【数学】山东省济南市章丘区2024-2025学年七年级下学期期中考试试题（解析版）

这是一份【数学】山东省济南市章丘区2024-2025学年七年级下学期期中考试试题（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、原式＝2a3，故A选项错误；
B、原式＝a6，故B选项错误；
C、原式＝a4，故C选项错误；
D、原式＝4a2b2，故D选项正确；
故选：D．
2. “春季是甲流的高发期，甲流是一种由病毒引起的流行性感冒，其主要的感染途径是空气传播和接触传播．为预防甲流病毒感染，同学们应注意个人卫生，加强锻炼，增强自身免疫力，流感流行时期应避免到人群密集场所．”甲流病毒的直径约为，用科学记数法表示该数据为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】．
故选：B
3. 计算的结果为( )
A. 2B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
，
故选：D．
4. 下列各式中能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由平方差公式的结构特征可得，能用平方差公式进行计算，需满足：两项相同，另外两项互为相反数，A、B、D中两个括号内的两项符号均相反，只有C符合．
故选C
5. 下列说法正确的是( )
A. 一种彩票中奖率为，就是说买100张这种彩票肯定能中奖一次
B. 一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间，线段最短
C. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择一部影片观看，则这部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是四分之一．
D. 守株待兔是不可能事件
【答案】C
【解析】选项A：中奖率是概率问题，买100张彩票可能都不中奖，并非必然事件，故A错误．
选项B：货站到高速路的最短公路应为垂线段，应用“垂线段最短”而非“两点之间线段最短”，故B错误．
选项C：四部影片等概率选择，概率，描述正确，故C正确．
选项D：守株待兔虽概率极低，但属随机事件而非“不可能事件”，故D错误．
故选：C．
6. 青花瓷，又称白地青花瓷、青花，是中国陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图1是某种青花瓷花瓶，图2是其抽象出的简易轮廓图，已知，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，延长，交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
故选：A．
7. 若可以配成一个完全平方公式，则的值为( )
A. B.
C. 14D. 14或
【答案】D
【解析】原式为，需配成完全平方形式．
首项，故．
常数项，故或．
当为时，展开得，中间项系数为．
由题知中间项系数为，故，解得．
当为时，展开得，中间项系数为．
此时，解得．
∴的值为或，
故选：D．
8. 生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，过B作，

∵，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9. 给出下列式子：
①； ②
③； ④
其中正确的是( )
A. ④B. ③C. ②D. ①
【答案】A
【解析】① 左边展开：，但右边为，错误．
② 左边展开：，但右边为，错误．
③ 左边展开：，但右边为，符号和项均不符，错误．
④ 左边展开：，与右边完全一致，正确．
综上，只有④正确，
故选：A．
10. 观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴原式．
故选：B．
二、填空题
11. 已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是______．
【答案】
【解析】设这个角的度数为x，可得
，
解得．
故答案为：．
12. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角___________．

【答案】
【解析】∵，，
∴．
∵，∴，
∴．
∵，
故答案为：．
13. 图1为某校八(1)(2)两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八(1)(2)两个班级的基地面积．若，，则______．
【答案】
【解析】根据题意，得，，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
14. 已知，，则________.
【答案】12
【解析】∵，，
∴，
故答案为：12．
15. 如图，，，平分，，有下列结论：
①；②；③；④其中正确的结论是____(填写序号)
【答案】①②④
【解析】∵，，
∴，
故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴(1)，
∵，
∴(2)，
∴(1)(2)得，，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴(3)，
∵(1)，
(3)(1)得，，故④正确；
综上，正确的结论有：①②④．
故答案为：①②④．
三．解答题
16. 计算：
(1)
(2)
(1)解：原式
；
(2)解：原式
．
17. 用简便方法计算：
(1)；
(2)
解：(1)
；
(2)
．
18. 先化简，再求值：
，其中，
解：
；
当 时，
原式．
19. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
(1)上表中的________________；
(2)“摸到白球”的概率的估计值是________(精确到)；
(3)若一个口袋中只装有个白球和个红球，它们除颜色外完全相同．
①事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是________；
②现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机
(1)解：由题意得，，；
故答案为：，；
(2)解：由表格可知， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，
∴“摸到白球的”的概率的估计值是；
故答案为：．
(3)解：①事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是
②设取走了个红球，
根据题意得
解得：，
答：取走了个红球．
20. 完成下面的证明：
如图，已知，，，求证：．

证明：，
______(__________)，
，
______(__________)．
即，
，
，
______，
______(__________)．
又，
(__________)．
证明：，
(两直线平行，内错角相等)，
，
(垂直定义)，
即．
，
，
，
(内错角相等，两直线平行)．
又，
(平行于同一直线的两条直线互相平行)．
21. 在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．
(1)问题情景：如图1，已知．
①问题初探：求证：；
②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．(直接写出答案)
解：(1)①证明：∵，
∴，
∴
∵
∴
∴；
②，理由如下，
如图所示，过点作
∴
∵
∴
∴
∴；
(2)解：如图所示，的顶点分别为，
依题意，，作，
∴
∴，
∴．
22. 实践教学：
某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于两个建筑的占地面积(图中阴影)展开了讨论．
数据采集：
两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示．
数据应用：
(1)请分别计算这两个建筑物的占地面积；
(2)其中，求这两个建筑物的占地面积的差是多少？
解：(1) ，
．
答：回字形福建土楼的占地面积为，山西大院的占地面积为．
(2)∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
答：这两个建筑物的占地面积的差是．
23. 如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
(1)求证：EFBC；
(2)若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；
(3)若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
(1)证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EFBC；
(2)证明：∵FP⊥AC，
∴∠PGC＝90°，
∵EFBC，
∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴ABFP，
∴∠1＝∠B；
(3)解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴ABFP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵ABFP，EFBC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
24. 根据以下素材，探索完成任务．
“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．
素材：如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：
问题解决
任务1：将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________(只填序号)
任务2：四张长为、宽为的长方形纸片按如图方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是________________________．
任务3：(1)若满足，求的值．
(2)计算．
任务4：如图，正方形和正方形边长分别为，，若，，是的中点，求出图中的阴影部分面积的和．
解：任务1：图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为，
∴，可验证平方差公式；
图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为，
∴，可验证平方差公式；
图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为，
∴，不可验证平方差公式；
图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为，
∴，可验证平方差公式；
故答案为：；
任务2：方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：，
方法，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积得：；
则；
故答案：；
任务3：(1)设
∵，
∴
∴
．
(2)．
任务4：阴影部分面积等于
，
，，
，
阴影部分面积等于．
25. 如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)点G是射线上的一个动点(不与点M，F重合)，平分交直线于点H，过点H作交直线于点N．设．
①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求β的值；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
解：(1)如图1，，
理由如下：
平分，
，
，
，
．
(2)①如图2，平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
②和之间的数量关系为或．
理由如下：
当点G在点F右侧时，由①得，
当点G在点F的左侧时，如图，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
综上得，和之间的数量关系为或．
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率