2024-2025学年上海市青浦高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市青浦高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设e1、e2是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是( )
A. e1和e1+2e2B. e1+2e2与3e1−e2
C. e1+2e2与−2e1−4e2D. 3e1−e2与4e2−e1
2.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n⋅1⋅3…(2n−1)，从k到k+1，左边需要增乘的代数式为( )
A. 2k+1B. 2(2k+1)C. 2k+1k+1D. 2k+3k+1
3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若2bcsin2A=b2+c2−a2，则A的大小不可能为( )
A. π6B. π3C. π2D. 5π6
4.已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为( )
①若DA+DB+DC=0，则D为△ABC内心
②若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，则△ABC为等腰三角形
③若DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA，则D为△ABC的外心
④若AD=λ(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)(λ∈R)，则点D的轨迹一定经过△ABC的重心
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,4}，则A−= ______．
6.不等式−2x2+3x+5>0的解集为______．
7.已知扇形的圆心角α=120°，半径为4，则该扇形的面积为______．
8.计算n=1+∞13n= ______．
9.已知角α的终边经过点P(−3,4)，则cs(π2+α)= ______．
10.在复数范围内，−4的所有平方根为______．
11.已知等差数列{an}满足a2+a4+a6=3，a3+a5+a7=9，则a1+a8= ______．
12.若α，β都是锐角，且csα= 55，sin(α−β)= 1010，则β=______．
13.已知Sn为数列{an}的前n项和，且lg2(Sn+1)=n+1，则数列{an}的通项公式为______．
14.已知向量b=(1,2)，向量a在b方向上的投影向量为−12b，则a⋅b= ______．
15.已知函数f(x)=sinπx3，数列{an}满足a1=1，且an+1=(1+1n)an+1n(n为正整数)，则f(a2025)= ______．
16.已知A1，A2，A3，A4，A5五个点，满足AnAn+1⋅An+1An+2=0，|AnAn+1|⋅|An+1An+2|=2n−1，其中n=1，2，3，则|A1A5|的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知i为虚数单位，m∈R，复数z=(m2−8m+15)+(m2−4m+3)i．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
18.(本小题14分)
已知O为坐标原点，OA=(2,3)，OB=(4,2)，OC=(x,4)．
(1)若A、B、C三点共线，求x的值；
(2)若AB与OC夹角为钝角，求x的取值范围．
19.(本小题14分)
已知复数z1=1−i，z2=1−2i，i是虚数单位．
(1)若z2是实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，求实数a和b的值；
(2)当α为何值时，关于x的二次方程x2−(tanα−z1+1)x−(z2+ 3+3i)=0有一个实根．
20.(本小题14分)
某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%．
(1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量；
(2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内(不含120升)？
参考公式：月产消毒剂中不合格的量=月产量×(1−月产品合格率)
参考数据：1.0510≈1.6，1.0511≈1.7，1.0512≈1.8，1.0513≈1.9
21.(本小题14分)
定义：若非零向量OM=(a,b)，函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcsx，则称f(x)为OM的“线性函数”，OM为f(x)的“线性向量”，
(1)若向量OM为函数f(x)=2sin(x+π6)+4sin(x−π2)的“线性向量”，求|OM|；
(2)若函数f(x)为向量OM=( 3,−1)的“线性函数”，在△ABC中，BC=2 3,f(A)=1，且csBcsC=−18，求AB+AC的值；
(3)若函数f(x)为向量OM=( 3,1)的“线性函数”，且当x∈[0,11π6]时，方程f2(x)+(2−a)f(x)+a−3=0存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：A，令e1=λ(e1+2e2)，∵e1、e2不共线，∴λ=1且λ=0，∴λ不存在，∴e1与e1+2e2不共线，∴能作为基底，
B，令e1+2e2=λ(3e1−e2)，∵e1、e2不共线，∴λ=13且λ=−2，∴λ不存在，∴e1+2e2与3e1−e2不共线，∴能作为基底，
C，∵−2e1−4e2=−2(e1+2e2)，∴e1+2e2与−2e1−4e2共线，不能作为基底，
D，令3e1−e2=λ(4e2−e1)，∵e1、e2不共线，∴λ=−3且λ=−14，∴λ不存在，∴3e1−e2与4e2−e1不共线，能作为基底．
故选：C．
利用向量共线定理求解即可．
本题考查向量共线的应用，平面向量基底的判断，属于中档题．
2.【答案】B
【解析】解：当n=k时，左端=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k)，
当n=k+1时，左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2)，
故选：B．
分别求出n=k时左端的表达式，和n=k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．
本题考查用数学归纳法证明等式，体现了换元的思想，分别求出n=k时左端的表达式和n=k+1时左端的表达式，是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由余弦定理得b2+c2−a2=2bccsA，
结合2bcsin2A=b2+c2−a2，可知csA=sin2A，
所以cs2A=sin22A，即1+cs2A2=1−cs22A，
整理得2cs22A+cs2A−1=0，解得cs2A=−1或12，
当cs2A=−1时，结合2A∈(0,2π)，可得2A=π，所以A=π2；
当cs2A=12时，结合2A∈(0,2π)，可得2A=π3或5π3，所以A=π6或5π6．
综上所述，A=π2或π6或5π6，对照各个选项，可知B项符合题意．
故选：B．
根据余弦定理化简题中等式，算出csA=sin2A，然后根据同角三角函数的关系与二倍角公式加以计算，求出角A的大小，即可得到本题的答案．
本题主要考查余弦定理、同角三角函数的关系与二倍角公式等知识，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：对于①：如图，在△ABC中，取AB中点E，连接CE，D为△ABC平面内一点，连接DA，DB．
因为E为AB的中点，由向量加法的平行四边形法则知DA+DB=2DE，
又因为DA+DB+DC=0，所以2DE+DC=0，
所以可知点D在线段CE上，且点D为线段CE的靠近点E的三等分点，即CDDE=21，
又因为E为AB的中点，所以点D为△ABC重心，故①错误；
对于②：由(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0得AB⋅BC|AB|+AC⋅BC|AC|=0，
即|BC|cs(π−B)+|BC|csC=0，
得cs(π−B)=−csC，根据诱导公式可知cs(π−B)=−csB，
又B，C∈(0,π)，所以可知B=C，所以△ABC为等腰三角形，故②正确；
对于③：由DA⋅DB=DB⋅DC得DB⋅(DA−DC)=DB⋅CA=0⇒DB⊥AC，
同理得DC⊥AB，DA⊥BC，
所以D为△ABC的垂心，故③错误；
对于④：取BC的中点为M，
所以AB+AC=2AM，由正弦定理得|AB|sinC=|AC|sinB，令|AB|sinB=|AC|sinC=ℎ，
则AB|AB|sinB+AC|AC|sinC=AB+ACℎ=2ℎAM，所以AD=2λℎAM，点D的轨迹经过△ABC的重心，故④正确．
故选：B．
利用重心向量公式判断①；
利用数量积运算律及定义求解判断②；
利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；
设BC的中点为M，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④．
此题考查平面向量数量积和三角形五心，属于中档题．
5.【答案】{1,3,5}
【解析】解：全集U={1,2,3,4,5}，集合A={2,4}，
则A−={1,3,5}．
故答案为：{1,3,5}．
结合补集的定义，即可求解．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
6.【答案】(−1,52)
【解析】解：不等式−2x2+3x+5>0等价于(2x−5)(x+1)0的解集为(−1,52)，
故答案为：(−1,52)．
利用一元二次不等式的解法即可求解．
本题主要考查不等式解集的求解，属于基础题．
7.【答案】163π
【解析】解：因为120°=2π3，所以扇形面积S=12×42×2π3=16π3．
故答案为：163π．
圆心角转换为弧度制，再根据扇形的面积公式进行计算即可．
本题考查的知识点：扇形的面积，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】12
【解析】解：由无穷等比数列的求和公式可得n=1+∞13n=n→+∞lim13(1−13n)1−13=12．
故答案为：12．
根据无穷等比数列的求和公式计算．
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
9.【答案】−45
【解析】解：角α的终边经过点P(−3,4)，由题意可得sinα=4 (−3)2+42=45，
故cs(π2+α)=−sinα=−45．
故答案为：−45．
根据三角函数的定义，结合诱导公式即可求解．
本题考查的知识点：三角函数的定义，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】±2i
【解析】解：−4=4i2，
则−4的所有平方根为±2i．
故答案为：±2i．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
11.【答案】4
【解析】解：等差数列{an}满足a2+a4+a6=3，a3+a5+a7=9，
∴由题意有a2+a6=2a4，a3+a7=2a5，
又a2+a4+a6=3a4=3，解得a4=1，
a3+a5+a7=3a5=9⇒，解得a5=3，
∴a1+a8=a4+a5=1+3=4．
故答案为：4．
根据等差数列的性质有a2+a6=2a4，a3+a7=2a5，即可求出a4，a5，又a1+a8=a4+a5，进而求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】π4
【解析】解：∵α，β都是锐角，且csα= 55，sin(α−β)= 1010，∴α−β还是锐角，
∴sinα= 1−cs2α=2 55，cs(α−β)= 1−sin2(α−β)=3 1010，
则csβ=cs[α−(α−β)]=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)= 55⋅3 1010+2 55⋅ 1010= 22，
∴β=π4，
故答案为：π4．
利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得csβ=cs[α−(α−β)]的值，可得β的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
13.【答案】an=3,n=12n,n≥2
【解析】解：由lg2(Sn+1)=n+1，得Sn+1=2n+1，当n=1时，a1=S1=3；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n，
所以数列{an}的通项公式为an=3,n=12n,n≥2．
故答案为：an=3,n=12n,n≥2．
由lg2(Sn+1)=n+1，得Sn+1=2n+1，当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn−Sn−1．
本题考查了对数运算性质、数列递推关系、数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】−52
【解析】解：因为向量a在b方向上的投影向量为−12b，
所以a⋅b|b|2=−12，
因为b=(1,2)，所以|b|= 5，
所以a⋅b=−12|b|2=−52．
故答案为：−52．
根据投影向量的定义得a⋅b|b|2=−12，进而得a⋅b=−12|b|2，代入|b|即可求解．
本题考查投影向量的定义，平面向量的数量积，属于基础题．
15.【答案】− 32
【解析】解：由an+1=(1+1n)an+1n，可得nan+1=(n+1)an+1，
有an+1n+1=ann+1n(n+1)=ann+1n−1n+1，
即有ann−an−1n−1=1n−1−1n(n≥2)，
可得ann=a1+(a22−a1)+(a33−a22)+...+(ann−an−1n−1)=1+1−12+12−13+...+1n−1−1n=2n−1n，
即有an=2n−1，对n=1也成立，
所以a2025=2×2025−1=4049，
所以f(a2025)=f(4049)=sin4049π3=sin(1349π+2π3)=sin(π+2π3)=sin(2π−π3)=−sinπ3=− 32．
故答案为：− 32．
由an+1=(1+1n)an+1n，先求an，进而得a2025，最后利用诱导公式即可求解．
本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式，以及三角函数的诱导公式和求值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】2 63
【解析】解：由题意，AnAn+1⋅An+1An+2=0，
|AnAn+1|⋅|An+1An+2|=2n−1，其中n=1，2，3，
故可设|A1A2|=x，则|A2A3|=1x，|A3A4|=3x，|A4A5|=53x，
设A1(0,0)，如图，
则A2(x,0)，A3(x,1x)，A4(−2x,1x)，A5(−2x,−23x)，
所以|A1A5|2=4x2+49x2≥83，
当且仅当4x2=49x2，即x=13时取等号，
所以|A1A5|的最小值为2 63．
故答案为：2 63．
根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出|A1A5|，再用基本不等式求解出最值即可．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
17.【答案】1或3；
5．
【解析】(1)若z是实数，则m2−4m+3=0，解得m=1或3；
(2)若z是纯虚数，则m2−8m+15=0m2−4m+3≠0，解得m=5．
(1)由z是实数，则m2−4m+3=0解出即可；
(2)由z是纯虚数，则m2−8m+15=0m2−4m+3≠0，解出即可．
本题考查复数的基本概念，是基础题．
18.【答案】0；
(−∞,−8)∪(−8,2)．
【解析】(1)因为OA=(2,3)，OB=(4,2)，OC=(x,4)，
所以AB=OB−OA=(2,−1),BC=OC−OB=(x−4,2)，
因为A、B、C三点共线，所以AB与BC共线，
所以2×2+(x−4)=0，解得x=0；
(2)由(1)知AB=(2,−1)，
因为AB与OC夹角为钝角，所以AB⋅OC=2x−4