单调递增，
因为，所以解得，
所以实数的取值范围是.
32．（2025·河北邢台·三模）已知函数.
(1)当时，点在曲线上运动，过点作切线可得到一系列的切线，，，，称其为“动态切线系列”，试探讨“动态切线系列”中是否存在两条切线平行于轴；（写出推理依据）
(2)若分别是的两个不等的极值点.
①求实数的取值范围；
②证明：.
【答案】(1)存在
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）当时，若“动态切线系列”中存在两条切线平行于轴，则方程有两个不等的实数根，记，利用导数研究函数零点即可得证；
（2）①先求，由分别是的两个不等的极值点即可求解；
②由分别是方程的两个不等的实根，不妨设，则，，要证，即证，设，利用导数研究单调性即可得知.
【详解】（1）当时，，，
若“动态切线系列”中存在两条切线平行于轴，
则方程有两个不等的实数根，
记，所以，
当时，，单调递减，即单调递减；
当时，，单调递增，即单调递增，
又因为，，，
所以，使得，，使得，
所以方程有两个不等的实数根，
所以“动态切线系列”中存在两条切线平行于轴.
（2）①因为，所以定义域为，且，
由切线不等式易知（当且仅当时，等号成立），即恒成立，
所以当时，，在上单调递增，不符合题意，
因为分别是方程的两个不等的实数根，所以，即，
所以实数的取值范围为.
②证明：因为分别是方程的两个不等的实根，
所以不妨设，则，
即，.
要证，即证.
当时，，由①知，
且有，
设，则.
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即在上单调递减.
因为，所以，即.
因为，所以.
因为，所以.
由①可知在上单调递增，
所以，即得证.
33．（2025·广东汕头·三模）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
【答案】(1)在上单调递减，在单调递增；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性；（2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围；（ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明.
【详解】（1）当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）函数的定义域为，，
①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增.
因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.
所以，故原不等式成立.
所以.
34．（2025·北京海淀·三模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)的减区间为,增区间为
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）根据导数即可判断单调区间；
（3）构造函数对任意恒成立，据此根据导数求解即可.
【详解】（1）由，得，
则，又，
所以曲线在点处的切线为；
（2）当时，，
所以，
令，则，
所以在单调递增，且，
所以当时，，则，函数单调递减，
当时，，则，函数单调递增，
所以函数的减区间为，增区间为；
（3）设，
则，
因为时，所以为增函数，
又在上都是增函数，
所以函数在上单调递增，且，
当即时，，
所以函数在上单调递增，所以，
所以时，符合题意；
②当即时，，又，
当即时，恒成立，
所以函数在上单调递减，所以，
此时不符合题意；
当即时，
存在，使得，
且当时，，当时，，
即函数在上单调递减，此时，不符合题意；
综上所述，的取值范围是
35．（2025·云南·二模）已知常数，函数.
(1)若，求的取值范围;
(2)若、是的零点，且，证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意，即可求出的取值范围；
（2）由（1）不妨设，设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，结合及的单调性，即可证明.
【详解】（1）由已知得的定义域为，
且
，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
所以在处取得极小值即最小值，
，
，
，即的取值范围为.
（2）由（1）知，的定义域为，
在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点.
、是的零点，且，
、分别在、上，不妨设，
设，
则
当时，，即在上单调递减.
，
，即，
，
，
，
，
又，在上单调递增，
，即.
【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；
（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.
36．（2025·江苏扬州·三模）已知函数.
(1)若，且，求a的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求b的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出导函数，利用列不等式求解即可.
（2）先判断定义域关于原点对称，再设为图象上任意一点，然后利用指数运算判断点也在图象上，即可证明.
（3）由题意，为的一个解，可得，设，则有在上恒成立，多次求导，利用导数研究的单调性，解不等式即可求解.
【详解】（1）时，，则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故，即，所以的最小值为.
（2）的定义域为.
设为图象上任意一点，关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以，可得，依题意在上恒成立，
设，则，
则有在上恒成立，
因为，可设，
所以
①当时，由知，，所以，
所以在单调递增.
1.当，即时，对任意都成立，
所以在上单调递减，则；
2.当，即时，而当时，，
所以，使，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以舍去；
②当时，所以在上单调递增，则，所以舍去；
③当时，与在上都单调递增，
所以在上单调递增，则，所以舍去.
综上，.
37．（2025·甘肃白银·二模）帕德逼近是法国数学家亨利•帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似．
(1)求的解析式；
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，当时，比较与0的大小；
(3)已知在处的阶帕德近似，若对任意，都成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由，，，解方程，可以求出，从而可求出.
（2）根据帕德逼近定义与对称变换，可把题目转化成与0的比较大小的问题，对求导，可解决问题.
（3）由帕德逼近定义，可以把第三问转化成不等式恒成立问题，用“端点效应”可解决问题.
【详解】（1）对于函数 ，其在 处的 阶帕德逼近为 ，需满足：
，，；
计算 的导数：
，，故 ，
，故 ，
由 ，得 ；
计算 的导数：
，，
，故 ，
，，
故 ，
因此，.
（2）已知函数 与 的图象关于直线 对称，
故 是 的反函数，即 .
由（1）知 ，则：，
（当 ），
令；
其中定义域为，
，，又对任意成立，
在上单调递减，又，
因此：当 时，；
当 时，.
（3）由帕德逼近定义，需匹配至四阶导数：
，，，，，
代入 ，得 ，，故 ，且 ，；
不等式为 ，代入得，
对任意 成立，
定义函数 （)，需 ，
，，，
，，
必要条件：，
当 时， 对 成立；
当 时，存在 使 ；
故实数 的取值范围为 .
【点睛】关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
38．（2025·湖南岳阳·三模）已知函数（）．
(1)设，当时，，求的取值范围．
(2)当时，
①写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由；
②设，数列满足，，证明：．
【答案】(1)
(2)①（答案不唯一）；②证明过程见解析
【分析】（1）原题条件等价于恒成立，求导后对分类讨论即可得解；
（2）①求函数与函数的值域的交集，在该交集中随便取一个数，那么它的负倒数必定在该交集里面，从而可以确定一对互相垂直的切线；②利用数学归纳法、分析法证明即可.
【详解】（1）设，
从而原题条件等价于恒成立，
求导得，
若，即，此时恒成立，
所以在上单调递减，，
所以，解得，
当，即时，，
，
此时在单调递增，在上单调递减，
故，
所以，该方程组无解，
综上所述，所求为；
（2）①当时，，
求导得，因为函数的值域是，
所以函数的值域是，
所以函数的值域是，
所以函数的值域是，
而与的交集是，
所以当的某一条切线斜率时，与该切线垂直的直线的斜率也满足，
不妨取，则，
解得，，
故曲线的两条相互垂直的切线方程可以为，即；
②当时，，（因为）
现在利用数学归纳法证明，设当时，命题成立，
即，
现在来证明两个不等式：
第一个不等式为：.
证明过程如下：设，求导得，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，从而不等式成立，
第二个不等式为：，令，
求导得，
所以在上单调递增，所以，
从而不等式成立，
现在来证明，显然，
现在设时，，
则，
所以，从而，
所以由不等式可知，，
另一方面，
想要证明，只需证明，
而由假设有，
所以，
所以只需证明，即只需证明，
即只需证明，而，故前者恒成立，
综上所述，命题得证.