2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高一下学期期末检测考试数学试卷A（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高一下学期期末检测考试数学试卷A（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z2−i=i5，则z=( )
A. −1−2i5B. −1+2i5C. −1−2i3D. −1+2i3
2.已知向量a和b的夹角为60°，a=3，b=4，则2a−b⋅a等于( )
A. 15B. 12C. 6D. 3
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)=f(1−x)，且f(−1)=1，则f(2025)=( )
A. 1B. 0C. −2025D. −1
4.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，且该圆锥的母线是底面半径的 2倍，若▵SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为( )
A. 40πB. 40+40 2πC. 40 2πD. 40+80 2π
5.已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数x的取值范围是( )
A. [50,+∞)B. (50,+∞)C. (50,55)D. [50,55]
6.已知甲船位于灯塔A的北偏东70∘方向，且与A相距3海里，乙船位于灯塔A的北偏西50∘方向，若两船相距 19海里，则乙船与灯塔A之间的距离为( )
A. 2 3B. 2C. 3D. 5
7.如图，在▵ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则cs〈PM,PN〉=( )
A. 4 9191B. 36C. 714D. 33
8.在▵ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若AC边上的高为13b，则(a+c)2ac的最大值为( )
A. 2+ 13B. 17C. 4D. 3 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z1,z2为复数，下列命题为真命题的是( )
A. 若z12∈R，则z1∈RB. 若z1∈R，则z1∈R
C. 若z1=z2，则z1z2∈RD. 若z12+z22=0，则z1=z2=0
10.伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M=“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N=“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是( )．
A. 若n=2，则M与N不互斥B. 若n=2，则M与N相互独立
C. 若n=3，则M与N互斥D. 若n=3，则M与N相互独立
11.如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且BC=2AB=2，现将▵ABE沿AE间上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( )
A. 存在点P，使得PE/\!/CF
B. 存在点P，使得PE⊥ED
C. 当平面PAE⊥平面AED时，二面角P−EC−A大小的正切值为 2
D. 当平面PAE⊥平面AED时，三棱锥P−AED外接球表面积为4π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,−3)，b=(3,λ)，若a//b，则λ等于 ．
13.管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有 条鱼．
14.已知▵ABC中，AB=4，AC=2，λAB⃗+(2−2λ)AC⃗λ∈R的最小值为2 3，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则NM⋅CM的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，且acs(C−A)=bcsC+ccsB，A+B=2C
(1)求A的值；
(2)若点D在AC上，BD= 213且cs∠BDC=− 714，求▵BCD的面积．
16.(本小题15分)
在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘,A1A=A1B=A1C，且D为BC的中点，D1为B1C1的中点．
(1)若AB=AC，求证：A1D1⊥平面A1BC；
(2)若AB=AC=2,A1A=4，求直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值；
(3)若BC=2 2,A1A=4，求二面角A1−BC−C1的正弦值的最大值．
17.(本小题15分)
2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲(年龄36)，乙(年龄42)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
18.(本小题17分)
已知在△ABC中，A，B是两定点，C=π6，△ABC面积不超过 2AC.当AC=4 3时，BC=4．
(1)求角A的取值范围；
(2)对任意t∈(0,1]，关于x的不等式csAx−cs2A−16x−7 3≥lnt在0≤x≤7 36时恒成立，求函数f(A)=cs2A+43sinA−1的值域．
19.(本小题17分)
已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60°,△PDB是等边三角形．
(1)求证：AC⊥PD；
(2)求二面角P−BC−A；
(3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角，并说明点E此时所在的位置．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.C
5.A
6.B
7.C
8.A
9.BC
10.AD
11.BCD
12.−92
13.1500
14.1516
15.解：(1)由三角形内角和定理可知：A+B=π−C=2C⇒C=π3，
再由acs(C−A)=bcsC+ccsB，利用正弦定理边化角得：
sinAcs(C−A)=sinBcsC+sinCcsB=sin(B+C)=sinA，
因为sinA>0，所以有cs(C−A)=1，则C−A=0⇒A=C=π3；
(2)
由cs∠BDC=− 714，在▵BDC中，可得sin∠BDC= 18914=3 2114，
再由正弦定理得：BCsin∠BDC=BDsinC⇒BC3 2114= 213 32⇒BC= 3，
sin∠CBD=sin(C+∠BDC)=sinCcs∠BDC+csCsin∠BDC= 32×− 714+12×3 2114= 2114，
所以▵BCD的面积S=12BD⋅BCsin∠CBD=12× 213× 3× 2114= 34．

16.解：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，连接DD1，由D,D1分别为BC,B1C1中点，
得DD1//BB1//AA1,DD1=BB1=AA1，则四边形ADD1A1为平行四边形，A1D1//AD，
由∠BAC=90∘，得AD=BD，由A1B=A1C，得A1D⊥BC，
则AA12=A1B2=A1D2+BD2=A1D2+AD2，于是AD⊥A1D，由AB=AC，
得AD⊥BC，而A1D∩BC=D，A1D,BC⊂平面A1BC，则AD⊥平面A1BC，
所以A1D1⊥平面A1BC．
(2)由(1)知，BC⊥AD,BC⊥A1D,A1D,AD⊂平面ADD1A1，所以BC⊥平面ADD1A1，
而BC⊂平面BCC1B1，则平面BCC1B1⊥平面ADD1A1，
在平面ADD1A1内过A1作A1O⊥DD1于点O，平面BCC1B1∩平面ADD1A1=DD1，
因此A1O⊥平面BCC1B1，连接BO，∠A1BO是直线A1B与平面BCC1B1所成角，
由AB=AC=2,A1A=4，得A1D1=AD= 2,A1D= AA12−AD2= 14,DD1=AA1=4，
在Rt▵A1DD1中，A1O=A1D⋅A1D1DD1= 72，在Rt▵A1OB中，sin∠A1BO=A1OA1B= 78，
所以直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值为 78．
(3)由(1)得A1D1⊥A1D，又BC=2 2,A1A=4，
则A1D1=AD= 2,A1D= 14,DD1=AA1=4，由(2)得A1O= 72，
过A1作A1E⊥平面BCC1B1于E，连接DE，由BC⊂平面BCC1B1，得A1E⊥BC，
而A1D⊥BC,A1D∩A1E=A1,A1D,A1E⊂平面A1DE，则BC⊥平面A1DE，
又DE⊂平面A1DE，则DE⊥BC，∠A1DE是二面角A1−BC−C1的平面角，
显然A1E≤A1O，当且仅当E,O重合时取等号，sin∠A1DE=A1EA1D≤A1OA1D= 72 14= 24，
所以二面角A1−BC−C1的正弦值的最大值为 24．

17.解：(1)设第80百分位数为a，前三组频率之和为0.05+0.35+0.3=0.7，
前四组频率之和为0.05+0.35+0.3+0.2=0.9，
故0.05+0.35+0.3+(a−35)×0.04=0.8，
解得：a=37.5
(2)由样本频率估计总体频率，在[35,40)和[40,45)两区间内频率分别为0.2，0.1，
[35,40)区间应抽取20×0.2=4(人)，设为A，B，C，甲，
[40,45)区间应抽取20×0.1=2(人)，设为Y，乙，
则从6人中随机抽取2人的样本空间为：
Ω={AB,AC,A甲，A乙，AY，BC，B甲，B乙，BY，C甲，C乙，CY，甲乙，甲Y，乙Y}，共15个基本事件，
记A=“甲、乙两人至少有一人被选上”，
则A={A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲乙，甲Y，乙Y}，共9个基本事件，
所以P(A)=n(A)n(Ω)=915=35，
故甲、乙两人至少有一人被选上的概率为35．

18.解：(1)∵AC=4 3时，BC=4，C=π6，
∴在△ABC中由余弦定理得AB2=4 32+42−2×4 3×4× 32=16，即AB=4．
∴S▵ABC=12×4⋅AC⋅sinA≤ 2AC，∴sinA≤ 22．
∵0