初中数学整式课时训练

这是一份初中数学整式课时训练，共17页。试卷主要包含了单项式的定义，单项式的系数，单项式的次数等内容，欢迎下载使用。
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：11大核心考点精准练+4大拓展训练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：单项式
1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
（1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算；
（2）分母中含有字母的的式子不是单项式.
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0.
【即时训练】
1．下列代数式，，，，中，单项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
知识点2：多项式
1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；
2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；
（1）多项式的每一项包括它前面的符号；
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式.
3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出；
（3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式.
【即时训练】
3． 的系数是 ，次数是 ．
4．在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（ ）
A．2，5B．3，4C．4，3D．5，2
知识点3：整式
整式：单项式与多项式统称为整式.
单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立.
分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.
【即时训练】
5．在式子，，，，中，整式有 个．
6．已知代数式：①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦．其中：
(1)属于单项式的有 ；（填序号）
(2)属于多项式的有 ；（填序号）
(3)属于整式的有 ．（填序号）

【题型1 单项式的判断】
1．下列各式不是单项式的是（ ）
A．B．aC．D．
2．给出下列式子：0，，，，1，，，，其中单项式的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
3．下列代数式，，，，，中，单项式的个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
4．在①，②，③，④，⑤，⑥中，属于单项式的有 ．
5．下列代数式：①，②m，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，单项式共有 个．
【题型2 单项式的系数次数】
6．单项式的次数为（ ）
A．4B．5C．6D．
7．单项式的系数和次数分别是（ ）
A．和2B．2和2C．和3D．2和3
8．若单项式的系数是m，次数是n，则 ．
9．写出一个只含有字母、，并同时满足以下两个条件的单项式：
①系数是负数；②次数是．这个单项式可以是： ．
10．指出下列各单项式的系数和次数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型3 写出满足某些特征的单项式】
11．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．B．C．D．
12．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．B．C．D．
13．请写出一个只含有、两个字母，系数是，次数是5的单项式 ．
14．一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式： ．
15．请写出一个单项式，使它满足系数为负数，次数为4，且含有字母，，这个单项式可以为 ．
【题型4 单项式规律题】
16．观察下列关于的单项式：，，，，，，…，按照上述规律，第2024个单项式是（ ）
A．B．C．D．
17．按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
18．探索规律∶观察以下单项式∶，，，…第个单项式为 （用含n的式子表示）．
19．观察下面一列式子，按规律在横线上填写适当的式子，则第n个式子为 ．
20．观察下列单项式：0，…按此规律，则第n个单项式为 ．
【题型5 多项式的判断】
21．下列属于多项式的是（ ）
A．B．C．5D．
22．代数式中，多项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
23．整式，，，，，中，多项式的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
24．下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：，，，，，0．单项式： ；多项式： ．
25．对于式子：，其中有 个多项式．
【题型6 多项式的项、项数或次数】
26．多项式的次数是（ ）
A．5B．3C．2D．1
27．下列说法错误的是（ ）
A．的次数是3B．2是单项式
C．是二次二项式D．多项式的常数项为
28．多项式的次数是 ．
29．是几次几项式 ．
30．对于多项式．
(1)若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值；
(2)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值．
【题型7 多项式系数、指数中字母求值】
31．已知多项式是关于x的二次三项式，则k的值为（ ）
A．2B． C． D．无法确定
32．多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．B．C．D．或
33．如果是关于的一次式，那么 ．
34．关于、的多项式是四次二项式，则 ．
35．已知多项式是八次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值．
【题型8 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】
36．多项式按的降幂排列的是（ ）
A．B．
C．D．
37．多项式是按（ ）
A．的降幂排列B．的升幂排列C．的降幂排列D．的升幂排列
38．将多项式按的升幂排列的结果为 ．
39．把多项式按要求重新排列：
(1)把这个多项式按的降幂重新排列；
(2)把这个多项式按的升幂重新排列．
40．将多项式先按x的降幂排列，再按y的升幂排列，并指出它是几次几项式，常数项和最高次项系数各是多少．
【题型9 整式的判断】
41．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
42．下列说法中，正确的是（ ）
A．是单项式B．多项式的常数项是
C．0不是整式D．单项式的系数是，次数是2
43．下列各式，，，，中，整式有 个．
44．有下列式子：；；；；；．其中属于单项式的有 ，属于多项式的有 ，属于整式的有 ．（填序号）
45．在式子，，，，，中，整式的个数是 个．
【题型10 数字类规律探索】
46．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第n个代数式是（ ）
A．B．
C．D．
47．是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”．例如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，，以此类推，则（ ）
A．3B．C．D．
48．【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从到，箭头的方向应该是（ ）
A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓
49．观察如图所示的数表（横为行，竖为列），按数表中的规律，若在第a行，第b列，则的值为 ．
50．下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答．
(1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第8行共有______个数，第n行共有______个数；
(2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是______，最后一个数是______．
【题型11 图形类规律探索】
51．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ）
A．85B．81C．73D．71
52．如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，第个图案由个小正方形组成……依此规律，第个图案由个小正方形组成，则的值为（ ）
A．B．C．D．
53．数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ．
54．小明通过画直线分割正方形，在正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②），最多可以分成4个区域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④）
小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画a条直线，将正方形分成b个区域且a条直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a，b，c之间的数量关系为 ．
55．下列各图形中的“  ”的个数和“ ”的个数是按照一定规律摆放的：
(1)观察图形，填写下表：
(2)当 n=_____时，“ ”的个数是“  ”的个数的 2 倍
【拓展训练一 单项式综合】
56．在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？”
(1)首先杨老师给出如下四个引导问题：
同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究：
⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数）
⑥第2023个单项式是__________．
(2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移．
按一定规律排列的等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，
第四个等式：，
…，
第n个等式是：__________（n是正整数）；
(3)请你利用以上结论计算的值．
57．观察下列一串单项式的特点： ， ， ， ， ，…
（1）写出第10个和第2020个单项式．
（2）写出第n个单项式．
58．观察下列单项式：，，，，…，，，…写出第个单项式．为解决这个问题，特提供下面的解题思路：通过观察单项式的结构特征，分三步确定：先确定符号，再确定系数的绝对值，最后确定次数．
（1）这组单项式系数的符号规律是________系数的绝对值规律是________；
（2）这组单项式的次数的规律是________；第六个单项式是________；
（3）根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是________；
（4）请你根据猜想，写出第2019个单项式．
【拓展训练二 多项式综合】
59．已知多项式7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为-7，求m+n-k的值．
60．当x＝1，y＝﹣1时，关于x、y的二次三项式值为0，那么当x＝﹣，y＝时，式子amx+2mby+的值为 ．
61．已知（x+1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a2+a4+…+a2018+a2020＝ ．
【拓展训练三 数字类规律探索综合】
62．将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．

63．将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为 ，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为 ，判断2024所在的位置是第 行，第 列．
64．【阅读中思考】
设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差，
如：的倒数差是的倒数差是．
【探索中理解】
若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推．
（1）先写出计算的算式，再求出它们的值．
（2）求的值．
【应用拓展】
设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组．
（3）若数组确定为．
第一次变换后得到的数组为_______；
的值为_______．（直接写出答案）
【拓展训练四 图形类规律探索综合】
65．如图，甲、乙两动点分别同时从正方形的顶点沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第次相遇在哪条边上?（ ）
A．B．C．D．
66．“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示：
断开前：
断开后：
如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第 号和第 号环．
67．综合探究
斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关．
(1)初步探究
斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）．
(2)深入探究
现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，．
（ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表．
（ⅱ）根据上述表格，发现：
；
；
；
请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明．
规律：______（用、表示，其中为正整数）
1．下列说法正确的是（ ）
A．的系数是B．的系数是1
C．的次数是6次D．是二次三项式
2．在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．“”是益智拼图中的一块，以“”为基本图形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“”，第②个图案中有9个“”，第③个图案中有12个“”，第④个图案中有15个“”，…，按此规律，则第⑧个图案中“”的个数是（ ）
A．27B．30C．33D．36
4．用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个五角星，第②个图案中有6个五角星，第③个图案中有8个五角星，第④个图案中有10个五角星，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中的五角星个数为（ ）
A．14B．16C．18D．20
5．按一定规律排列的单项式：，，，，……，则第7个单项式是（ ）
A．B．C．D．
6．从到连续自然数的平方和的个位数是（ ）
A．0B．3C．4D．9
7．等差数列：2、5、8、11、……，其中92是这个数串中的第 个数．
8．多项式是 次 项式．
9．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
10．1−9这九个数字的乘方所得的结果，其个位数是有规律的，试求的个位数字是 ．
11．如图，将正整数按以下规律排列：
表中数1在第一行第一列，与有序数对对应，2在第二行第一列，与有序数对对应，数9与对应，数10与对应，…，根据这一规律，数对应的有序数对为 ．
12．据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为 块．
13．已知；若、b均为整数)，则 ．
14．有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第25次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ．
15．观察下列式子，它们都有哪些共同点？
16．已知是关于的一次式，求的值．
17．已知是多项式的次数，和分别是单项式的系数和次数，是数轴上到原点距离为1的数，求的值．
18．已知多项式是关于、的五次四项式．
(1)求的值；
(2)把这个多项式按的降幂重新排列．
19．如图，图1中小黑点的个数记为，图2中小黑点的个数记为，图3中小黑点的个数记为，…
根据以上图中的规律完成下列问题：
(1)图5中小黑点的个数记为，则__________；
(2)图中小黑点的个数记为，则___________（用含的式子表示）；
(3)若第个图形中小黑点的个数比它前一个图形中小黑点的个数多2023，则的值是多少？
20．观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ．
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明．
第n个图形
1
2
3
4
5
…
n
的个数
3
6
9
______
______
…
______
的个数
1
3
6
______
______
…
______
①这组单项式中不变的是什么？直接写下来．
②这组单项式中系数的符号规律是什么？
③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？
④这组单项式的次数规律是什么？
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
…
第1行
1
4
5
16
17
…
第2行
2
3
6
15
18
第3行
9
8
7
14
19
第4行
10
11
12
13
20
第5行
25
24
23
22
21
第6行
26
…
序号
①
②
③
④
⑤
……
面积
2
6
15
……
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
…
第一行
1
4
5
16
17
…
第二行
2
3
6
15
…
…
第三行
9
8
7
14
…
…
第四行
10
11
12
13
…
…
第五行
…