2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.AB=DC是四边形ABCD构成平行四边形的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.对于非零向量a，b，下列命题中正确的是( )
A. a⋅b=0⇒a//b
B. a//b⇒a在b上的投影向量为−|a|e(e是与b方向相同的单位向量)
C. a⊥b⇒a⋅b=(a⋅b)2
D. a⋅c=b⋅c⇒a=b
3.已知a=(5,−2)，b=(−4,−3)，c=(x,y)，若a−2b+3c=0，则c=( )
A. (1,83)B. (133,83)C. (133,43)D. (−133,−43)
4.若△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是( )
A. 底边和腰不相等的等腰三角形B. 钝角三角形
C. 直角三角形D. 等边三角形
5.下列说法错误的是( )
A. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱B. 任意n面体都可以分割成n个棱锥
C. 棱台的侧棱的延长线必交于一点D. 一个八棱柱有10个面
6.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为( )
A. 13abcB. 16abcC. 112abcD. 124abc
7.设z1=3−4i，z2=−2+3i，则z1+z2在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.设O是原点，OA，OB对应的复数分别为2−3i，−3+2i，那么BA对应的复数是( )
A. −5+5iB. −5−5iC. 5+5iD. 5−5i
9.若(1−i)+(2+3i)=a+bi(a,b∈R)，i是虚数单位，则a，b的值分别等于( )
A. 3，−2B. 3，2C. 3，−3D. −1，4
10.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则B的解的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 不确定
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.复数53+4i的共轭复数是______．
12.正方体相邻两个面的两条对角线所成角的大小是______．
13.若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，则这个球面的面积为______．
14.若向量a=(6,−8)，则与a平行的单位向量是______．
15.已知向量|a|=3，b=(1,2)，且a⊥b，则a的坐标是______．
16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=50 3，c=150，B=30°，则边长a= (1) 或 (2) ．
三、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知过O点的任意两个不共线的非零向量a,b，若OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b．
(1)请你猜想A，B，C三点的位置关系．
(2)证明你的猜想．
18.(本小题10分)
已知a=3e1−2e2,b=4e1+e2，其中e1=(1,0),e2=(0,1)，求：
(1)a⋅b；|a+b|；
(2)a与b的夹角的余弦值．
19.(本小题8分)
已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a, 3b)，n=(sinB,csA)，且m⊥n．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b=2，求△ABC的面积．
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+ 3sinxcsx．
(1)化简函数f(x)为Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ>0)的形式，并求f(π6)的值．
(2)在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的最大值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定定理、向量相等的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用平行四边形的判定定理、向量相等的性质即可判断出结论．
【解答】
解：四边形ABCD构成平行四边形⇒AB=DC，
反之不一定成立，A，B，C，D四点可能共线，
∴AB=DC是四边形ABCD构成平行四边形的必要不充分条件，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的求法与应用，命题的真假的判断，属于基础题．
利用向量垂直的充要条件可判断A，C；利用向量的投影向量判断B；取c=0可判断D．
【解答】
解：a⋅b=0⇔a⊥b，故A不正确；
若a与b同向时，a在b上的投影向量为：a⋅b|b|⋅e=|a|e(e是与b方向相同的单位向量)，故B不正确；
a⊥b⇔a⋅b=0=(a⋅b)2，故C正确；
a⋅c=b⋅c若c=0，等式成立，但是推不出a=b，故D不正确．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】解：由题意可得：a−2b+3c=(13+3x,4+3y)=0，
所以13+3x=0，并且4+3y=0，
所以x=−133，y=−43．
故选D．
由题意可得：a−2b+3c=(13+3x,4+3y)=0，进而列方程组可得答案．
本题主要考查平面向量的坐标运算．
4.【答案】D
【解析】解：由B=60°，b2=ac，可得b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac=ac，
即(a−c)2=0，可得a=c=b，
所以△ABC为等边三角形，
故选：D．
由三角形的余弦定理和完全平方公式可得三角形的形状．
本题考查三角形的余弦定理的运用，以及三角形的形状判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：对于选项A：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不能形成圆柱；故A说法错误；
对于选项B：任意n面体，在n面体内取一点为P，将点P与n面体的各个顶点连，即可构成n个棱锥，故B说法正确；
对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C说法正确；
对于选项D：根据棱柱的定义，八棱柱有8个侧面，2个底面，共10个面，故D说法正确；
故选：A．
根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验。
本题考查了空间几何体的定义及特征，掌握定义及几何体的特征是本题的根本，属于基础题。
6.【答案】B
【解析】解：∵三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，
则这个三棱锥的体积为：
V=13Sℎ=13×12×abc=16abc．
故选：B．
直接利用三棱锥的体积公式能求出这个三棱锥的体积．
本题考查三棱锥的体积的求法，考查三棱锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵z1=3−4i，z2=−2+3i，
∴z1+z2=(3−4i)+(−2+3i)=1−i，
∴z1+z2在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，位于第四象限．
故选：D．
由复数代数形式的加法运算及复数的几何意义得答案．
本题考查复数代数形式的加法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
直接利用复数的坐标运算及减法几何意义求解．
本题考查了复数代数形式的加减运算，考查了复数加减法的几何意义，是基础题．
【解答】
解：由OA，OB对应的复数分别为2−3i，−3+2i，
所以BA=OA−OB=(2−3i)−(−3+2i)=5−5i．
故选D．
9.【答案】B
【解析】解：(1−i)+(2+3i)=a+bi(a,b∈R)，
则3+2i=a+bi，
故a=3，b=2．
故选：B．
根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：因为a=80，b=100，A=30°，
由正弦定理得，8012=100sinB，
所以sinB=58，
因为aA，
故B有两解．
故选：C．
由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可判断．
本题主要考查了正弦定理在三角形解的个数判断中的应用，属于基础题．
11.【答案】35+45i
【解析】解：因为复数53+4i=5(3−4i)(3+4i)(3−4i)=5(3−4i)25=35−45i，
它的共轭复数为：35+45i．
故答案为：35+45i．
复数的分母实数化，然后求出共轭复数即可．
他考查复数的基本概念的应用，复数的化简，考查计算能力．
12.【答案】60°
【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
①若相邻两个面上的对角线有公共点，比如图中的AB1与AD1，
连接B1D1，根据AD1=B1D1=AB1，可得△AB1D1是等边三角形，
所以∠B1AD1=60°，即直线AB1与AD1所成的角等于60°；
②若相邻两个面上的对角线没有公共点，比如图中的AD1与A1B，
连接A1C1、BC1，由AD1/​/BC1，
可知∠A1BC1(或补角)就是异面直线AD1与A1B所成的角，
因为△A1BC1是等边三角形，所以∠A1BC1=60°，即AD1与A1B所成的角等于60°．
综上所述，正方体中相邻两个面上的对角线所成的角等于60°．
故答案为：60°．
根据题意作出图形，运用正方体的性质、空间直线所成角的定义进行求解，即可得到本题的答案．
本题主要考查正方体的结构特征、空间两条直线的所成角等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
13.【答案】14π
【解析】解：长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，
所以长方体的外接球的直径为： 9+4+1= 14，
外接球的半径为： 142．
则这个球面的面积为：4×( 142)2π=14π．
故答案为：14π．
求出长方体的对角线的长度，得到外接球的直径，然后求解外接球的表面积．
本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是基础题．
14.【答案】(35,−45)或(−35,45)
【解析】解：∵向量a=(6,−8)，则与a平行的单位向量是±a|a|=±(35,−45)，
即(35,−45)或(−35,45)，
故答案为：(35,−45)或(−35,45).
由题意，根据与a平行的单位向量是±a|a|，得出结论．
本题主要共线向量与单位向量的定义，属于基础题．
15.【答案】(−6 55,3 55)或(6 55,−3 55)
【解析】解：设a=(x,y)，∵|a|=3，∴ x2+y2=3，即x2+y2=9 ①，
又a⊥b，∴x+2y=0 ②，联立①②得：x=−6 55y=3 55或x=6 55y=−3 55．
∴a的坐标是(−6 55,3 55)或(6 55,−3 55)．
故答案为(−6 55,3 55)或(6 55,−3 55)．
设出向量a的坐标，根据a⋅b=0列方程组求解．
本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了方程思想，考查计算能力，是基础题．
16.【答案】50 3；100 3
【解析】解：∵b=50 3，c=150，B=30°，
∴由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，可得：(50 3)2=a2+(150)2−2×a×150× 32，
整理可得：a2−150 3a+15000=0，
∴解得：a=100 3，或50 3．
故答案为：100 3，或50 3．
由已知利用余弦定理可得a2−150 3a+15000=0，解方程即可得解a的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．
17.【答案】猜想A，B，C三点共线．
证明见解析．
【解析】由OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b．
(1)猜想A，B，C三点共线．
证明：(2)因为AB=OB−OA=a+2b−(a+b)=b，
AC=OC−OA=a+3b−(a+b)=2b，
所以AC=2AB．
又AC,AB均过A点，因此A，B，C三点共线．
(1)(2)根据向量共线定理即可求解．
本题主要考查向量共线的性质应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵e1=(1,0),e2=(0,1)，
∴|e1|=|e2|=1，又a=3e1−2e2,b=4e1+e2，
∴a⋅b=(3e1−2e2)⋅(4e1+e2)=12|e1|2−2|e2|2−5e1⋅e2
=10；
a+b=3e1−2e2+4e1+e2=7e1−e2=(7,0)−(0,1)=(7,−1)，
∴|a+b|= 72+(−1)2= 50=5 2；
(2)|a|=|3e1−2e2|=|(3,−2)|= 13，|b|=|4e1+e2|=|(4,1)|= 17，
∴a与b的夹角的余弦值为csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=10 13⋅ 17=10 221221．
【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的坐标加减运算，考查计算能力，是中档题．
(1)由已知向量的坐标求出向量e1,e2的模，展开数量积运算可求a⋅b；求出a+b的坐标，由模的公式计算；
(2)分别求出|a|,|b|，结合(1)中求出的a⋅b，代入夹角公式得答案．
19.【答案】解：(1)因为m⊥n，所以m⋅n=asinB+ 3bcsA=0，
由正弦定理得sinAsinB+ 3sinBcsA=0，
因为sinB≠0，所以sinA+ 3csA=0，即：tanA=− 3，
又因为0