2024-2025学年内蒙古赤峰四中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古赤峰四中高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于(注：P(μ−2σ0，且a7，12a6，−2a5成等差数列，则公比q=( )
A. 2B. 2或−1C. 3D. 3或−1
4.函数f(x)=13x3−12x2−2x+13的极小值为( )
A. −1B. 2C. −133D. −3
5.下列关于回归分析的说法错误的是( )
A. 经验回归直线一定过点(x−,y−)
B. 在残差图中，残差比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适
C. 若甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好
D. 两个模型的残差平方和越小的模型拟合的效果越好
6.已知(1x+my)(2x−y)5的展开式中x2y4的系数为40，则m的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
7.有6名志愿者，分配到甲、乙、丙三所学校支教，每个学校至少一名志愿者，每个志愿者只能到一所学校支教.分配到甲学校志愿者的人数不少于乙、丙学校.则不同的分配方法种数为( )
A. 150B. 240C. 690D. 180
8.已知函数f(x)在R上可导，导函数为f′(x)，满足f′(x)>f(x)，且f(x+5)为偶函数，f(10)=1，则不等式f(x)0且a≠1)，则( )
A. 当a=e时，f(x)≥0恒成立
B. 若f(x)有且仅有一个零点，则01，使得f(x)有三个极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线f(x)=e2−x过点(2,1)的切线方程为______．
13.由0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是______(用数字作答)．
14.玻璃杯成箱出售，每箱10只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看2只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求顾客买下该箱的概率______.在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率______(用数字作答)．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某5G科技公司对某款5G产品在2020年1月至6月的月销售量及月销售单价进行了调查，月销售单价x和月销售量y之间的一组数据如表所示：
(1)由散点图可知变量y与x具有线性相关关系，根据1月至6月的数据，求出y关于x的回归直线方程y​=b​x+a​；
(2)预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种产品的成本是350元/件，则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？(注：利润=销售收入−成本)
附参考公式和数据：b​=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a​=y−−b​x−，i=16(xi−x−)(yi−y−)=−14．
16.(本小题15分)
某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关题目.根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有6名选手.现从每个班级的6名选手中随机抽取4人回答这道题目.已知甲班的6名选手中只有4人可以正确回答这道题目，乙班的6名选手能正确回答这道题目的概率均为23，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的．
(1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=3lnx−ax3+4．
(1)当a=1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)≤0对任意的x>0恒成立，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
{an}为等差数列，bn=an−4,n为奇数2an,n为偶数，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4=26，T3=12．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
体育课上，甲、乙两名同学向丙发起乒乓球挑战.挑战规则如下：
①第一局甲挑战丙；
②若一人挑战成功，则下一局继续由该同学挑战，否则换另一名同学挑战.已知每一局甲挑战成功的概率为14，乙挑战成功的概率为13，每一局甲、乙是否能挑战成功相互独立．
(1)求前4局甲、乙两人恰好各挑战成功1次的概率．
(2)求第n(n∈N∗)局比赛是甲挑战丙的概率pn，并判断当比赛局数n足够大时pn的值是否趋近于一个常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.C
6.B
7.B
8.B
9.BC
10.ACD
11.ABC
12.y=−x+3
13.156
14.212225 4553
15.解：(1)x−=16(9+8.8+8.6+8.4+8.2+8)=8.5，
y−=16(68+75+80+83+84+90)=80．
i=16(xi−x−)2=(9−8.5)2+(8.8−8.5)2+(8.6−8.5)2+(8.4−8.5)2+(8.2−8.5)2+(8−8.5)2=0.7，
i=16(xi−x−)(yi−y−)=−14，
则b =i=16(xi−x−)(yi−y−)i=16(xi−x−)2=−140.7=−20，a =y−−b x−=80+20×8.5=250．
∴y关于x的回归直线方程为y​=−20x+250；
(2)设月利润为z百万元，
则由z=(x−3.5)y，得z=(x−3.5)(250−20x)=−20x2+320x−875=−20(x−8)2+405，
∴当x=8时，zmax=405(百万元)．
故该产品的月销售单价定为800元时，获得最大约利润．
16.(1)易知X的所有取值有2、3、4，
P(X=2)=C22C42C64=25，P(X=3)=C21C43C64=815，P(X=4)=C44C64=115，
X的分布列：
将表格数据代入期望公式可得E(X)=2×25+3×815+4×115=83；
(2)设乙班被抽取的选手能够正确回答的人数为随机变量Y，则Y～B(4,23)，
所以E(Y)=4×23=83，D(Y)=4×23×13=89，
由方差公式可得D(X)=(2−83)2×25+(3−83)2×815+(4−83)2×115=1645，
所以D(X)0，得00恒成立．
设函数g(x)=3lnx+4x3，其中x>0，那么导函数g′(x)=−9−9lnxx4，
由g′(x)1e，由g′(x)>0，得0