人教版七年级数学上册 1.2 有理数及其大小比较（第一章 有理数 自学、复习、上课课件）

这是一份人教版七年级数学上册 1.2 有理数及其大小比较（第一章 有理数 自学、复习、上课课件），共26页。PPT课件主要包含了逐点导讲练，课堂小结，作业提升，课时讲解，课时流程，知识点，有理数的相关概念，•••••••，•••，••••等内容，欢迎下载使用。
有理数的相关概念有理数的分类
1. 整数：正整数、0、负整数统称为整数，如：－3，－2，0，1，2，3，… .
4. 部分常用的数的名称
特别解读1.整数可以写作分母为“1”的分数形式.2. 引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数.3. 自然数包括0和正整数.
虽然是分数形式，但π 是无限不循环小数，因此不是有理数.
解题秘方：能写成分数形式的数都是有理数.
1-2.下列说法中正确的有( )① 负分数一定是负有理数；②自然数一定是正数；③ －π 是负分数；④ a 一定是正数；⑤ 0 是整数.A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
1. 分类: 有理数分为正有理数、0、负有理数.说明：可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数，因此，有理数不再分为整数和分数，只按照符号分类.
2. 拓展：数的集合(1)定义：把满足一定条件的所有数放在一起，就组成一类数的集合.(2)集合的两种常见形式
必须是符合条件的所有数，不能遗漏.
省略号表示集合有无数个元素.
特别提醒正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数，例如π.
非负有理数包含正有理数和0
2-2. 把下列各数填在相应的集合内：－8，＋5，0.06，－5.15，0，－0.3，－5%，π，1. 5.整数集合：{ 　　 ⋯}.非正有理数集合：{ 　 　⋯}.有理数集合：{ 　 　⋯}.
－8，－5.15，0，－0.3，－5%，
－8，＋5，0.06，－5.15，0，－0.3，－5%，1.5，
利用定义法解有理数分类计数问题
利用定义法解有理数与集合的相关问题
思路点拨根据集合交叉部分的意义，重合部分具有两个集合的所有特征，两个集合中相同的数填在这两个集合圈的公共部分中；只在一个集合中出现的数填在这个集合圈的单独的部分中.
对有理数分类不清导致出错
下列说法中正确的是( )A. 一个有理数不是正有理数就是负有理数B. 每个整数都可以写成分数的形式C. 整数分为正整数和负整数D. 有理数分为整数、分数、正数、负数和0错解：D
正解：有理数分为正有理数，0和负有理数，整数分为正整数，0和负整数. 整数都能写成分数的形式.答案：B
诊误区对有理数进行分类时,要按数的性质分，即分为正有理数，0、负有理数，不要漏掉0.
[中考·江西]下列各数中，正整数是(　　)A.3 B.2.1 C.0D.－2试题评析：本题主要考查在有理数的分类中，正整数这一类数的特征：既是正数，又是整数．解：A．3是正整数，符合题意；B．2.1是有限小数，不符合题意；C．0不是正数，不符合题意；D．－2是负数，不符合题意.答案：A
1. －0.9不属于( )A. 负数 B. 分数C. 整数 D. 有理数
4. [期中·天津津南区]关于“0”的说法，正确的是(　　)A. 是整数，也是正数B. 是整数，但不是正数C. 不是整数，是正数D. 是整数，但不是有理数
5. 下列说法中正确的有( )①整数就是正整数和负整数；②整数都是自然数；③分数包括正分数、负分数；④正数和负数都是有理数；⑤一个有理数，它不是正有理数就是负有理数.A.1个 B.2个C.3个 D.4个
7. [新视角 结论开放题]分别写出一个符合下列条件的有理数：(1)是负有理数但不是整数：___________________；(2)是整数但不是负有理数：___________________.
1，6，0，2025，
(2)图中两个圈的公共部分(A区域和B区域)分别表示什么集合？
A区域表示负整数集合，B区域表示正整数集合.
解：(1)整数有5，－2，0，所以表演节目的同学是手上卡片分别写有5，－2，0的三位同学，即B，C，D三位同学．
(2)如果让你来挑选，你会按什么数字特征来选择表演节目的同学？
解：(2)(答案不唯一)例如：请卡片上数字为分数的同学表演节目，这样就是A、E两位同学表演节目；或者卡片上数字为负数的同学表演节目，这样就是A、C两位同学表演节目．
1.2 有理数及其大小比较
数轴数轴上的点与有理数的关系
1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
特别解读1.数轴是一条直线，可以向两方无限延伸.2.原点、正方向、单位长度为数轴的三要素，缺一不可.3.规定的意思是“三要素”的确定是根据实际情况规定的，但是同一数轴上的单位长度必须统一.4.原点左边的部分称为数轴的负半轴，原点右边的部分称为数轴的正半轴.
判断下列数轴(如图1.2-2)是否正确. 如果不正确，请指出错在哪里.
解题秘方：紧扣数轴的“三要素”确定数轴.
解：(1)正确；(2)不正确，数轴缺少原点；(3)不正确，数轴负半轴上所标的负数的顺序不对，应将“－2”写在“－1”的左边；(4)不正确，数轴上的单位长度不统一.
1-1. 一名同学画了四条数轴，但只有一条是正确的，你认为正确的是( )
数轴上的点与有理数的关系
1. 对应关系：有理数 数轴上的点表示的数.
特别解读有理数与数轴上的点表示的数的对应关系：1.正有理数可以用数轴上原点右边(或上边)的点表示；2.负有理数可以用数轴上原点左边(或下边)的点表示；3. 0 用原点表示.
[母题 教材P11练习T1]如图1.2-3，数轴上的点A，B，C，D 分别表示哪个有理数？
2-2.数轴上与原点距离3 个单位长度的点表示的数为_________.
如图1.2-4 所示.
3-1.画出数轴，并在数轴上表示下列有理数：50，－100，150，－200，0，－175.
利用位置法确定数轴上点表示的数的正负性
已知点O是原点，点M，N，P，Q在数轴上的位置如图1.2－5所示，则M，N，P，Q四个点表示的数中正数有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解法提醒在数轴上识别数的正负性，关键看表示该数的点与原点的位置关系：若点在原点的右侧，则该点表示的数是正数；若点在原点的左侧，则该点表示的数是负数；原点表示的数是0.
利用建模思想用数轴巧解实际生活中的移动问题
[期中·宁波海曙区]杭州亚运会已圆满结束，这离不开亚运网约车司机们的辛勤付出. 姚师傅某天上午的营运路线全是在一条笔直的东西走向的路上进行. 如果规定向东为正，向西为负，那么他这天上午行车里程(单位：km)记录如下：＋6，－4，－2，－4，＋7.(1)将第几名乘客送到目的地时，姚师傅刚好回到上午的出发点？(2)将最后一名乘客送到目的地时，姚师傅距离上午的出发点多远？在出发点的东面还是西面？
(1)由图1.2－6可知，将第三名乘客送到目的地时，姚师傅刚好回到上午的出发点.(2)由图1.2－6可知，将最后一名乘客送到目的地时，姚师傅距离上午的出发点3 km，在出发点的东面.
技巧点拨本题运用数形结合思想解决问题，把实际中多次运动问题转化为数轴上的点的移动这个数学模型来解答，即根据已知条件画出数轴这个“形”，在数轴上将多次行驶过程直观地表示出来，便能顺利解决问题.
利用分类思想解数轴上两点间的距离问题
[期中·南京江宁区]已知数轴上有A，B两点，若A，B两点之间的距离为1，点A在原点左边，且与原点之间的距离为3，则点B表示的数是______.
因为点A在原点左边，且与原点之间的距离为3，所以点A表示的数是－3.因为A，B两点之间的距离为1，当点B在点A左侧时，点B表示的数是－4；当点B在点A右侧时，点B表示的数是－2.所以点B表示的数是－4或－2.答案：－4或－2
解法提醒在数轴上求两个点之间的距离，只需要数一数两个点之间相隔多少个单位长度即可；若已知距离找点，在未知两点位置关系的情况下，需要分左侧和右侧两种情况进行分类讨论.
利用不完全归纳法解与数轴相关的探究题
数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度为1 cm，若在这条数轴上任意画一条长2 025 cm的线段CD，则线段CD盖住的整数点的个数是( )A. 2 025 B. 2 026C. 2 025或2 026 D. 2 024或2 025
解：(1)当线段CD的一个端点与数轴上的一个整数点重合时，因为线段长2 02 5 cm，数轴上的单位长度为1 cm，所以线段CD的另一个端点也与数轴上的一个整数点重合，此时线段CD盖住的整数点的个数是2 026；(2)当线段CD的一个端点不与数轴上的整数点重合时，线段的另一个端点也不与数轴上的整数点重合，此时线段CD盖住的整数点的个数是2 025.答案：C
特别解读对于数值非常大的探究类题目，可以先从小数值入手，通过几个特殊情况，总结出一般性结论，然后运用这个结论解决问题。需要注意的是，总结出结论后，一般需要用其他特殊情况进行验证，以保证结论的正确性.
由于点的位置的不确定而出错
在数轴上与表示－3的点相距10个单位长度的点表示的数是______.错解：7
正解：在数轴上与表示－3的点相距10个单位长度的点可能在表示－3的点的右侧，此时该点表示的数是7；也可能在表示－3的点的左侧，此时该点表示的数是－13.答案：7或－13
诊误区已知一个点的位置和两个点之间的距离时，另一个点的位置可能在该点的左侧，也可能在该点的右侧.
[中考·长春]如图1.2－8，数轴上被墨水遮盖的数可能为(　　)A.－1 B.－1.5 C.－3 D.－4.2试题评析：本题主要考查数轴上的点表示的数的特征，关键是看准被墨水遮盖的数的位置.解：由数轴上墨水的位置可知，该数大于－4，且小于－2，所以只有选项C符合题意.答案：C
[中考·乐山]数轴上点A表示的数是－3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是(　　)A.4 B.－4 或10 C.－10 D.4 或－10试题评析：本题主要考查数轴的特征和运用，解答此题的关键是移动方向不明确，应分类讨论．解：点A表示的数是－3，左移7个单位长度，得－10；点A表示的数是－3，右移7个单位长度，得4．所以点B表示的数是4或－10.答案：D
1. 下列数轴表示正确的是( )
3. [新考向 知识情境化]将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的1 cm 和6 cm 分别对应数轴上的－1.2和x，则x 的值为(　　) A. 3.8 B. 2.8 C. 4.8 D.6
4. 如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示. 若点D表示的数是3，则点A表示的数是(　　) A.－3 B.－2C.－1 D.1
6. [中考·湘潭]在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为________(任意写出一个即可)．
7. [母题 教材P11练习T4]在数轴上，点A表示的数为－6，将点A沿数轴移动8个单位长度后到达点B，则点B表示的数为________.
解：(1)点A表示－4，点B表示1.5，点C表示0，点D表示－1.5，点E表示4.
9. 情境题 生活应用 如图，向阳街有个快递驿站，小亮家在快递驿站的正东方向6 km 处，请完成下列各题：(1)以快递驿站为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，请画出数轴，并在数轴上表示出小亮家的位置；
(2)小明家和小颖家的位置分别在上面所画数轴表示－4.5 和3.5 的点的位置上，请在(1)中所画数轴上标出小颖家和小明家的位置；(3)快递员早上从快递驿站出发，一路向东把快递送到了小颖家和小亮家，然后向西送到小明家，最后回到了快递驿站，快递员送快递一共跑了_____km.
10. 新考法 实践操作法 如图，已知在纸面上有一数轴. 操作一：(1)折叠纸面，使表示1的点与表示－1的点重合，则表示－2的点与表示_________的点重合.
操作二：(2)折叠纸面，使表示－1的点与表示3的点重合，回答以下问题：①表示5的点与表示_________的点重合；②若数轴上A，B两点之间的距离为9(点A在点B的左侧)，且A，B两点折叠后重合，求A，B两点分别表示的数.
②若数轴上A，B两点之间的距离为9C(点A在点B的左侧)，且A，B两点折叠后重合，则点A表示的数是1－4.5＝－3.5，点B表示的数量1＋4.5＝5.5.
1. 定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数.
特别解读1.“ 只有”是指除了符号不同之外，其他部分完全相同.2.“互为”的意义是指相反数是成对出现的，不能单独存在.3.数轴上与原点的距离是a(a 是一个正数)的点有两个，分别在原点的左右两边，它们所表示的数互为相反数.
2. 相反数的求法求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即a 的相反数是－a，其实质是改变这个数的符号.
3. 相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个；正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0 的相反数是0 .
4. 相反数的几何意义如图1 .2－9 ，设a 是一个正数，把a 和它的相反数－a 表示在数轴上，它们分别在正、负半轴上，且到原点的距离都是a.反之，数轴上到原点的距离是a 的点有两个，它们分别在正、负半轴上，这两点表示的数互为相反数.
解题秘方：判断两个数是否互为相反数，按其定义从两个方面去看：符号(“＋”“－”)和所含数(相同).
1-1.下列说法中，正确的有( )① π 的相反数是－3.14 ；② 符号相反的数互为相反数；③ 相反数等于它本身的数只有0；④ 非负数的相反数是正数.A. 0 个 B. 1个 C. 2 个 D. 3 个
解题秘方：紧扣相反数的求法，直接写出一个数的相反数.
方法点拨：求一个数的相反数的方法求一个具体数的相反数时，改变这个数前面的符号，其他部分不变，即可得到；求一个字母的相反数时，也只需在这个字母前面加上“－”号.
2-2. 若－a=7, 则a=______.
如图1.2-10，数轴上有三个点A，B，C. 若点A，C 表示的数互为相反数，数轴的单位长度为1，则图中点B 表示的数是( )A.4 B.3 C.2 D.1
解题秘方：先由A，C 两点确定原点的位置，再判断点B 表示的数.
解：如图1 .2-1 0，根据互为相反数的两点到原点的距离相等可知，原点在O 处，因为点B 在点O 右边与点O 相距4个单位长度，所以点B 表示的数是4 .
3-1.(1)一个数a 在数轴上表示的点是A，当点A 在数轴上向左移动了6 个单位长度后到点B，点A 与点B 表示的数恰好互为相反数，则数a 是_______.(2)数轴上点A 表示－3，B，C 两点表示的数互为相反数，且点B 到点A 的距离是2，则点C 表示的数应该是_______ .
1. 多重符号化简的依据 a 的相反数为－a.2. 多重符号的化简根据相反数的性质由内向外化简. 当前面的符号是“＋”号时，省略“＋”号直接写；当前面的符号是“－”号时，去掉“－”号，写出括号内的数的相反数.
特别提醒1. a可以是正数，0或负数.2. 当a 是一个负数时，－a是正数，故带负号的数不一定是负数.
化简下列各数：(1)－(－3)； (2)－(＋2)； (3)＋(－8)；(4)－［＋(－2)］； (5)－｛－［－(＋a)］｝.
解题秘方：紧扣多重符号的化简法则逐步化简.
方法技巧：1 . 定义法：省略全部“＋”号，然后由相反数的定义由内到外依次化简.2. 规律法：简记为“奇负偶正”.
解：(1)－(－3)=3；(2)－(＋2)=－2；(3)＋(－8)=－8；(4)－［ ＋(－ 2)］=－(－2)=2；(5)－｛ －［ －(＋a)］｝=－｛－［－a］｝=－a.
4-1. 下列各组数：① －1 与＋(－1)；② ＋(＋1)与－1；③ －(＋4)与－(－4)；④ －(＋1.7)与＋(－1.7)；⑤ － [ ＋(－ 9 )] 与－[－(＋9)].其中互为相反数的有( )A. 2 组 B. 3 组 C. 4 组 D. 5 组
利用相反数的几何意义确定相反数的位置
已知a，b 在数轴上对应点的位置如图1.2－11所示，在数轴上分别画出表示a，b 的相反数－a，－b的点.
利用相反数的几何意义确定原点
如图1.2－12，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上.(1)若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为点_____；(2)若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为点_____；(3)若点A和点D表示的数互为相反数，请在数轴上表示出原点的位置. 图1.2－12
解题秘方：数轴上互为相反数的两点最中间的位置是原点.解：(1)从数轴上观察可知，点A与点B相距2个单位长度，点C与点B相距2个单位长度，若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为点B；(2)从数轴上观察可知，点B与点C相距2个单位长度，点D与点C相距2个单位长度，若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为点C；
(3)从数轴上观察可知，A，D两点相距6个单位长度，若点A和点D表示的数互为相反数，则原点在A，D两点之间，与A，D两点都相距3个单位长度. 原点的位置如图1.2－12所示.答案：(1)B (2)C (3)如图1.2－12所示.
方法点拨相反数的几何意义揭示互为相反数的点到原点的距离相等.反之，若已知互为相反数的点的位置，则也可以确定原点的位置.
利用相反数的几何意义求相反数
已知两个数互为相反数，且这两个数在数轴上相距2 024个单位长度，求这两个数.
对相反数的定义理解不透而出错
下列说法错误的是( )A. 一个正数的相反数是负数B. 一个负数的相反数是正数C. 互为相反数的两个数一定是一个正数，一个负数D. 相反数等于它本身的数只有0错解：D
正解：根据相反数的性质可知，互为相反数的两个数，除0外，一定是一正一负，只有0的相反数等于其本身.答案：C
诊误区虽然正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，但互为相反数的两个数不一定是一正一负，还有可能都是0.
解：因为OA＝OB，点A，B分别在原点两侧，所以点A和点B表示的数互为相反数. 因为点A表示的数是2 023，所以点B表示的数是－2 023.答案：B
3. [母题 教材P12练习T3]若一个数的相反数仍是它本身，则这个数是( )A.1 B.－1 C.0D. 正数
4. [月考·福州鼓楼区]如图，在数轴上，点A，B分别表示数a，b，且a，b 互为相反数. 若AB＝8，则点A表示的数为(　 　) A.8 B.4 C.0D.－4
7. [母题 教材P12练习T4] 化简下列各数：(1)－(＋4)； (2)－(－7.1)；(3)－[＋(－5)]；(4)－[－(－8)].
(1)－(＋4)＝－4；
(2)－(－7.1)＝7.1；
(3)－[＋(－5)]＝5；
(4)－[－(－8)]＝－8.
8. 已知有理数－3，a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，在数轴上画出－3，a，b 的相反数对应的点.
9. 如图，数轴上每相邻两刻度线之间的距离为1个单位长度，请回答下列问题：(1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？(2)如果点E，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？图中其他点表示的数分别是多少？
解：(1)点C表示的数是－1.
解：(2)点C表示的数是0，其他点表示的数分别是A：－2；B：4；D：－5；E：－4.
10. [新考法 数形结合法] 已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示.(1)在数轴上表示出数a的相反数对应的点的位置；(2)若表示数a的点与表示其相反数的点相距20个单位长度，则a是多少？(3)在(2)的条件下，若数b对应的点与数a的相反数对应的点相距5个单位长度，则b 是多少？
1.2.4 绝对值1.2.5 有理数的大小比较
绝对值绝对值的非负性比较有理数的大小
1. 定义一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫作数a 的绝对值，记作|a|. 读作“a 的绝对值”.
由于绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能是负数
2. 性质一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0 .即：(1)如果a ＞ 0，那么|a|=a；(2)如果a=0，那么|a|=0；(3)如果a ＜ 0，那么|a|=－a.
特别解读1.一个数的绝对值的大小与原数的正负无关，只与该数在数轴上对应点和原点的距离有关；绝对值最小的数是0.2.任何数只有一个绝对值，但是绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数.
解题秘方：求一个数的绝对值，只需去掉所有符号，即得到该数的绝对值.
负数的绝对值是它的相反数
若|x|=2 024，则x=_______ .
解题秘方：根据绝对值的几何意义可知，数轴上表示数x的点与原点的距离为2024 个单位长度，即可确定x 的值.
2-1.如果|m|=|－3|，那么m=________.2-2.如果|y－4|=0，那么y=________.
1. 任何一个数的绝对值，都是唯一的非负数 .2. 绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它的相反数的数是非正数，0 是绝对值最小的数，即：若| a |= a，则a ≥ 0；若| a |=－ a，则a ≤0 .3. 绝对值相等的两个数相等，或互为相反数，即：若| a |=| b | ，则a=b 或a=－b.
特别解读绝对值的非负性是绝对值的一个重要性质，即对于任意有理数a，都有| a |≥ 0.1.当a≠0时，| a |＞0；当a=0 时，| a |=0.2.当| a | ＞ 0 时，a≠0；当| a |=0时，a=0.
无论m 为何值，下列各式一定是正数的是( )A.|m| B.|m＋1| C.| m |＋ 1 D.－(－m)
解题秘方：紧扣绝对值的非负性进行判断.
解：选项A 中，当m=0 时，不符合题意；选项B 中，当m=－1 时，| m＋1 |= 0，不符合题意；选项C 中，因为| m | ≥ 0，所以| m |＋ 1 ≥ 1，符合题意；选项D 中，－(－m)=m，当m=0 时，不符合题意.
3-1.[期中·无锡江阴市]对于任意有理数a，下列结论正确的是( )A.|a| 是正数B.－a 是负数C.－|a| 是负数D.－|a| 不是正数
1. 用数轴比较有理数大小的法则数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序. 即：左边的数小于右边的数.
2. 用数的性质比较有理数大小的法则(1)正数大于0，0 大于负数，正数大于负数；(2)两个负数，绝对值大的反而小.
特别解读1.利用数轴比较大小的优点：一是直接看表示数的点在数轴上的位置即可；二是一次可以比较多个数.2.利用数的性质比较多个数大小时，先按数的性质符号将数分为正数0、、负数，再比较大小.
解题秘方：把这些数准确地表示在同一条数轴上，按右边的点表示的数大于左边的点表示的数，将各数按从小到大的顺序排列.
4-1. 若a0；
(5)先化简，－ (＋3)=－3，－ (－2)=2 ，且2 >-3，所以－ (＋3)2，所以－ (－4)>|2|.
绝对值有理数的大小比较
已知a>0，b|a|，把a，－a，b，－b这四个数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来应该是______＜______＜______＜______.
方法点拨特殊值法常用于不需写步骤的选择题和填空题，是初中数学中非常便捷的解题方法.在符合题目条件要求的情况下，取一些特殊数值对结论作出判断.
有理数a，b，c 在数轴上的位置如图1.2－15 所示.(1)请在数轴上标出|a|，－|b|，－c；(2)比较a，b，c，|a|，－|b|，－c 的大小(用“0>b>－a.
诊误区在数轴上表示含有字母的数时，首先判断这个数的符号，以确定这个数位于正半轴还是负半轴，然后判断这个数的绝对值，以确定这个数到原点的距离.
[中考·株洲]某实验室检测四个元件的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果(单位：g)如图1.2－19 所示，其中最接近标准质量的元件是( )试题评析：本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键.
解：因为|－1.2|＝1.2，|－2.3 |＝2.3，|＋0.9|＝0.9，|－0.8|＝0.8，且0.8