2023-2024学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市青浦区高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“k=2”是“C7k=C72k−2”的( )条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
2.设矩形边长分别为a、b(a>b)，将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱(无底面)，其体积分别为Va和Vb，则Va与Vb的大小关系是( )
A. Va>VbB. Va=VbC. Va3.某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天.若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有( )
A. 42种B. 40种C. 36种D. 30种
二、多选题：本题共1小题，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
4.某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有( )
A. 在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离
B. 在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为ℎ，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C. 在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D. 在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β
三、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线 3x+y+3=0的倾斜角为______．
6.在(x+2y)5的展开式中，含x2y3项的系数为______．
7.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是______．
8.设n为正整数，计算t=1+∞(14)i= ______．
9.已知圆锥的底面直径为8，高是3，则该圆锥的侧面积为______．
10.如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是______．
11.在空间直角坐标系中，点A(2,−1,3)关于平面xOz的对称点为B，则OA⋅OB= ______．
12.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的平均数相同，则甲组数据的中位数为______．
13.已知△ABC中，AB=6，BC=7，AC=5，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为______．
14.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA1|+|PC|=2的点P的个数为______．
15.若函数y=asinx+csx在区间(−π3,π6)上是严格单调函数，则实数a的取值范围为______．
16.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1+1e2的最大值为______
四、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱.返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”.如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点F(0,−1)和短轴的两个顶点(2,0)与(−2,0)．
(1)写出图中“果圆”的方程；
(2)直线y=x交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度(精确到0.01)．
18.(本小题14分)
如图1，ABCP是水平放置的矩形，AC=2AB.将矩形ABCP沿对角线AC折起，使得平面PAC⊥平面ABC，如图2.设O是AC的中点，D是AP的中点．
(1)求直线BD与平面PAC所成角的大小；
(2)连接PB，设平面DBO与平面PBC的交线为直线l，求证：l//PC．
19.(本小题14分)
已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导数为f′(x)=2x+1，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n∈N∗)均在函数y=f(x)的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=3anan+1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn20.(本小题18分)
已知双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是C的左顶点，C的离心率为2.设过F2的直线l交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线AP、AQ分别交直线x=12于M、N两点，证明：MF2⋅NF2为定值；
(3)是否存在常数λ，使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．
21.(本小题18分)
已知m，b∈R，函数y=f(x)，其中f(x)=ex+m+mx+b．
(1)若m=−1，b=0，写出函数y=f(x)图像的一条水平切线的方程；
(2)若m>0，x1x1+x3；
(3)若存在b<−em，使得函数y=f(x)有唯一零点，求实数m的取值范围．
答案
1.A
2.C
3.B
4.BCD
5.2π3
6.80
7.2
8.13
9.20π
10.112
11.12
12.41
13.12
14.6
15.{a|a≥ 33或a≤− 3}
16.4 33
17.解：(1)在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点F(0,−1)和短轴的两个顶点(2,0)与(−2,0)．
可得椭圆的c=1，b=2，则a= 4+1=5，
所以椭圆方程为：y25+x24=1(y∈[0, 5])；
设圆的圆心坐标为(0,t)，可得 t2+4=|t+1|，可得t=32．
所以圆的半径为：52，所求圆的方程为：x2+(y−32)2=254(y∈[−1,0])．
(2)由y25+x24=1y=x，可得B(2 53,2 53)，
由y=xx2+(y−32)2=254，解得A(3− 414,3− 414).
所以|AB|= (2 53−3− 414)2+(2 53−3− 414)2≈3.31．
18.解：(1)过B作BH⊥AC于H，连接DH，
因为平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，BH⊥AC，
所以BH⊥平面PAC，
所以∠BDH为直线BD与平面PAC所成角，
因为AC=2AB，不妨设AB=a，AC=2a，
在△ABC中，ABsin30∘=ACsinB⇒B=90°，
在RT△BDH中，BH= 32a，DH=12a，
所以tan∠BDH=BHDH= 3，
所以直线BD与平面PAC所成角的大小为π3；
(2)证明：因为O是AC的中点，D是AP的中点，所以DO/​/PC，
又因为PC⊂平面PBC，DO⊄平面PBC，
所以DO/​/平面PBC，
又因为平面DBO∩平面PBC=1，
所以DO//l，
所以l//PC．
19.解：(1)由题意令二次函数为y=ax2+bx
则f′(x)=2ax+b，
又f′(x)=2x+1，
∴a=1，b=1，
∴f(x)=x2+x．
∵点(n,Sn)(n∈N∗)均在函数y=f(x)的图象上，
∴Sn=n2+n．
当n=1时，Sn=a1=2．
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n，
所以a1=2满足an=2n，
∴数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N∗)；
(2)由(1)得bn=3anan+1=32n⋅2(n+1)=34(1n−1n+1)，
故Tn=34[(1−12)+(12−13)+…+(1n−1n+1)]=34(1−1n+1)，
把代数式34(1−1n+1)看作n的函数φ(n)，
因此，使得φ(x)=34(1−1n+1)φ(x)max=[34(1−1n+1)]max<34，即34≤m16，即m≥12．
故：满足要求的最小整数m为12．
20.解：(1)由题可得a=1,ca=2，故可得c=2，则b2=c2−a2=4−1=3，
故C的标准方程为x2−y23=1．
(2)证明：由(1)中所求可得点A，F2的坐标分别为(−1,0)，(2,0)，
又双曲线渐近线为y=± 3x，显然直线PQ的斜率不为零，
故设其方程为x=my+2，(m≠± 33)，
联立双曲线方程x2−y23=1可得：(3m2−1)y2+12my+9=0，
设点P，Q的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
则y1+y2=−12m3m2−1,y1y2=93m2−1，
x1+x2=m(y1+y2)+4=−43m2−1，
x1x2=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=−3m2−43m2−1；
又直线AP方程为：y=y1x1+1(x+1)，令x=12，则y=32⋅y1x1+1，
故点M的坐标为(12,32⋅y1x1+1)；
直线AQ方程为：y=y2x2+1(x+1)，令x=12，则y=32⋅y2x2+1，
故点N的坐标为(12,32⋅y2x2+1)；
则MF2⋅NF2=(32,−32⋅y1x1+1)⋅(32,−32⋅y2x2+1)
=94+94⋅y1y2x1x2+x1+x2+1=94+94⋅93m2−1−3m2−43m2−1−43m2−1+1
=94+94⋅9−9=0，
故MF2⋅NF2为定值0．
(3)当直线PQ斜率不存在时，
对曲线C：x2−y23=1，令x=2，解得y=±3，
故点P的坐标为(2,3)，此时∠PF2A=90°，
在三角形PF2A中，|AF2|=3，|PF2|=3，故可得∠PAF2=45°，
则存在常数λ=2，使得∠PF2A=2∠PAF2成立；
当直线PQ斜率存在时，
不妨设点P的坐标为(x,y)，x≠2，直线PF2的倾斜角为α，直线PA的倾斜角为β，
则∠PF2A=π−α，∠PAF2=β，
假设存在常数λ=2，使得∠PF2A=2∠PAF2成立，即π−α=2β，
则一定有：tan(π−α)=−tanα=tan2β=2tanβ1−tan2β，也即−kPF2=2kPA1−kPA2；
又−kPF2=−yx−2；2kPA1−kPA2=2yx+11−y2(x+1)2=2y(x+1)(x+1)2−y2；
又点P的坐标满足x2−y23=1，则y2=3x2−3，
故2kPA1−kPA2=2y(x+1)(x+1)2−y2=2y(x+1)(x+1)2−3x2+3
=2y(x+1)−2x2+2x+4=2y(x+1)−2(x−2)(x+1)=−yx−2
=−kPF2；
故假设成立，存在实数常数λ=2，使得∠PF2A=2∠PAF2成立；
综上所述，存在常数λ=2，使得∠PF2A=2∠PAF2恒成立．
21.解：(1)当m=−1，b=0时，f(x)=ex−1−x，故f′(x)=ex−1−1，
令f′(x)=0，即ex−1=1，解得x=1，此时f(1)=0，
所以所求水平切线的方程为y=0；
(2)证明：由题意可得，2f(x2)=f(x1)+f(x3)，即m(2x2−x1−x3)=em(ex1+ex3−2ex2)①，
此时若x2−x1≤x3−x2，则2x2−x1−x3≤0，从而由①得ex1+ex3−2ex2≤0，
由基本不等式得ex1+ex3≥2 ex1ex3≥2ex2，且由x1故x2−x1>x3−x2，得证；
(3)由题意，f′(x)=ex+m+m，
故当m≥0时，f′(x)>0，函数y=f(x)在R上严格增，
从而，当b=−m−em+1<−em时，y=f(x)有唯一零点x=1；
当m<0时，f′(x0)=0，其中x0=ln(−m)−m，
因为xx0时f′(x)>f′(x0)=0，
所以函数y=f(x)在区间(−∞,x0)上严格减，在区间(x0,+∞)上严格增，
当x2ex2+m−b+b>0，有单调性知f(x0)≤f(0)=em+b<0，
又函数y=f(x)=ex+m+mx+b在x趋于无穷大时值趋于无穷大，故可以取到x1>x0使得f(x1)>0，
故由零点存在定理，连续函数y=f(x)在区间(x2,x0)和(x0,x1)上各有一个零点，从而不可能有唯一零点，
综上，m∈[0,+∞)所求．