河北省张家口市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省张家口市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的.
1. 三点，，在同一条直线上，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】显然，则，即，解得.
故选：D.
2. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意有，即，
解之得.故选：C.
3. 如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，
直线的倾斜角为锐角，斜率为正，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，
所以．故选：D.
4. 已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设动圆圆心为，半径为
因为圆的圆心为，半径为，
由题有，又动圆过点，得，
即，则到两定点的距离之和为，由椭圆的定义可知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上，因为，得到，所以动圆圆心的轨迹方程为，
故选：C.
5. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ）
A. 2B. －2C. 1D. －1
【答案】B
【解析】由与两式作差，可得两圆的相交弦所在的直线为，
又圆的标准方程为，记圆心为；
因为圆平分圆的圆周，所以公共弦所在直线过点，
因此，所以.故选：.
6. 如图，四棱锥的底面为矩形，且，平面，且为的中点，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知点为中点，
则，
因为平面，平面，所以，又四边形为矩形，所以；
因此
.
故选：D.
7. 已知点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. D.
【答案】C
【解析】表示点到点和点的距离之和，
令点关于直线的对称点为，则，
解得，即，
因此，
当且仅当点为线段与直线的交点时取等号，所以的最小值为.
故选：C.

8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点与两定点的距离之比为时，则直线被动点所形成的轨迹截得的弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，，则，
整理得，
与直线联立得，所以所求弦长.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若两个不同平面，的法向量分别是，且，，则
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
【答案】ACD
【解析】对于A，，所以，则，A正确；
对于B， ，所以，则直线或者，B错误;
对于C，对空间中任意一点O，有，
即，则
满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确；
对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确.
故选：ACD.
10. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】当直线在两坐标轴上截距均为时，直线方程为，即，
当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为，
由题有或，
由，得到，此时直线方程为，即，
由，得到，此时直线方程为，即，
故选：ACD.
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知，为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
B. 直线与圆恒相交
C. 若直线平分圆的周长，则
D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对于A，由点在圆外，得，
圆心到直线m的距离，m与圆相交，A正确；
对于B，直线恒过定点，而，
即点在圆内，因此直线与圆恒相交，B正确；
对于C，圆的圆心为，依题意，点在直线上，
则，解得，C正确；
对于D，依题意，以为圆心，1为半径的圆与圆相交，而圆的圆心为，半径为，
则，又，，
解得，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】设动点的坐标为，又，，
所以的斜率，的斜率，
由题意可得，
化简，得点的轨迹方程为.
13. 已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为_______.
【答案】；；（三个任意一个都算正确）
【解析】由题可知：,
所以,
两个圆的半径和为,
所以两个圆外切，所以有三条公切线,设公切线为,
由圆心到切线的距离等于半径得,
解得 或或,
所以切线方程为，或,
故答案为：；；.
14. 在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当________时，．
【答案】1
【解析】，
又，所以点P在射线上；
，
又，所以点Q在射线上；

因为当变化时，平面，故只需考虑过且与平面垂直的线，
因正方体有平面，而平面，所以
又，平面，
所以平面，平面，所以，
所以当点Q在上时，即时，
故答案为：1.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知顶点，若边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程．
解：（1）设，则，
由已知可得，解得，
所以点的坐标为.
（2）由已知可设直线的方程为，
又点A在直线上，所以有，解得，
所以，直线的方程为.
联立直线与的方程可得，点坐标为2,3.
将坐标代入两点式方程有，
整理可得，.
16. 已知，，在圆上．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线，且与圆交于点、，为坐标原点，，求直线的方程．
解：（1）设圆的标准方程为，
因为，，在圆上，
所以①，②，③，
由①②③解得，
所以圆的标准方程.
（2）因为，又直线，不妨设为，
由，消得，
则，即，
设，则，
所以，
又，则，又，所以，
得到，即，
解得或（均满足），
所以直线的方程为或.
17. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆上一点．
（1）当为椭圆的上顶点时，求的大小；
（2）直线与椭圆交于，，若，求的值．
解：（1）因为椭圆方程为，则，，
所以，
又，
则，所以.
（2）设，
由，消得，
则，
由韦达定理知，
由求根公式可得，
则，
化简得到，解得.
18. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，.
（1）在上找一点，使得平面；
（2）在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）当为的三等分点，且时，平面，理由如下，
在上取点，使，连接，
因为，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为，即，所以，又平面，平面，所以平面，
又面，所以面面，
又面，所以平面.
（2）因为底面，底面是矩形，建立如图所示的空间直角坐标系，
又，则，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上．
解：（1）设椭圆的标准方程为，由短轴长为，得，
由离心率为，得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为：，，而，
由消去得：，
，
则，，
又直线的方程为：，即，
又直线的方程为：，即，
由，
得，
所以当点运动时，点恒在定直线上.