2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高二（下）期末数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高二（下）期末数学试卷（A卷）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={−1,0,2}，B={x|x(x−1)=0}，则A∩B=( )
A. {0}B. {−1}C. {−1,0}D. {−1,0,2}
2.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4=4a3−4a2，则S4a1+a2=( )
A. 5B. 9C. −9D. −5
3.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，其准线与双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点M、N，若△MNF为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为( )
A. 5B. 2C. 3D. 2
4.设(1−mx)5=a0+a1x+⋯+a5x5，若a0+a1+a2+a3+a4+a5=32，则m=( )
A. 1B. −3C. 3D. −1
5.已知角α∈R，则“α为第二象限角”是“csαℎ(x)
D. 若方程f(x)+(g(x))2=0无解，则a的取值范围是(−∞,1+ln22]
11.已知过原点O的直线l交圆C：(x−a)2+(y−2)2=4于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A. 若直线l的方程为y=2x，且|AB|=4，则a=1
B. 若M，N为圆C上的任意两点，当a=2 3时，∠MON的最大值为90°
C. 若原点O在圆C外，则|OA||OB|=a2
D. 当a=2时，AB中点的轨迹长度为 2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量X服从两点分布，若P(X=1)−P(X=0)=0.2，则P(X=1)=______，E(X)=______．
13.在△ABC中，AC=3,∠BAC=π3,AC⋅BC=3，则|AB|= ______；若BD=AC，点E在线段BD上，则AE⋅EC的最大值为______．
14.已知函数f(x)=ex+sinx，f′(x)为f(x)的导函数，给出下列三个结论：
①f(x)在区间(0,+∞)上单调递增；
②f(x)在区间(−π,0)上有极小值；
③f′(x)在区间(−π,+∞)上有两个零点．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)满足2f(x)−f(−x)=x2−6x+1，函数g(x)=f(x)x．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若存在x∈[2,8]，使得不等式g(lg2x)−klg2x≥0成立，求实数k的取值范围．
16.(本小题15分)
近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量(单位：辆)进行调查.统计结果如下：
(Ⅰ)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率；
(Ⅱ)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为X，求X的分布列和数学期望；
(Ⅲ)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为S12和S22.试比较S12和S22的大小.(结论不要求证明)
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且侧面PAD⊥底面ABCD，AD=4，E为侧棱PD的中点．
(1)求证：PB//平面EAC；
(2)求三棱锥A−PDC的体积．
18.(本小题17分)
已知在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，a2=b2≠1，等差数列{an}的前n项和为Sn，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使满足条件的数列{an}和{bn}存在，并解答下列问题．
条件①：S7=7b3；
条件②：a2，a3，b3成等差数列；
条件③：a1，b2，a2成等比数列．
(Ⅰ)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{cn}的通项公式为cn=2an−17，求数列{cn}的前n项和的最小值，以及此时数列{bn}的前n项和的值．
19.(本小题17分)
已知直线l：y=kx+b与圆O：x2+y2=1相切．
(1)求k2−b2的值；
(2)已知椭圆E：x24+y23=1在点P(x0,y0)处的切线方程为x0x4+y0y3=1，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程；
(3)是否存在这样的二次曲线F：λx2+μy2=1，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有OM⊥ON？若存在，求出λ+μ的值；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：集合B={x|x(x−1)=0}={0,1}，
所以A∩B={0}．
故选：A．
求出集合B，即可得出A∩B．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
由a4=4a3−4a2，可得a2q2=4a2q−4a2，
因为a2≠0，所以(q−2)2=0，所以q=2，
所以S4a1+a2=a1+2a1+4a1+8a1a1+2a1=15a13a1=5．
故选A．
3.【答案】A
【解析】解：抛物线C：y2=4x焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1，
双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±bax，
不妨取M(−1,−ba)、N(−1,ba)，△MNF为等腰直角三角形，如图：
由对称性可知，直线MF的倾斜角为45°，则kMF=ba2=1，解得ba=2，
∴双曲线E的离心率e=ca= 1+b2a2= 5．
故选：A．
取M(−1,−ba)、N(−1,ba)，分析可知直线MF的倾斜角为45°，结合斜率公式可求出ba的值，再利用双曲线的离心率公式可求出该双曲线的离心率的值．
本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是中档题．
4.【答案】D
【解析】解：设(1−mx)5=a0+a1x+⋯+a5x5，
令x=1，则可得(1−m)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5．
又a0+a1+a2+a3+a4+a5=32，则m=−1．
故选：D．
令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1−m)5，解出m的值即可即．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：①若α是第二象限角，则csα