内蒙古赤峰赤峰二中2024~2025学年高二下册第二次月考数学试卷[附解析]

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一、单选题
1. 随机变量的分布列为为常数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由分布列的性质求得，进而可求解.
【详解】由题意可得：，
所以，
所以，
故选：D
2. 如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的总数记为，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图案可知规律为每增加，图案中的点数增加，知点数构成等差数列，利用等差数列通项公式和求和公式可求得结果.
【详解】由题图可知，，，，，依此类推，每增加，图案中的点数增加，所以相应图案中的点数构成首项为，公差为的等差数列，
，
．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题以归纳推理为载体，考查了等差数列通项公式和前项和的求解，解题关键是能够通过图案中的规律总结出随着的变化，点数的变化规律.
3. 等差数列的前项和为，其中，又2，，，，8成等比数列，则的值是（ ）
A. 4B. C. 4或D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由等差数列的前项和公式可求得的值，由等差数列的性质可求得值，利用等比数列的性质求得的值，即可求的值.
【详解】因为数列是等差数列，且，所以，解得，
由等差数列的性质可得，
因为2，，，，8成等比数列，所以，解得，
又，所以，所以，所以.
故选：A.
4. 高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（ ）
A. 42种B. 96种C. 120种D. 144种
【答案】C
【解析】
【分析】根据语文课与数学课相邻，则利用捆绑法，物理课比生物课先上则利用对称法求解.
【详解】因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，
所以课程编排方案共有种，
故选：C.
5. 已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合即可求出结果.
【详解】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
作出在上的图象，如图：
由图可知要使有3个不同实根，则.
故选：D.
6. 今年春节，《哪吒2》、《唐探1900》、《熊出没之重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》这四部影片引爆了电影市场．小明和他的同学一行四人决定去看电影，若小明要看《哪吒2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用排列组合知识，结合古典概型的概率公式求解．
【详解】分以下两种情况讨论：
（1）小明和其中一人同时看《哪吒2》，另外两人看剩余三部电影中的两部，
此时所求概率为，
（2）观看《哪吒2》只有小明一人，只需将剩余三人分为两组，再将这两组人分配给两部电影，
此时所求概率为，
综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为．
故选：C．
7. （1）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为；（2）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球的次数为，
符合二项分布，可用二项分布相关公式求解.
【详解】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球的次数为，故
同理可得：
即
故选：A
【点睛】本题考查了二项分布及其期望方差的计算，考查了转化思想，属于中档题.
8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果.
【详解】由题意可得，即，
所以，
又，所以在上单调递增，
即，所以，
且，
令，，
则，其中，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
所以，，
所以.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果.
二、多选题
9. 以下说法正确的是（ ）
A. 两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程度越强
B. 残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好
C. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与没有关联”
D. 若随机变量，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，结合相关系数的概念，以及独立性检验的概念和正态分布的概率公式，逐项判断即可求解.
【详解】对于A，根据相关系数的定义，当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关，
其中，且当越接近1时，相关程度越大；当越接近0时，相关程度越小，故A错误.
对于B，残差点分布越窄，说明大部分预测值与实际值的偏离越小，拟合效果较好，故B正确.
对于C，独立性检验的判断标准是，若计算得出的值大于临界值，则拒绝独立性假设，
说明变量与存在关联。因此，，
意味着拒绝“与没有关联”的零假设，故C错误.
对于D，对于，则，
所以，
对于，则，
所以，
又，所以，故D正确.
故选：BD.
10. Sigmid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmid函数的导函数，则（ ）
A. B. Sigmid函数是单调减函数
C. 函数的最大值是D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，求出导函数，代入验证可以判断A；利用导数研究函数的单调性，进而可以判断B；利用基本不等式，可以判断C；易知函数关于点对称,进而可以求D.
【详解】由函数得.
对于A，，故A正确；
对于B， ，，则Sigmid函数是增函数，故B错误；
对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D，因为＋＋1，
所以，D正确．
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解.
11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，则下列说法正确的有（ ）

A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是84
B. 在“杨辉三角”中，从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为78
C.
D. 的前项和为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据题意结合组合数运算求解；对于B：根据题意结合等差数列求和分析判断；对于CD：根据题意结合等比数列以及裂项相消法分析判断.
【详解】对于选项A：在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是，故A正确；
对于选项B：从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为
，故B正确；
对于选项CD：由题意可知：，
则，，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
可得，则，故C错误；
因，
所以的前项和为
，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
12. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是______.
【答案】240
【解析】
【分析】根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项.
【详解】因为二项式系数和，
因此，
又，
令，常数项为.
故答案为：240.
13. 小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为_________.
【答案】##0.3
【解析】
【分析】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，根据题意利用全概率公式可得，进而结合条件概率公式分析求解.
【详解】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，
则“小李周一、周二都去健身”为事件AB，
由题意可知：，，且，
由全概率公式可知：，
即，解得，
所以.
故答案为：.
14. 已知数列中，，，，则的前项和_____.
【答案】
【解析】
【分析】由，得，得到等差数列，进而可求解；
【详解】由，得，
是首项为，公差为1的等差数列，
，
，
，为等差数列，
.
故答案为：
四、解答题
15. 已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最大整数n．
【答案】（1）证明见解析
（2）2024
【解析】
【分析】（1）对递推式两边取倒数得，变形为，然后根据等比数列定义证明即可；
（2）由（1）可得，利用分组求和思想求和后结合函数单调性解不等式即可求解．
【小问1详解】
∵，∴，
可得，
又由，所以，则数列表示首项为，公比为的等比数列．
【小问2详解】
由（1）可得，所以．
设数列的前n项和为，
则，
若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数n的值为2024．
16. 如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））.
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成的角为，求长；
（3）设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）相交，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先证平面，即可得证线线垂直；
（2）由所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，然后由空间向量法求线面角求得参数值；
（3）用反证法证明判断与平面相交．
【小问1详解】
，平面，
平面，
平面
【小问2详解】
是等腰直角三角形且，则到的距离为2，
，所以，可由所在直线轴建立空间直角坐标系（如图），设，结合图（1）得
，
设面的法向量，
令，
直线与平面所成角为，
，
解得：，或（舍），所以，的长为；
【小问3详解】
相交
反证法，因为点平面，且点交线，所以交线平面.
假设平面，且平面，平面平面，故.同理，因此，由图1知，与BC相交，矛盾.
因此与平面相交.
17. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下：
（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程；
（2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差.
附：参考数据：，，，，.
参考公式：回归直线方程，其中，.
相关系数.
【答案】（1），说明见解析，
（2）分布列见解析，，.
【解析】
【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程；
（2）利用全概率公式求出每个人从号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出、的值.
【小问1详解】
依题意，，而，，，
则.
因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合.
，，
因此，回归方程为.
【小问2详解】
记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，
“甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件，
由题意可得，，，
，，
由全概率公式得：
，
同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为，
为人中从号门出学校的人数，则，
，，
，，
，
故的分布列为：
，.
18. 已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的最小值.
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）在定义域内根据符号求得的范围，求单调区间；
（2）由题意求单调区间，结合恒成立得 ，构造，利用导数研究函数的单调性得，即可得结果.
【小问1详解】
当时，，，
所以，易知时，时．
函数的单调增区间为，减区间为；
【小问2详解】
由题意得，．
当时，时．
的单调增区间为，减区间为，则，
∵恒成立，
∴，则．故，
令，，
设（），则．
当时，当时．
∴在上递减，在上递增，
综上，的最小值为.
19. 已知，是椭圆的两个顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，，与直线交于点，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆顶点坐标直接可得椭圆方程；
（2）设直线方程，可得点，联立直线与椭圆结合韦达定理，再根据两点间距离化简可得解
【小问1详解】
由，是椭圆的两个顶点，
得，，
即；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线与椭圆有且只有一个公共点，不成立，
所以设，，，直线的斜率为，
则，
同理，，则．
设：，而：，联立解得，
所以；
联立直线与椭圆方程，消去得：，
所以，，
所以，
所以，
即．
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．日期
月日
月日
月日
月日
月日
第天
参观人数