数学八年级上册因式分解巩固练习

这是一份数学八年级上册因式分解巩固练习，共14页。试卷主要包含了判断是否是因式分解，已知因式分解的结果求参数，利用提公因式法因式分解，因式分解的应用，配方法的应用等内容，欢迎下载使用。

题型一、判断是否是因式分解
1．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二、已知因式分解的结果求参数
5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25八年级下·广东茂名·期中）若和是的因式，则为（ ）
A．B．C．7D．3
7．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
8．（24-25七年级下·浙江·期中）若，则k的值是（ ）
A．10B．C．D．14
9．（24-25八年级下·四川成都·期中）多项式的一个因式为，则m的值为 ．
题型三、利用提公因式法因式分解
10．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： ．
11．（2018·上海青浦·二模）因式分解： ．
12．（24-25九年级下·吉林·期中）分解因式： ．
13．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知，，则 ．
14．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）分解因式：．
题型四、综合利用提公因式和公式法分解因式
15．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式：
16．（2017·江苏无锡·二模）因式分解： ．
17．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： ．
18．（24-25八年级下·广东·期中）因式分解：
(1)；
(2)．
19．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）分解因式：
(1)；
(2)．
20．（24-25八年级上·江西宜春·期中）把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
21．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）因式分解
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
题型五、因式分解的应用
22．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）对于算式，下列说法错误的是( )
A．能被2022整除B．能被2023整除
C．能被2024整除D．能被2025整除
23．（24-25八年级下·福建莆田·期中）已知、、为的三边，
(1)若，判断的形状；
(2)若，计算的值．
24．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成16块，其中有三块是边长都为的大正方形，三块是边长都为的小正方形，十块是长为，宽为的全等小矩形，且．（以上长度单位：）
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________；
(2)若每块小矩形的面积为，六个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．
25．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图2的长方形．
（1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a、b表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（2）已知，求的值；
（3）计算的值．
26．（24-25七年级下·山东济南·期中）实践教学：
某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于两个建筑的占地面积(图中阴影)展开了讨论．
数据采集：
两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示．
数据应用：
(1)请分别计算这两个建筑物的占地面积；
(2)其中，求这两个建筑物的占地面积的差是多少？
27．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）观察下列分解因式的过程：．
解：原式
像这种通过增减项把多项式转化成适当的完全平方式的方法，在代数计算与推理中往往能起到巧妙解题的效果．
(1)请你运用上述方法分解因式：；
(2)若，求证：的值为非负数．
28．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ．
（2）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，则符合条件的值为 ．
29．（24-25七年级下·四川成都·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；②第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；③第一、二次降价百分率为．(其中，，)若产品原价记为单位1，设降价后方案①的产品价格为A，方案②的产品价格为B，方案③的产品价格为C．
(1)用含，代数式表示，，；
(2)在三个方案降价后的产品价格A，B，C中，最高价与最低价之间的价差是多少？(用含a，b代数式表示)
30．（24-25七年级下·河南郑州·期末）完成如下项目式学习表：
31．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”.例如，因为，所以就是一个智慧数，而和则是的智慧分解.那么究竟哪些数为智慧数?第个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数?
为此，小明和小颖展开了如下探究：
小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，
小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为，，其中，且为整数.则.
(1)根据上述探究，可以得出：除外所有______都是智慧数，并请直接写出的智慧分解；
(2)继续探究，他们发现，，所以和均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数，请证明他们的猜想；
(3)根据以上所有探究，请直接写出第个智慧数，以及它的智慧分解.
32．（24-25七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______；
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
33．（24-25八年级下·山东济南·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”．
(1)36_________“智慧数”（填“是”或“不是”）．
(2)设两个连续偶数是和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？请解释说明．
(3)在数学学习中，数形结合思想是常用的数学思想．如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……按此规律拼叠到正方形，其边长为20，请结合（2）中的结论，求阴影部分的面积．
34．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法．在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．八（1）班的几名同学在对多项式进行因式分解，用“换元法”进行解题时发现了几种方法：
【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路．
解：令，得：，
即原式
【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路
解：令，得：，
即原式
【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换．相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元．
解：，∴令，
得：，即原式
请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题：
(1)从三种解法中任选一种进行因式分解：
(2)小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解．
解：原式
请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整．
(3)请直接写出最终结果．
①因式分解：_______
②因式分解：_______．
题型六、配方法的应用
35．（24-25七年级下·四川成都·期中）若多项式，则P的最小值是 ．
36．（24-25八年级上·广东江门·期中）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
，
∴当时，，有最小值0
∴当时，，有最小值．
所以最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
(1)多项式有最_______（填“大”或“小”）值，该值为_______．
(2)已知，求的最值．
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．
37．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项4，使它与的和成为一个完全平方式，再减去4，式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：．
(2)同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论取何值，，所以当时，多项式有最小值为．试确定：多项式是否存在最大值或最小值？如果有，请求出最大值或最小值；如果不存在，请说明理由．
(3)已知是实数，试比较与的大小，说明理由．
38．（21-22八年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】把整式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________；
(2)利用上述方法进行因式分解：；
(3)求的最小值．
39．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例：因式分解：．
解：原式
(1)解决问题：运用配方法将多项式进行因式分解．
(2)拓展运用：已知，，是的三边长．且满足，请判断三角形的形状，并说明理由．
40．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子：
①，∵，∴，∴代数式有最小值；
②，∵，∴，∴代数式有最大值4．
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ；
(2)求代数式的最小值；
(3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值．
41．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（为常数）写成（为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】：
（1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______；
（2）配方：______﹔
【知识运用】：
（3）求多项式的最小值．
42．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”，如：．因此，，都是“友好数”．
(1)和这两个数是友好数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为和，（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的友好数是的倍数吗？为什么？
43．（24-25八年级下·山东济南·期末）阅读以下材料．
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“A”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：__________；
(2)因式分解：．
44．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读以下材料：
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式，原式．
【材料2】因式分解：．
解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：；
(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：．
45．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码．
(1)对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码．
(2)对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由．
46．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一，例如，求的最小值：
解：原式
，
当时，取得最小值是1，
请你仿照以上方法求出的最小值；
（2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0．
请根据非负算式的性质解答下题：
已知的三边满足，求的周长．
47．（24-25八年级下·福建漳州·期末）阅读与思考
根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题．
(1)分解因式：______．
(2)若多项式的最小值为1，求出k的值．
(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状．
48．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究．
(1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
①写出第5个等式： ；
②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明；
(2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明．
49．（24-25七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考
下面是“智慧小组”研究性学习报告的部分内容，请仔细阅读，并完成相应任务．
任务：
(1)请你按“智慧小组”的思路完成以上结论的验证；
(2)进一步探究：两连续奇数和与这两数差的平方差是否一定能被一个非1的正整数整除？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由．
课题任务
代数推理
人员／日期
七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航2025年6月3日
观察
；．
猜想
比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除．
求索
（1）______；
论证
（2）设奇数为（为整数），试说明比大7的数与的平方差能被7整除；
延伸
（3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由．
①用配方法因式分解：
解：
②求的最小值．
解：
即的最小值为．
阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题．
例如：分解因式．
．
又例如：求代数式的最小值．
∵．
又∵，
∴当时，有最小值，最小值是．
两连续偶数和与这两数差的平方差
学习了第一章《整式的乘除》后，我们“智慧小组”开展了以下探究活动．
问题：
两连续偶数和与这两数差的平方差是否一定能被16整除？
初步探究：
进行特例探究，选择两个具体的偶数进行验证．如选4和6，为表达方便，设它们的和为，它们的差为．则，，发现，96能够被16整除．
继续取几组连续偶数进行验证，发现的值都能被16整除．
深入探究：
探究结论的一般性．设两连续偶数分别为和，进行如下验证：
，