初中数学鲁教版 (五四制)八年级上册1 因式分解教学设计及反思

1.1  因式分解

●教学目标

（一）教学知识点

使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.

（二）能力训练要求

通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.

（三）情感与价值观要求

通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.

●教学重点

1.理解因式分解的意义.

2.识别分解因式与整式乘法的关系.

●教学难点

通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.

●教学方法

观察讨论法

●教具准备

投影片一张

记作（§1.1 A）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？

［生］会.（a+b）（a－b）=a2－b2.

［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？

［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.

［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.

Ⅱ.讲授新课

1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.

［生］993－99能被100整除.

因为993－99

=99×992－99

=99×（992－1）

=99×9800

=99×98×100

其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.

［师］993－99还能被哪些正整数整除？

［生］还能被99，98,980,990,9702等整除.

［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.

2.议一议

你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.

［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式.

［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）

3.做一做

（1）计算下列各式：

①（m+4）（m－4）=__________;

②（y－3）2=__________;

③3x（x－1）=__________;

④m（a+b+c）=__________;

⑤a（a+1）（a－1）=__________.

［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16;

②（y－3）2=y2－6y+9;

③3x（x－1）=3x2－3x;

④m（a+b+c）=ma+mb+mc;

⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a.

（2）根据上面的算式填空：

①3x2－3x=（    ）（    ）;

②m2－16=（    ）（    ）;

③ma+mb+mc=（    ）（    ）;

④y2－6y+9=（    ）2.

⑤a3－a=（    ）（    ）.

［生］把等号左右两边的式子调换一下即可.即：

①3x2－3x=3x（x－1）;

②m2－16=（m+4）（m－4）;

③ma+mb+mc=m（a+b+c）;

④y2－6y+9=（y－3）2;

⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）.

［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？

［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.

［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.

4.想一想

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？

［生］由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.

［生］由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.

［师］非常棒.下面我们一起来总结一下.

如：m（a+b+c）=ma+mb+mc     （1）

ma+mb+mc=m（a+b+c）     （2）

联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.

区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.

等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.

即ma+mb+mc m（a+b+c）.

所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

5.例题

投影片（§1.1 A）

［生］（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；

（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；

（3）和（2）相同，是因式分解；

（4）是因式分解.

［师］大家认可吗？

［生］第（4）题不对，因为虽然x2－3x=x（x－3），但是等号右边x（x－3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解.

Ⅲ.课堂练习

连一连

解：

Ⅳ.课时小结

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.

Ⅴ.课后作业

习题1.1

1.连一连

解：

2.解：（2）、（3）是分解因式.

3.解：当R1=16.2,R2=32.4,R3=35.4,I=2.5时，

IR1+IR2+IR3

=I（R1+R2+R3）

=2.5×（16.2+32.4+35.4）

=2.5×84=210

4.答案略

5.（1）因19992+1999=1999（1999+1）=1999×2000，

所以19992+1999能被1999整除，也能被2000整除.

（2）因为16.9×+15.1×

=×（16.9+15.1）

=×32=4

所以16.9× +15.1×能被4整除.

Ⅵ.活动与探究

已知a=2,b=3,c=5.

求代数式a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）的值.

解：当a=2,b=3,c=5时， 

a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）

=a（a+b－c）+b（a+b－c）－c（a+b－c）

=（a+b－c）（a+b－c）

=（2+3－5）2=0

●板书设计