专题04 导数及其应用（解答题）-【好题汇编】五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用） (原卷版)

这是一份专题04 导数及其应用（解答题）-【好题汇编】五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用） (原卷版)，共18页。试卷主要包含了已知函数，设函数，其中.，已知函数.等内容，欢迎下载使用。


考点01 利用导数求函数单调性，求参数
解答题
1．（2024·全国·高考Ⅰ卷）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
3．（2024·全国·高考甲卷理）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
4．（2023·年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
5．（2023年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
6．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
7．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
8．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
9．（2020年全国高考Ⅰ卷（文）数学试题）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
10．（2020年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
11．（2023·全国乙卷）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
12．（2022·全国乙卷）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
13．（2021·全国甲卷）已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
14．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
15．（2020年全国高考Ⅰ卷）已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
考点02 恒成立问题
解答题
1．（2024·全国·高考甲卷文）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
2．（2023 全国新高考Ⅰ卷）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
3．（2022·北京·统考高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
4．（2021·全国乙卷）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
6．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
7．（2020年全国新高考Ⅰ卷）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））
（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
9．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
考点03 三角函数相关导数问题
一、解答题
1．（2023年全国高考Ⅱ卷）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
2．（2023·全国甲卷）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
3．（2022·天津·统考高考真题）已知，函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若和有公共点，
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
4．（2020年全国高考Ⅱ卷）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
5．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
考点04 导数类综合问题
1（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
(2)求证：不经过点.
(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：，，）
2．（2024·天津·高考真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．
3．（2023·全国乙卷）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
4．（2022·全国甲卷）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
5．（2022年全国新高考Ⅰ卷）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
6．（2022年全国高考Ⅱ卷）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
7．（2021·全国乙卷）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
8．（2022年全国新高考Ⅰ卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
9．（2022年全国新高考Ⅱ卷）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
10．（2020年全国高考Ⅲ卷）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
11．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
12．（2023·天津·统考高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处切线的斜率；
(2)当时，证明：；
(3)证明：．
13．（2021·全国乙卷）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
14．（2021年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；②．
15．（2020·全国高考Ⅱ卷）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
16．（2020·全国高考Ⅲ卷(文)）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
17（2021·年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
考点05 函数导数新定义
1（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性
考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
考点1利用导数求函数单调性，求参数
2024全国甲卷 Ⅰ卷
2023 Ⅱ卷 乙 甲
2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷
2021 甲卷 Ⅰ卷
2020Ⅰ卷 Ⅲ卷
含参的函数利用导数求参数问题是高考中的一个高频考点，也是必考点，通过函数单调性转化成为恒成立问题或者存在使成立问题以及其他问题，可直接求导或者是利用分离参数去转化。
考点2恒成立问题
2023甲卷
2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
2021乙卷 Ⅱ卷
2020ⅠⅡⅢ卷
考点3与三角函数相关导数问题
2023 Ⅱ卷 甲卷
2022天津卷
2021Ⅰ卷
2020 Ⅱ卷 甲卷
与三角函数相关问题随着新高考新结构的出现，这类题目一压轴题出现的频率会变大。
考点04 导数综合类问题
2024 北京 天津
2023乙卷 北京 Ⅰ卷 天津
2022 甲卷 Ⅰ Ⅱ卷
2021乙卷Ⅰ卷
2020 Ⅱ Ⅲ卷
导数综合类问题一直是高考数学的压轴题一般牵扯到不等式的证明问题，极值点偏移问题，拐点偏移问题，隐零点问题，函数放缩问题。未来也是高考重难点
考点05 新定义问题
2024 上海卷
随着高考数学新结构的形式出现。导数新定义问题将成为高频考点