2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（下）期中数学试卷（含答案），共4页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.AB=DC是四边形ABCD构成平行四边形的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.对于非零向量a，b，下列命题中正确的是( )
A. a⋅b=0⇒a//b
B. a//b⇒a在b上的投影向量为−|a|e(e是与b方向相同的单位向量)
C. a⊥b⇒a⋅b=(a⋅b)2
D. a⋅c=b⋅c⇒a=b
3.已知a=(5,−2)，b=(−4,−3)，c=(x,y)，若a−2b+3c=0，则c=( )
A. (1,83)B. (133,83)C. (133,43)D. (−133,−43)
4.若△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是( )
A. 底边和腰不相等的等腰三角形B. 钝角三角形
C. 直角三角形D. 等边三角形
5.下列说法错误的是( )
A. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱B. 任意n面体都可以分割成n个棱锥
C. 棱台的侧棱的延长线必交于一点D. 一个八棱柱有10个面
6.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为( )
A. 13abcB. 16abcC. 112abcD. 124abc
7.设z1=3−4i，z2=−2+3i，则z1+z2在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.设O是原点，OA，OB对应的复数分别为2−3i，−3+2i，那么BA对应的复数是( )
A. −5+5iB. −5−5iC. 5+5iD. 5−5i
9.若(1−i)+(2+3i)=a+bi(a,b∈R)，i是虚数单位，则a，b的值分别等于( )
A. 3，−2B. 3，2C. 3，−3D. −1，4
10.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则B的解的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 不确定
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.复数53+4i的共轭复数是______．
12.正方体相邻两个面的两条对角线所成角的大小是______．
13.若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，则这个球面的面积为______．
14.若向量a=(6,−8)，则与a平行的单位向量是______．
15.已知向量|a|=3，b=(1,2)，且a⊥b，则a的坐标是______．
16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=50 3，c=150，B=30°，则边长a= (1) 或 (2) ．
三、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知过O点的任意两个不共线的非零向量a,b，若OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b．
(1)请你猜想A，B，C三点的位置关系．
(2)证明你的猜想．
18.(本小题10分)
已知a=3e1−2e2,b=4e1+e2，其中e1=(1,0),e2=(0,1)，求：
(1)a⋅b；|a+b|；
(2)a与b的夹角的余弦值．
19.(本小题8分)
已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a, 3b)，n=(sinB,csA)，且m⊥n．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b=2，求△ABC的面积．
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+ 3sinxcsx．
(1)化简函数f(x)为Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ>0)的形式，并求f(π6)的值．
(2)在△ABC中，若f(A2)=1，求sinB+sinC的最大值．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.D
5.A
6.B
7.D
8.D
9.B
10.C
11.35+45i
12.60°
13.14π
14.(35,−45)或(−35,45)
15.(−6 55,3 55)或(6 55,−3 55)
16.50 3；100 3
17.由OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b．
(1)猜想A，B，C三点共线．
证明：(2)因为AB=OB−OA=a+2b−(a+b)=b，
AC=OC−OA=a+3b−(a+b)=2b，
所以AC=2AB．
又AC,AB均过A点，因此A，B，C三点共线．
18.解：(1)∵e1=(1,0),e2=(0,1)，
∴|e1|=|e2|=1，又a=3e1−2e2,b=4e1+e2，
∴a⋅b=(3e1−2e2)⋅(4e1+e2)=12|e1|2−2|e2|2−5e1⋅e2
=10；
a+b=3e1−2e2+4e1+e2=7e1−e2=(7,0)−(0,1)=(7,−1)，
∴|a+b|= 72+(−1)2= 50=5 2；
(2)|a|=|3e1−2e2|=|(3,−2)|= 13，|b|=|4e1+e2|=|(4,1)|= 17，
∴a与b的夹角的余弦值为．
19.解：(1)因为m⊥n，所以m⋅n=asinB+ 3bcsA=0，
由正弦定理得sinAsinB+ 3sinBcsA=0，
因为sinB≠0，所以sinA+ 3csA=0，即：tanA=− 3，
又因为0