2024-2025学年青海师大附属第二实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年青海师大附属第二实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
C. 棱台的各侧棱延长后必交于一点
D. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2,b=3,csB= 74，则A=( )
A. π6B. π3C. 5π6D. π6或5π6
3.已知向量a=(1,2)，b=(m,3)，若a⊥(2a−b)，则a与b夹角的余弦值为( )
A. 1010B. 3 1010C. 55D. 2 55
4.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比( )
A. 1：1B. 2：1C. 3：2D. 2：3
5.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=1,C=π4，△ABC的面积S=2，则△ABC的外接圆的半径为( )
A. 4 5B. 2 5C. 5 2D. 5 22
6.如图所示，在△ABC中，点D是斜边BC的中点，点E是线段AD靠近点A的四等分点，设a=AB,b=AC，则BE=( )
A. 14a+34b B. −58a−18b
C. 52a+18b D. −78a+18b
7.化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效.如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部C在同一水平面的A、B两点，在A点测得树根部C在西偏北30°的方向上，沿正西方向步行20米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则树的高度是( )
A. 10 6米 B. 10 3米
C. 10 33米 D. 10 63米
8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是棱CC1的中点，则异面直线BM与AC所成角的正弦值为( )
A. 105B. 3 1010C. 155D. 1010
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m//n，n⊂α，m⊄α，则m//αB. 若m//α，α//β，则m//β
C. 若m//α，n//α，则m//nD. 若α//β，m⊂α，则m//β
10.已知向量a=(1,m)，b=(2,−4)，则下列说法正确的是( )
A. 若|a+b|= 10，则m=5
B. 若a//b，则m=−2
C. 若a⊥b，则m=−1
D. 若m=1，则向量a，b的夹角为钝角
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是( )
A. a=3，b=4，A=150°，有两解
B. 若acsB=bcsA，则△ABC为等腰三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
D. 若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a，b的夹角为π6，且|a|=2，b=(−1, 3)，则a在b方向上的投影向量为______.(用向量坐标表示)
13.如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形ABCD的直观图，其中A′B′//C′D′，A′B′=2C′D′=8，梯形A′B′C′D′的面积为30，则梯形ABCD的高为______．
14.在△ABC中，∠ABC=π4，BC= 2，S△ABC=2，若E为AC中点，则BE长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(1,3)，b=(6,x)．
(1)若a⊥b，求向量2a−b的坐标；
(2)若a//b，求|b|的值；
(3)若向量c=(1,−1)，若a+b与b−c共线，求a⋅b的值．
16.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点．
(1)求点D到平面AEF的距离；
(2)求直线EF与平面ABCD所成的角的正弦值．
17.(本小题15分)
在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 3(acsC+ccsA)=2bsinB．
(1)求角B的值；
(2)若b=2 3，求a2+c2的取值范围．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c.向量m=( 3a,b)，n=(sinA,csB)，且m//n．
(1)求B的大小；
(2)若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值；
(3)若a=2，b= 7，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，DA=AB=2，DC=4，E，F分别为棱CD，PD的中点．
(1)求证：PB//平面AEF；
(2)求证：AE⊥平面PBD．
(3)求证：平面AEF//平面PBC．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体，若侧棱不平行，则不为棱柱，故A错误；
对于B，棱锥的各个侧面都是等边三角形，则顶角为60°，
若为六棱锥，则60°×6=360°，为一个周角，故为平面图形，故B错误；
对于C，由棱台的定义，棱台的各侧棱延长后必交于一点，C正确；
对于D，以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转，如果旋转轴是梯形的斜边，则旋转体不是圆台，D错误．
故选：C．
结合棱柱、棱锥、棱台和圆台的定义依次分析选项，综合可得答案．
本题考查棱柱、棱锥、棱台和圆台的结构特征，注意棱柱、棱锥、棱台和圆台的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据csB= 74，B∈(0,π)，可得sinB= 1−cs2B=34，
因为a=2，b=3，
所以由正弦定理asinA=bsinB，可得sinA=a⋅sinBb=2×343=12，
结合a0，所以sinA>sin(π2−B)=csB，即sinA>csB，所以C正确；
D中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，
设a2k，b=3k，c=4k，k>0，可得c边最大，可得角C最大，可得csC=a2+b2−c22ab=4k2+9k2−16k22×2k×3k=−14，
所以C为钝角，所以D正确．
故选：CD．
A中，由三角形中大边对大角，可得角A为锐角，判断出A的真假；B中，由正弦定理可得sin2A=sin2B，可得A=B或A+B=π2，判断出B的真假；C中，由锐角三角形的性质及y=sinA可得sinA，csB的关系，判断出C的真假；D中，由余弦定理可得csC小于0，可得角C为钝角，判断出D的真假．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
12.【答案】(− 32,32)
【解析】解：b=(−1, 3)，
则|b|=2，
平面向量a，b的夹角为π6，且|a|=2，
则a在b方向上的投影向量为：|a|csπ6×b|b|= 32b=(− 32,32)．
故答案为：(− 32,32)．
结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
13.【答案】10 2
【解析】解：根据题意，设原图梯形ABCD的高为ℎ，
直观图梯形A′B′C′D′的面积为30，
则原图的面积S=2 2×30=60 2，
原图中，AB/​/CD，且AB=8，CD=4，
则有(8+4)ℎ2=60 2，则ℎ=10 2．
故答案为：10 2．
根据题意，设原图梯形ABCD的高为ℎ，求出原图的面积，由梯形面积公式计算可得答案．
本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．
14.【答案】 262
【解析】解：在△ABC中，∠ABC=π4,BC= 2，
所以S△ABC=12AB⋅BC⋅sinπ4=12AB× 2× 22=2，则AB=4，
由余弦定理得：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csπ4=16+2−2×4× 2× 22=10，故AC= 10，
由余弦定理得：csC=BC2+AC2−AB22BC⋅AC=2+10−162 2× 10=− 55，
若E为AC中点，则在△EBC中，CE=12AC= 102，
由余弦定理得：BE2=BC2+EC2−2BC⋅EC⋅csC=2+52−2× 2× 102×(− 55)=132，
故BE= 262．
故答案为： 262．
在△ABC中，根据面积公式可得AB，由余弦定理可得AC与csC，在△EBC中由余弦定理即可得BE长．
本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
15.【答案】(−4,8)；
6 10；
18．
【解析】解：(1)因为a⊥b，
所以a⋅b=0，
则1×6+3x=0，
解得x=−2，
故b=(6,−2)，
则2a−b=2(1,3)−(6,−2)=(−4,8)；
(2)因为a//b，
所以x=3×6=18，
则b=(6,18)，
则|b|= 62+182=6 10；
(3)因为a+b=(1,3)+(6,x)=(7,3+x)，b+c=(6,x)−(1,−1)=(5,x+1)，
若a−+b−与b−c共线，
则5×(3+x)=7×(x+1)，
解得x=4，
即b=(6,4)，
故a⋅b=1×6+3×4=18．
(1)因为a⊥b，所以a⋅b=0，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可；
(2)因为a//b，所以x=18，然后结合平面向量模的运算求解即可；
(3)由题意可得：5×(3+x)=7×(x+1)，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
16.【答案】 63； 33．
【解析】(1)在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点，
所以EF= 3,AE= 5,AF= 2，
因为AE2=EF2+AF2，所以∠AFE=90°，
S△AEF=12× 2× 3= 62,S△ADF=12S△ABD=12×12×2×2=1，
记点D到平面AEF的距离为d，
因为VD−AEF=VE−ADF，
所以13×DE×S△ADF=13×d×S△AEF，
故13×1×1=13×d× 62，
即d= 63，
故点D到平面AEF的距离为 63．
(2)因为ED⊥平面ABCD，
所以EF与平面ABCD的夹角为∠DFE，
故sin∠DFE=DEEF= 33，
故直线EF与平面ABCD的所成角的正弦值 33．
(1)利用等体积法进行求解点D到平面AEF的距离；
(2)直接求解EF与平面ABCD的夹角为∠DFE，即可求出正弦值．
本题考查等体积法的应用，以及线面角的计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为 3(acsC+ccsA)=2bsinB，
由正弦定理边化角可得 3(sinAcsC+sinCcsA)=2sinBsinB，
所以 3sin(A+C)= 3sinB=2sinBsinB，又sinB≠0，
所以sinB= 32，又B为锐角，则B=π3；
(2)由正弦定理asinA=csinC=bsinB=2 3 32=4，
则a=4sinA，c=4sinC，
所以a2+c2=16sin2A+16sin2C=8(1−cs2A)+8(1−cs2C)，
=16−8cs2A−8cs2C=16−8cs2A−8cs2(π−A−π3)
=16−8cs2A−8(−12cs2A− 32sin2A)
=16+4 3sin2A−4cs2A
=16+8sin(2A−π6)，
因为在锐角△ABC中0