专题13 空间向量与立体几何（选填题）8种常见考法归类-2021-2025年（5年）高考数学真题分类汇编（含答案）

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考点01空间几何体的表面积
1．（2022·上海·高考真题）已知某圆锥的高为4，底面积为，则该圆锥的侧面积为 .
2．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）

A．24B．26C．28D．30
3．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
4．（2021·北京·高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
考点02空间几何体的体积问题
5．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为 ．

6．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．2D．3
9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·天津·高考真题） 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．27D．
12．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
14．（2021·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
15．（2022·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·全国甲卷·高考真题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A．8B．12C．16D．20
17．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
18．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为 ．
19．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
20．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
21．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
22．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
23．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
24．【多选】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
考点03空间几何体其他量的计算
25．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C．D．
26．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A．B．
C．D．
27．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
考点04与球有关的切、接问题
28．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
30．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ．
31．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
32．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
33．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
34．（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
35．【多选】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
考点05点线面位置关系的判断
36．（2022·上海·高考真题）如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）
A．点B．点C．点D．点
37．（2025·天津·高考真题）若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
38．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：
①若，则或 ②若，则或
③若且，则 ④若与,所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
39．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
40．（2022·全国乙卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
41．【多选】（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A．B．平面
C．D．平面
42．【多选】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A．B．
C．D．
考点06求空间角
43．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
44．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
45．（2022·全国甲卷·高考真题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A．B．AB与平面所成的角为
C．D．与平面所成的角为
46．【多选】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为
47．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
考点07立体几何与其他知识的综合
48．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
49．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ．
考点08立体几何新定义问题
50．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
知识
五年考情（2021-2025）
命题趋势
知识1 空间几何体
（5年5考）
考点01空间几何体的表面积
2023·全国乙卷 2022·上海
2021·新高考全国Ⅱ卷 2021·北京
1.空间几何体的体积计算是重点考查内容，5 年内频繁出现，涉及各种类型的几何体，如棱柱、棱锥、球等，且常与其他知识点结合。与球有关的切、接问题也是重要考点，多以正方体、正四棱锥等为背景，考查考生对空间几何体结构特征的理解和空间想象能力。
2.点线面位置关系的判断基本每年都有考查，主要考查考生对空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的基本概念和定理的理解，通常以正方体等简单几何体为载体，通过对一些位置关系的判断来命题，难度适中，注重对基础知识的考查。
3.空间几何体的表面积计算、其他量（如棱长、角度等）的计算也时有出现，要求考生熟练掌握相关公式和定理，具备较强的运算能力和空间想象能力，能够准确计算出相关量的值.
4.立体几何与其他知识的综合考查逐渐受到关注，虽然在选填题中出现频率相对较低，但有一定的命题趋势，可能会与函数、不等式等知识结合，考查考生综合运用知识解决问题的能力.
考点02空间几何体的体积问题
2025·北京2025·上海 2024·新课标Ⅰ卷
2024·北京2024·全国甲卷2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷2023·全国甲卷2023·全国乙卷 2023·天津 2022·新高考全国Ⅰ卷
2022·新高考全国Ⅱ卷2022·天津
2022·全国甲卷 2022·浙江
2021·新高考全国Ⅱ卷 2021·天津 2021·北京
考点03空间几何体其他量的计算
2024·北京 2023·北京 2023·全国甲卷
考点04与球有关的切、接问题
2025·全国二卷2023·新课标Ⅰ卷
2023·全国甲卷 2023·全国乙卷
2022·新高考全国Ⅱ卷 2022·新高考全国Ⅰ卷
2022·全国乙卷
知识2 点、平面、直线间的位置关系
（5年4考）
考点05点线面位置关系的判断
2025·全国一卷2025·天津2024·全国甲卷 2024·天津2022·上海
2022·全国乙卷 2021·新高考全国Ⅱ卷
知识3 立体几何综合
（5年4考）
考点06求空间角
2024·新课标Ⅱ卷 2023·全国乙卷
2022·新高考全国Ⅰ卷2022·全国甲卷 2022·浙江
考点07立体几何与其他知识的综合
2022·北京 2023·上海
考点08立体几何新定义问题
2024·上海
等级
24h降雨量（精确到0.1）
……
……
小雨
0.1~9.9
中雨
10.0~24.9
大雨
25.0~49.9
暴雨
50.0~99.9
……
……