2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高一下学期期末检测考试数学试卷A（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高一下学期期末检测考试数学试卷A（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z2−i=i5，则z=( )
A. −1−2i5B. −1+2i5C. −1−2i3D. −1+2i3
2.已知向量a和b的夹角为60°，a=3，b=4，则2a−b⋅a等于( )
A. 15B. 12C. 6D. 3
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)=f(1−x)，且f(−1)=1，则f(2025)=( )
A. 1B. 0C. −2025D. −1
4.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，且该圆锥的母线是底面半径的 2倍，若▵SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为( )
A. 40πB. 40+40 2πC. 40 2πD. 40+80 2π
5.已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数x的取值范围是( )
A. [50,+∞)B. (50,+∞)C. (50,55)D. [50,55]
6.已知甲船位于灯塔A的北偏东70∘方向，且与A相距3海里，乙船位于灯塔A的北偏西50∘方向，若两船相距 19海里，则乙船与灯塔A之间的距离为( )
A. 2 3B. 2C. 3D. 5
7.如图，在▵ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则cs〈PM,PN〉=( )
A. 4 9191B. 36C. 714D. 33
8.在▵ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若AC边上的高为13b，则(a+c)2ac的最大值为( )
A. 2+ 13B. 17C. 4D. 3 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z1,z2为复数，下列命题为真命题的是( )
A. 若z12∈R，则z1∈RB. 若z1∈R，则z1∈R
C. 若z1=z2，则z1z2∈RD. 若z12+z22=0，则z1=z2=0
10.伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M=“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N=“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是( )．
A. 若n=2，则M与N不互斥B. 若n=2，则M与N相互独立
C. 若n=3，则M与N互斥D. 若n=3，则M与N相互独立
11.如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且BC=2AB=2，现将▵ABE沿AE间上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( )
A. 存在点P，使得PE/\!/CF
B. 存在点P，使得PE⊥ED
C. 当平面PAE⊥平面AED时，二面角P−EC−A大小的正切值为 2
D. 当平面PAE⊥平面AED时，三棱锥P−AED外接球表面积为4π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,−3)，b=(3,λ)，若a//b，则λ等于 ．
13.管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有 条鱼．
14.已知▵ABC中，AB=4，AC=2，λAB⃗+(2−2λ)AC⃗λ∈R的最小值为2 3，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则NM⋅CM的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，且acs(C−A)=bcsC+ccsB，A+B=2C
(1)求A的值；
(2)若点D在AC上，BD= 213且cs∠BDC=− 714，求▵BCD的面积．
16.(本小题15分)
在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘,A1A=A1B=A1C，且D为BC的中点，D1为B1C1的中点．
(1)若AB=AC，求证：A1D1⊥平面A1BC；
(2)若AB=AC=2,A1A=4，求直线A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值；
(3)若BC=2 2,A1A=4，求二面角A1−BC−C1的正弦值的最大值．
17.(本小题15分)
2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲(年龄36)，乙(年龄42)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
18.(本小题17分)
已知在△ABC中，A，B是两定点，C=π6，△ABC面积不超过 2AC.当AC=4 3时，BC=4．
(1)求角A的取值范围；
(2)对任意t∈(0,1]，关于x的不等式csAx−cs2A−16x−7 3≥lnt在0≤x≤7 36时恒成立，求函数f(A)=cs2A+43sinA−1的值域．
19.(本小题17分)
已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60°,△PDB是等边三角形．
(1)求证：AC⊥PD；
(2)求二面角P−BC−A；
(3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角，并说明点E此时所在的位置．
答案解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解．
【详解】由复数z2−i=i5，可得z=i52−i=i2−i=i⋅2+i2−i2+i=−1−2i5．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据向量数量积运算求解即可．
【详解】∵向量a和b的夹角为60°，a=3，b=4，
∴2a−b⋅a=2a2−a⋅b=2×32−3×4×cs60°=18−3×4×12=12．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据奇函数的概念和性质可得f(x)是周期为4的函数，将f(2025)化为f(1)即可求解．
【详解】因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
又f(x+1)=f(1−x)，所以f(x+2)=f(−x)，
所以f(x+2)=−f(x)，即f(x+4)=f(x)，
所以f(x)是周期为4的函数，故f(2025)=f(1)=−f(−1)=−1．
故选：D
4.【答案】C
【解析】【分析】先计算出母线SA，SB所成角的正弦值，利用三角形面积公式得到方程，求出母线长，从而得到底面半径，利用圆锥侧面积公式得到答案．
【详解】母线SA，SB所成角的正弦值为 1−782= 158，
设圆锥的母线长为l，则12l2⋅ 158=5 15，解得l=4 5，
故底面半径为r=4 5 2=2 10，
故该圆锥的侧面积为πrl=2 10×4 5π=40 2π．
故选：C
5.【答案】A
【解析】【分析】根据百分位数定义列不等式求解．
【详解】∵8×65％=5.2，∴这组数据按从小到大顺序排列后，第65百分位数是第6个数，因此x不小于50，即x∈[50,+∞),
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】由图结合余弦定理可得答案．
【详解】设甲船位于点B处，乙船位于点C处，
则由题意可得，AB=3，BC= 19，∠CAB=50°+70°=120°，
则由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcs∠CAB
即19=AC2+9+3AC，即(AC+5)(AC−2)=0，得AC=2，
故乙船与灯塔A之间的距离为2海里．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求得〈PM,PN〉的余弦值．
【详解】在▵ABC中，AB=2,AC=4,∠BAC=60°，由余弦定理得BC= 4+16−2×2×4×cs60°=2 3，
则AB2+BC2=AC2，▵ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，
以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：
则A(0,2),C(2 3,0),M( 3,0),N( 3,1)，AM=( 3,−2),BN=( 3,1)，
所以cs〈PM,PN〉=cs〈AM,BN〉=AM⋅BN|AM||BN|=1 7⋅2= 714．
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】由三角形的面积公式可得出b2=3acsinB，再结合余弦定理可得出b2=a2+c2−2accsB，变形得出(a+c)2ac=3sinB+2csB+2，利用辅助角公式以及正弦型函数的有界性可求得(a+c)2ac的最大值．
【详解】由三角形面积公式得S▵ABC=12acsinB=12×13b2，即b2=3acsinB．
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，所以3acsinB=(a+c)2−2ac1+csB，
整理可得(a+c)2ac=3sinB+2csB+2= 13sin(B+φ)+2≤ 13+2．
其中φ为锐角，且tanφ=23，
因为0