专题12 数列【好题汇编】-五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

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考点01 等差等比数列应用
一 选择题
1．(2020北京高考·第8题)在等差数列中，，．记，则数列( )．
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
2．(2023年天津卷·第6题)已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为( )
A．3B．18C．54D．152
3．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第8题)记为等比数列的前n项和，若，，则( )．
A．120B．85C．D．
4．(2023年全国甲卷理科·第5题)设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则( )
A．B．C．15D．40
5．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第8题)已知等比数列的前3项和为168，，则( )
A．14B．12C．6D．3
二、填空题
3．(2023年全国乙卷理科·第15题) 已知为等比数列，，，则______．
考点02 数列求和
一 选择题
1．（2024·全国·高考甲卷文 ）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024·全国·甲卷）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第6题)数列中，，，若，则( )
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
4．(2020年浙江省高考数学试卷·第11题) 已知数列{an}满足，则S3=________．
5．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第15题) 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
三 解答题：
6．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第18题) 已知为等差数列，，记，分别为数列，前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
7．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题) 已知数列满足，
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前20项和．
8．(2021年高考全国乙卷理科·第19题) 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列是等差数列;
(2)求的通项公式．
9．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第20题) 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
10．(2022年高考全国甲卷数学（理）·第17题) 记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
11．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题) 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值．
12（2023年全国乙卷）1．记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
13．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第18题) 已知公比大于的等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
14．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第18题) 已知公比大于的等比数列满足．
(1)求通项公式；
(2)求．
15 ．(2023年全国甲卷理科·第17题) 设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
16 .(2020天津高考·第19题) 已知为等差数列，为等比数列，．
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)记的前项和为，求证：；
(Ⅲ)对任意的正整数，设求数列的前项和．
17（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
考点03 数列情景类题目
一、选择题
1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
( )
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
2．(2022新高考全国II卷·第3题)图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0．1的等差数列，且直线的斜率为0．725，则( )
( )
A．0．75B．0．8C．0．85D．0．9
3．(2021高考北京·第6题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
二、填空题
4．(2023年北京卷·第14题) 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．
5．(2021年新高考Ⅰ卷·第16题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______．
6（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
考点04 数列新定义问题
1（2024·全国·高考Ⅰ卷）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
2（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
3 (2023年北京卷·第21题) 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数．
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
考点05 数列与其他知识点交汇及综合问题
一、选择题
1．(2023年北京卷·第10题)已知数列满足，则( )
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第7题)已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是( )
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
3．(2022高考北京卷·第6题)设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第11题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是( )
A．B．C．D．
5．(2023年全国乙卷理科·第10题)已知等差数列的公差为，集合，若，则( )
A．－1B．C．0D．
二 解答题
6（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
7．(2023年天津卷·第19题) 已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
(Ⅰ)当时，求证：；
(Ⅱ)求的通项公式及其前项和．
8．(2022新高考全国I卷·第17题) 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．

9．(2020年浙江省高考数学试卷·第20题) 已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
10（2023年新高考Ⅱ卷）2．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
11．(2022高考北京卷·第21题) 已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
12．(2021年高考浙江卷·第20题) 已知数列前n项和为，，且．
(1)求数列通项；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围．
13．(2022新高考全国II卷·第17题) 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
14．(2022年浙江省高考数学试题·第20题) 已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
15．(2021年高考全国甲卷理科·第18题) 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
考点01 等差等比数列应用
2023 天津 甲 乙 Ⅱ卷
2022 乙卷
2020 北京卷
等差等比数列及求和在高考中主要考查基本量的基本运算，是常规求和方法发的基本应用。包括：错位相减求和，奇偶性求和，列项求和等。
考点02 数列求和
2024 甲 天津卷
2023ⅠⅡ 甲 乙卷
2022 甲卷
2021 ⅠⅡ乙卷
2020 浙江 Ⅰ Ⅱ卷
考点03 数列情景类问题
2024北京
2023北京
2021北京 Ⅰ卷
2020Ⅱ 卷
情景化与新定义是高考的一个新的考点，一般采用学过的知识去解决新定义问题，因加以重视，是高考的一个方向，并且作为压轴题的可能性比较大，难度大。
考点04 数列新定义问题
2024 Ⅰ 北京卷
2023 北京卷
考点05 数列与其他知识点交汇及综合问题
2024 Ⅱ卷
2023 北京 天津 乙Ⅱ卷
2022 北京 浙江 ⅠⅡ卷
2021 甲 浙江
2020 浙江 Ⅱ卷
知识的综合是未来高考的一个重要方向，主要是数列与统计概率相结合，数列作为一个工具与解析几何，函数结合等，属于中等难度。