2022-2023学年北京市延庆区高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市延庆区高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合，，再由子集的概念可判断A；由集合的运算判断BCD

【详解】因为，或，

所以不是的子集，故A错误；

，故B错误；

或，故C错误；

，故D正确；

故选：D

2．若复数z满足，则z的虚部为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简方程求出复数的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部.

【详解】因为，

所以，

所以复数的虚部为，

故选：C.

3．已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据焦点坐标，确定开口方向和，即可求抛物线方程.

【详解】因为抛物线的焦点是，所以开口向左，设抛物线方程为，又，则，所以抛物线方程为.

故选：D

4．已知，，动点P满足，则动点P的轨迹方程为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义，分析可得的轨迹是以、为焦点的双曲线，结合题意可得，，计算出的值，将其代入双曲线的方程即可得答案．

【详解】根据题意，，，则，

动点满足，其中，

则的轨迹是以、为焦点的双曲线的上半支，

其中，，即，则，

所以双曲线的方程为：，

故选：D．

5．与圆和都外切的圆的圆心在（    ）．

A．一个椭圆上 B．一条双曲线上

C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上

【答案】D

【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案.

【详解】由圆可知，圆心，半径，

圆化为标准方程，圆心，半径

因此圆心距，所以两圆相离；

设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为

则满足，所以，

即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离，

根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支，

即圆心在双曲线的一支上.

故选：D.

6．“直线和曲线只有一个交点”是“与相切”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】可以通过举例说明充分性与必要性是否成立.

【详解】解：若直线与曲线只有一个交点，直线与曲线不一定相切，

比如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与该双曲线只有一个交点，但不是相切；

反之，若直线与曲线相切，直线与曲线也不一定只有一个交点．

故“直线l与曲线C只有一个交点”是“直线l与曲线C相切”的既不充分也不必要条件．

故选：D ．

7．若双曲线的方程为，则它的离心率与渐近线方程分别为（    ）．

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据双曲线方程得到，，，然后求离心率和渐近线方程即可.

【详解】根据双曲线方程可得，，，所以离心率，渐近线方程为.

故选：C.

8．已知抛物线和点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则的最小值是（    ）．

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义得到，将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短得到当，，三点共线时最小，最后求最小值即可.

【详解】

如图，为点在准线上的投影，

根据抛物线的定义可得，所以的最小值即的最小值，根据两点之间线段最短可得，当，，三点共线时最小，所以最小值为.

故选：B.

9．过抛物线的焦点F的一条直线与此抛物线相交于A，B两点，已知，则线段的中点到抛物线准线的距离是（    ）．

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】求得所在直线的方程并与抛物线联立，利用根与系数的关系求得线段的中点的横坐标，即可求解

【详解】由题意得，抛物线的焦点为，

则，

所以直线的方程为，即，

所以所在直线的方程为，

由得，

由根与系数的关系可知，

所以线段的中点的横坐标为，

所以线段的中点到抛物线准线的距离是，

故选：A

10．已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ）．

A．2 B． C．3 D．4

【答案】A

【分析】设，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质求解即可

【详解】设，则有，又，

所以

因为，

所以，

所以，当且仅当时取等，

所以的最小值为2，

故选：A

二、填空题

11．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】根据对数函数的真数大于0，得出不等式，解得可得出函数的定义域，注意函数的定义域需用集合或区间表示.

【详解】要使对数函数有意义，则需真数大于0，即需使，

解得或，

所以函数定义域为，

故答案为：.

12．函数的值域为__________．

【答案】##

【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可

【详解】当时，在上单调递减，

所以；

当时，在上单调递减，

所以；

所以函数的值域为，

故答案为：

13．已知双曲线的左右焦点分别为，，P是双曲线上的一点，给出下列四个结论：

①的最小值为；

②若直线l的斜率与双曲线的渐进线的斜率相等，则直线l与双曲线只有一个公共点；

③点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为；

④若过的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，如果，那么．

其中，所有正确结论的序号为__________．

【答案】①③

【分析】由双曲线的定义图象以及性质逐一分析即可求解

【详解】对于①：因为，P是双曲线上的一点，

要想最小，则P必在双曲线的左支上且为作顶点时最小，

所以的最小值为，故①正确；

对于②：当直线l为双曲线的渐近线时，直线l与双曲线没有公共点；

当直线l为双曲线的渐近线平行时，直线l与双曲线有一个公共点；

综上可知：直线l的斜率与双曲线的渐进线的斜率相等，

则直线l与双曲线最多有一个公共点；故②错误；

对于③：设，双曲线的两条渐近线为，

可得P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为

，故③正确；

对于④：由双曲线的定义可知：，

两式相加得，

即，

又，

所以，即，故④错误；

故答案为：①③

三、双空题

14．双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为__________，标准方程为__________．

【答案】         

【分析】设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入，再根据即可求解.

【详解】因为双曲线的一个焦点坐标是，

所以设双曲线的标准方程为，

又因为双曲线经过点，则有，又因为，

所以或，因为，所以，

双曲线方程为，

所以双曲线的实轴长为；标准方程为，

故答案为：；.

15．已知中，，，，则__________，__________．

【答案】         

【分析】分别利用正弦定理和余弦定理列方程，解方程即可.

【详解】根据正弦定理得，解得，

根据余弦定理得，代入可得，解得或（舍去）.

故答案为：①；②.

四、解答题

16．根据下列条件，求圆的标准方程：

(1)圆心在点，且过点；

(2)过点和点，半径为2；

(3)，为直径的两个端点；

(4)圆心在直线上，且过点和点．

【答案】(1)

(2)或；

(3)

(4)

【分析】（1），利用两点间额距离公式即可求解；

（2）设圆的标准方程为，利用待定系数法求解即可；

（3）的中点坐标为，即圆心为，由此再求半径即可求解；

（4）设圆的标准方程为，利用待定系数法求解即可；

【详解】（1）由题意可得，

所以圆的标准方程为；

（2）设圆的标准方程为，

因为圆过点和点，

所以，解得或，

所以圆的标准方程为或；

（3）因为的中点坐标为，即圆心为，

半径，

所以圆的标准方程为；

（4）设圆的标准方程为，

由题意可得，解得，

所以圆的标准方程为

17．如图，已知点，，圆．

(1)求过点A的圆的切线方程；

(2)设过点A，B的直线交圆C于D，E两点，求线段的长；

(3)求经过圆C内一点B且被圆截得弦长最短的直线的方程．

【答案】(1)或；

(2)；

(3).

【分析】（1）考虑斜率存在与不存在求解，利用求解即可；

（2）由点到直线的距离结合勾股定理求解即可；

（3）利用垂直与点斜式求解即可

【详解】（1）当斜率不存在时，过点的直线为，

此时与圆相切，符合题意；

当斜率存在时，可设过点的切线方程为，

即，

由，解得，

此时切线方程为，即；

综上可知：过点A的圆的切线方程为或；

（2）因为，

所以直线的方程为即，

又圆心到直线的距离为，

所以；

（3）圆C内一点B且被圆截得弦长最短的直线必与垂直，

因为，

所以圆C内一点B且被圆截得弦长最短的直线的方，

即.

18．如图，在棱长为4的正方体中，点M是的中点．

(1)求征：平面；

(2)求证：；

(3)求二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用面面平行证明线面平行，即转化为证明平面平面；

（2）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即先证明平面，即可证明线线垂直；

（3）首先建立空间直角坐标系，再求两个平面和的法向量，转化成法向量的余弦值求二面角.

【详解】（1）因为，平面，平面，

所以平面，同理平面，且,

平面

所以平面平面，平面,

所以平面；

（2）因为，，且，平面,

所以平面,平面，所以，

又因为，,平面，

所以平面，平面，

所以

（3）如图，以点为原点，以向量为轴的方向，建立空间直角坐标系，

，，，，，

，,

设平面的法向量为，

，令，则，

所以平面的法向量为，

由（2）可知，平面，所以平面的法向量为,

设二面角的大小为，为钝角，

则，

所以，即二面角的大小为

19．已知椭圆C的两个焦点分别是，，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于，O为坐标原点，直线与椭圆C相交于A，B（不重合）两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求m的取值范围；

(3)求的最大值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由题意建立的关系，求解即可；

（2）将直线与椭圆联立，利用判别式求解即可；

（3）结合（2）利用弦长公式与二次函数的性质求解即可

【详解】（1）由题意可知，

所以，

又，

所以椭圆C的标准方程为；

（2）由得，

设，

由题意可知：，

解得，

所以m的取值范围是；

（3）由（2）可知：，

，

由（2）可知，

所以，

所以，当且仅当时取等，

所以的最大值；

20．已知椭圆C的焦点在x轴上，焦距为，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于A，B（不重合）两点，坐标原点为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若线段的中点的横坐标为1，求直线l的方程；

(3)若点O在以线段为直径的圆上，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或；

(3)或；

【分析】（1）由题意建立的关系，求解即可；

（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆，利用根与系数的关系结合已知求解即可；

（3）由已知有，结合（2）即可求解

【详解】（1）由题意可得：

，

解得，

所以椭圆C的标准方程；

（2）设直线的方程为，，

由得，

则，即，

，

又线段的中点的横坐标为1，

所以，

又，

所以，即，

解得，

所以直线l的方程为或，

即或；

（3）因为点O在以线段为直径的圆上，

所以，

由（2）可知：，

所以，即，

也即，解得，

所以直线l的方程为或；

21．对非空数集定义与的和集．对任意有限集A，记为集合A中元素的个数．

(1)若集合，，写出集合与；

(2)若集合满足，且，求．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用定义求解即可；

（2）由题意先说明，再结合，即可求解

【详解】（1）因为，，

所以，

；

（2）因为，

所以，

所以集合中至少包含个元素，

所以，

又由题意，

所以，

又为整数，

所以；

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.