内蒙古包头市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】原复数化为（3m﹣2）+i（m﹣1），再根据m的范围确定.
【详解】m（3+i）﹣（2+i）化简得（3m﹣2）+i（m﹣1），
∵
∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0
∴所对应的点在第四象限
故选：D.
【点睛】本题主要考查复数的代数形式，考查了复平面内各象限复数的特点，属于基础题.
2. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，再由，即可得到答案.
【详解】由于是边上的中点，则.
.
故选：B.
3. 正方体中，过顶点，，作截面，截下一个三棱锥，则截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为（ ）
A. 1:5B. 1:6C. 5:6D. 1:4
【答案】A
【解析】
【分析】先求出截去的三棱锥的体积，再用正方体的体积减去三棱锥的体积得余下体积，得解.
【详解】如图，设正方体的棱长为，则该正方体的体积为，
则，所以剩余部分的体积为，
所以截下的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为.
故选：A.
4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有一个红球与都是黑球B. 至少有一个黑球与都是黑球
C. 至少有一个黑球与至少有1个红球D. 恰有1个黑球与恰有2个黑球
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件以及对立事件的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，可能为：1红1黑、2红、2黑，
对于A：至少有一个红球包括1红1黑、2红，与都是黑球是对立事件，不符合题意，故选项A不正确；
对于B：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，与都是黑球不是互斥事件，不符合题意，故选项B不正确；
对于C：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，至少有1个红球包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意，故选项C不正确；
对于D：恰有1个黑球与恰有2个黑球是互斥事件而不是对立事件，符合题意，故选项D正确；
故选：D.
5. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A. 的一个周期为B. 的图象关于对称
C. 在上递减D. 的图象关于点中心对称
【答案】D
【解析】
【分析】结合三角函数的性质，利用整体代换思想依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，因，所以图象关于对称，故B正确；
对于C，，，故在上单调递减，故C正确；
对于D，由选项B，可知D错误.
故选：D.
6. .某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：
则第85百分位数是（ ）
A. 3050B. 3130C. 2950D. 3325
【答案】B
【解析】
【分析】将数据从小到大排列，根据题意求得，分析数据，即可得答案.
【详解】把这组数据从小到大排序：2710，2755，2850，2880，2880，2890，2920，2940，2950，3050，3130，3325.
所以，
所以第85分位数是3130.
故选：B
7. 在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析： 由， 得,
所以， 即
所以是边上的第二个三等分点，故.
考点：平行向量
点评：本题考查的知识点是平行向量与共线向量，其中根据数乘向量的几何意义，分析出 在边上且为边上靠近点的三等分点，是解答本题的关键．
8. 在空间，若直线与平面所成角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面角定义，结合线面垂直的判定定理进行求解即可.
【详解】如图，过点作平面于，连接，
则为直线与平面所成的角，
分别作，交于点，，交于点，
连接、，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，而平面，
所以，同理，
因为，，，
所以≌，所以，，
所以，则为的角平分线，
由，可得，
令，则，，即，
在直角三角形中，因为，
所以，
于是在直角三角形中，
，
即．
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A. B. 方程的另一个根为
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据实系数一元二次方程根的性质判断各个选项即可.
【详解】是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根，
所以，A选项正确；B选项错误；
，所以，C选项正确；
，所以，D选项正确；
故选：ACD.
10. 为了提升中学生的运算能力，某市举办了“中学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为、、、．规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是（ ）
A. 的值为0.015
B. 该市每个中学生被评为“计算小达人”的概率为0.01
C. 现准备在这1000名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则需抽取成绩为的学生5人
D. 被抽取的1000名中学生的均分大约是80分
【答案】AC
【解析】
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，结合中位数定义、平均数的定义逐一判断即可.
【详解】由，所以选项A正确；
因为得分在90分及以上的被评为“计算小达人”，
所以该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为，因此选项B不正确；
现准备在这名学生中，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则须抽取成绩为的学生人数为，因此选项C正确；
被抽取的1000名中学生的均分大约是分，因此选项D不正确，
故选：AC
11. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B. 先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
C. 所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D. 所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解.
【详解】对于A，将先向右平移个单位长度，可得，
再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故A错误；
对于B，将先向左平移个单位长度，可得，
再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故B正确；
对于C，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，
再向左平移个单位长度得，故C正确；
对于D，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，
再向左平移个单位长度得，故D错误.
故选：BC.
12. 如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，则下面命题中正确的序号是（ ）
A. 有水的部分始终呈棱柱形B. 没有水的部分始终呈棱柱形
C. 水面所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜如图（3）所示时，是定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据棱柱的定义判定A，B，利用线面垂直的性质定理可得水面是矩形判定C，利用等体积法判断D即可.
【详解】根据棱柱的定义：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余没相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形可知，
由于边固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，
所以在倾斜的过程中有水的部分始终呈棱柱形，同理没有水的部分始终呈棱柱形，A，B正确；
在倾斜的过程中，长度不变，不断变化，
又因为，所以始终垂直于平面，又平面，所以水面是矩形，
所以水面所在四边形的面积不是定值，C说法错误；
因为水的体积是不变的，正三棱柱的高始终是也不变，
所以底面面积也不会变，即是定值，D说法正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．
【答案】0.38
【解析】
【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果.
【详解】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
故答案为：0.38.
14. 已知________．
【答案】
【解析】
【分析】应用两角和的正切公式化简计算求解.
【详解】.
故答案为：.
15. 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，且前5位同学的成绩分别是70，76，72，70，72．则这6位同学成绩的标准差________．
【答案】7
【解析】
【分析】先根据平均数计算第6位同学的成绩再根据方差公式计算求解即可.
【详解】前5位同学的成绩分别是70，76，72，70，72，6位同学的平均成绩为75分，设第6位学生分数为，
所以，所以，
所以方差为，
所以标准差为.
故答案为：7.
16. 在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据，由正弦定理结合，得到，然后由二倍角公式求解.
【详解】由正弦定理，，又，
，
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．

（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合表示下列事件：“电路是通路”，并求出．
【答案】（1）答案见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）分别用，和表示元件，和的可能状态，这个电路的工作状态可用表示，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，列出所有情况得解；
（2）“电路是通路”即，且，至少有一个是1，由古典概率的公式计算.
小问1详解】
分别用，和表示元件，和的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示．
进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，
则样本空间.
【小问2详解】
“电路是通路”等价于，，且，至少有一个是1，
所以.
所以.
18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案；
（2）由余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式可得出答案.
【小问1详解】
因为，，且，
则.，
由正弦定理得，
因为，所以，
可得，即.
且，所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得，或（舍），
所以的面积.
19. ．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1），单调递增区间为
（2），
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据周期公式可求得最小正周期，利用正弦函数的单调性即得；
（2）由，得，利用正弦函数的单调性得解.
【小问1详解】
，
故的最小正周期，
令，可得，
故的单调递增区间为.
【小问2详解】
当，，
故当时，即时，．
当时，即时，.
20. 如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直得出，再应用线面垂直判定定理得出线面垂直，最后面面垂直判定定理证明即可；
（2）应用异面直线所成角的定义求出为异面直线与所成角，再结合边长计算求解.
小问1详解】
证明：在正四棱锥中，连接，交于点，连接，
因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，
因为平面，所以．
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
【小问2详解】
连接，由（1）知，平面，
又平面，，
又为的中点，．
为异面直线与所成角，
在中，，
在中，，，．
又，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
21. 已知平面向量，满足：，，．
（1）求与的夹角；
（2）求向量在向量上的投影向量的模．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先应用数量积运算律化简求解得出，余弦公式计算求解；
（2）应用数量积运算律结合模长公式计算，再应用投影向量模长公式计算求解.
【小问1详解】
，，
又，，，．
又，．
【小问2详解】
，．
向量在向量上的投影向量的模为
22. 如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，，直线与平面所成角的正弦值为．
（i）求四棱锥外接球的表面积；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）连接，得，由线面平行的判定定理得证；
（2）（i）由题易求，可得四棱锥外接球的球心为的中点，运算得解；（ii）作交的延长线于点，连接，可证，为平面与平面的夹角，运算得解.
【小问1详解】
连接，因为四边形为矩形，所以点为的中点．
又点为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
底面，为在底面内的射影，
直线与平面所成角为，
则，所以，
在中，可得，在中，可得．
（i）设四棱锥外接球的半径为，则四棱锥外接球即其所在长方体的外接球，
所以其球心为的中点，所以，故其外接球的表面积为.
（ii）作交的延长线于点，连接，
平面，平面．
，，，
则平面，平面，故，
又，与相交，则平面，平面，故，
所以为平面与平面的夹角，
在中，，，则，，所以，
在中，可得．
在中，可得，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.毕业生
起始月薪
毕业生
起始月薪
1
2850
7
2890
2
2950
8
3130
3
3050
9
2940
4
2880
10
3325
5
2755
11
2920
6
2710
12
2880