湘教版七年级数学上册 4.3 角（第四章 图形的认识 学习、上课课件）

这是一份湘教版七年级数学上册 4.3 角（第四章 图形的认识 学习、上课课件），共44页。PPT课件主要包含了逐点导讲练，课堂小结，作业提升，学习目标，课时讲解，课时流程，感悟新知，知识点，角的定义，答案A等内容，欢迎下载使用。
角的定义角的表示方法角的大小比较角的和、差角的平分线
特别解读1. 构成角的要素是顶点、两条边，且两条边都是射线 .2.角的大小与所画角的边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关.3. 角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边时旋转量的大小决定.4. 平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直线；周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是射线.
2. 平角与周角：当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的图形叫作平角，如图 4.3-1；当 射线 绕着端点旋转一周，又重新回到原来位置时，所成的图形叫作周角，如图 4.3-2.
下列说法：①两条射线组成的图形是角；②角的大小与所画边的长短有关；③角的两边可以画得一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边成一条直线，所以一条直线可以看成一个平角；⑥周角是一条射线. 其中正确的有( )A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
解：①是错误的，因为若两条射线无公共端点，则构成的图形不是角；②是错误的，因为角的大小与所画边的长短无关；③④是正确的；⑤ 是错误的，因为直线和平角是两个不同的概念，平角有顶点和两边，它与直线不同；⑥ 是错误的，因为周角是由顶点和两条边构成的，不 是一条射线 . 故有 2 个说法正确 .
解题秘方：紧扣定义中的关键词进行辨析 .
1-1.下列说法：①平角就是射线；②从同一点引出的两条射线所组成的图形叫作角；③角的大小与角张开的大小有关；④角的两边是两条线段. 其中正确的有(     )A． 0 个 B． 1 个C． 2 个 D． 3 个
1-2.将一个 20° 的角放在 10 倍的放大镜下看，其度数是(     )A. 20° B. 2°C. 200° D. 无法判断
角的几何符号为“ ∠ ”，角的表示方法有以下几种：
注意： 角的符号应书写标准，“ ∠ ”不可与“ ＜ ”混淆 .
特别提醒1. 用数字或希腊字母表示角时，要在角的内部，靠近角的顶点处加上弧线表示角的范围，即从哪边到哪边 .2. 如无特殊说明，在初中阶段所说的角一般都是在0° ~180°之间.
[母题 教材P162练习T1 ]如图 4.3-3：(1)以点 B 为顶点的角有几个？分别表示出来 .(2)请分别指出以射线 BA 为边的角 .(3)以 D 为顶点，且小于平角的角有几个？分别写出来．
解题秘方：先 要 明 确 角 的 表 示 方 法 的“适 用 范 围”，再 根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来 .
解：以点 B 为顶点的角有 3 个，分别是 ∠ ABC，∠ ABD， ∠ DBC.
(1)以点 B 为顶点的角有几个？分别表示出来 .
解：以射线 BA 为边的角有∠ ABE， ∠ ABC.
以 D 为顶点，且小于平角的角有 4 个，分别是∠ ADB，∠ ADE， ∠ BDC， ∠ EDC．
(2)请分别指出以射线 BA 为边的角 .(3)以 D 为顶点，且小于平角的角有几个？分别写出来．
2-1.下列四个图中，能用∠ 1， ∠ AOB， ∠ O三种方法表示同一个角的是(     )
1. 度量法：用量角器量出每个角的度数，再比较两者的大小.
2. 叠合法：把要比较的两个角的顶点重合， 把它们的一条边重合在一起，再通过另一条边的位置来比较两个角的大小，如图 4.3-4.
特别提醒： 使用叠合法比较角的大小时要注意两点：(1)重合，即顶点重合，一条边重合；(2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧 .
3. 尺规法 :如图 4.3-5，设画出的两角分别为∠ABC， ∠ DEF． 分别以两角的顶点 B， E 为 圆 心，以 相 同 长 度 的 半 径 画一段 圆弧，与∠ ABC， ∠ DEF 的两边分别相交于点 M， N 及点 P，Q. 再将圆规尖移至点 M 处，使另一脚落在点 N 处．在不改变圆规张角的条件下，将圆规尖移至点 P 处 .
如图 4.3-5 ①，若另一脚可与点 Q 重合，则 ∠ ABC=∠ DEF；如图 4.3-5 ②，若另一脚落在 ∠ DEF 内部，则∠ ABC< ∠ DEF；如图 4.3-5 ③，若另一脚落在∠ DEF 外部，则∠ ABC> ∠ DEF.
特别解读角的大小比较可以从数、形两个角度进行比较：1. “数”的角度：角的大小和角的度数大小一致，比较其度数大小可得角的大小.2. “形”的角度：角的开口越大角越大，可以通过直接观察比较角的大小，但不够精准，一般利用叠合法操作.
[母题 教材 P167 习题 T3 ]根据图 4.3-6，回答下列问题：(1)比较∠ FOD 与∠ BOD 的大小；(2) 借助量角器比较∠ AOE与∠ DOF的大小.
解：∠ FOD 与∠ BOD 有重合边和重合顶点，且射线OF 在∠ BOD 的内部，根据叠合法可知∠ FOD< ∠ BOD.
解题秘方：利用角的两种比较大小的方法比较角的大小 .
(1)比较∠ FOD 与∠ BOD 的大小
解：用量角器测量得∠ AOE=30° ， ∠ DOF=30° ，所以∠ AOE= ∠ DOF.
(2) 借助量角器比较∠ AOE与∠ DOF的大小.
3-1.如图，若∠ CAE＞∠ BAD，下列说法中一定正确的是(     )A． ∠ BAC ＞∠ CADB． ∠ DAE ＞∠ CADC． ∠ CAE ＜∠ BAC+∠ DAED． ∠ BAC ＜∠ DAE
设有两个角∠ 1 和∠ 2( ∠ 1> ∠ 2)，如图 4.3-7 ① .把∠ 2 移到∠ 1 上，使它们的顶点重合，一条边重合 .(1) 两角的和： 当∠ 2 在∠ 1 的外部时，它们的另两边(非重合的边)所成的角就是它们的和，记作∠ BAC= ∠ 1+ ∠ 2，如图 4.3-7 ② .
(2)两角的差： 当 ∠ 2 在 ∠ 1 的 内 部 时，它 们 的 另 两 边(非重合的边)所成的角就是它们的差，记作： ∠ GEH= ∠ 1－∠ 2，如图 4.3-7 ③ .
特别提醒两个角的和差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差.
如图 4.3-8，回答下列问题：(1) ∠ AOC 是哪两个角的和？(2) ∠ AOB 是哪两个角的差？(3)如果∠ AOB= ∠ COD，那么∠ AOC 与∠ DOB 相等吗？请说明理由 .
解题秘方：根据图中角的位置关系得到角的和差关系 .
(1) ∠ AOC 是哪两个角的和？(2) ∠ AOB 是哪两个角的差？(3)如果∠ AOB= ∠ COD，那么∠ AOC 与∠ DOB 相等吗？请说明理由 .
解：∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC.
∠ AOB= ∠ AOD－∠ BOD= ∠ AOC－∠ BOC.
相等 . 理由：因为∠ AOB= ∠ COD，所以∠ AOB+ ∠ BOC= ∠ COD+ ∠ BOC，即∠ AOC= ∠ DOB.
方法点拨：1. 在图形中角与角之间的位置关系直接反映了它们的数量关系 .2. 表示角的和差关系时可以用等式的基本性质，即相等的角同时加(或减)同一个角，所得的和(或差)仍然相等 .
4-1. [期末·深圳龙港区]如图，将一个三角尺 60° 角的顶点与另一个三角尺的直角顶点重合 . ∠ 1 ＝ 28 ° ，那么 ∠ 2 的大小是(     ) A． 27° B． 57°C． 58° D． 60°
1. 定义：以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的平分线 .
特别解读1.角的平分线的“三要素”：(1)是从角的顶点引出的射线；(2)在角的内部；(3)将已知角平分.2.角的平分线只有一条，而角的 n等分线有 (n－1)条.
2. 角的 n 等分线：类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的 n个角，叫作角的 n 等分线，例如角的三等分线、四等分线等 .
如图 4.3-10， OB 是∠ AOC 的平分线， OD 是∠ COE的平分线．(1)若∠ AOB ＝ 30° ，∠ DOE ＝ 20° ，那么∠ BOD 是多少度？(2)若∠ AOE＝ 150° ，∠ AOB＝ 40° ，那么∠ COD是多少度？
解题秘方：利用角平分线的定义及角的和差关系，将要求的角向已知的角进行转化，找出它们之间的数量关系进行解答 .
解：因为 OB 是∠ AOC 的平分线，所以∠ BOC ＝∠ AOB ＝ 30° .因为 OD 是∠ COE 的平分线，所以∠ COD ＝∠ DOE ＝ 20° .所以∠ BOD ＝∠ BOC+ ∠ COD ＝ 30° +20°＝ 50° .
(1)若∠ AOB ＝ 30° ，∠ DOE ＝ 20° ，那么∠ BOD 是多少度？
(2)若∠ AOE＝ 150° ，∠ AOB＝ 40° ，那么∠ COD是多少度？
5-1.如图， ∠ BOD=118° ， ∠ COD=90° ，OC 平 分 ∠ AOB，则∠ AOB的度数为 __________．
5-2.如图，已知 OB 是∠ AOC 的平分线， OD是 ∠ COE 的平分线，如果 ∠ AOE=140 ° ，∠ BOC 比 ∠ COD 的2 倍还多 10 ° ，那么∠ AOB 是多少度？
解：设∠COD的度数为x，因为OD是∠COE的平分线，所以∠EOC＝2∠COD＝2x.因为∠BOC比∠COD的2倍还多10°，所以∠BOC＝2x＋10°.因为OB是∠AOC的平分线，所以∠AOB＝∠BOC，∠AOC＝2∠BOC＝4x＋20°.因为∠AOE＝140°，所以2x＋4x＋20°＝140°，解得x＝20°.所以∠BOC＝2x＋10°＝50°. 所以∠AOB＝∠BOC＝50°.
[母题 教材P167习题T8 ]如图 4.3-11， O 为直线 AB 上 一点，∠ AOC=50° ， OD 平分∠ AOC，∠ EOD=90° .(1)求∠ BOD 的度数；(2)小明发现 OE 平分∠ BOC，请你通过计算说明理由 .
解题秘方：利用 ∠ BOD= ∠ BOC+ ∠ DOC 求解 即可；
(1)求∠ BOD 的度数；
解：因为∠ DOE=90° ， ∠ DOC=25° ，所以∠ COE = ∠ DOE－∠ DOC=90° － 25° = 65° .又因为∠ BOE = ∠ BOD－∠ DOE=155° － 90° = 65° ，所以∠ COE = ∠ BOE，即 OE 平分∠ BOC.
解题秘方：分别求出∠ COE 和∠ BOE 的度数即可 .
(2)小明发现 OE 平分∠ BOC，请你通过计算说明理由 .
6-1.如图， ∠ 1 ＝∠ 2， ∠ 3 ＝ ∠ 4，则下列结论正确的有(     )① AD 平分∠ BAE；② AF 平分∠ EAC；③ AE 平分∠ DAF；④ AF 平分 ∠ BAC；⑤ AE 平分∠ BAC．A． 4 个 B． 3 个C． 2 个 D． 1 个
第2课时 角的度量与计算
角的度量及换算余角和补角余角、补角的性质
1. 角的度量单位：   度、分、秒是常用的角的度量单位 .把一个周角分为 360 等份，每一等份叫作 1 度，记作 1° ；把 1° 的角分成 60 等份，每一等份叫作 1 分，记作 1′；把 1′的角分成 60 等份，每一等份叫作 1 秒，记作 1″ .
4. 平角的一半(即 90° 的 角)叫作直角，小于直角(即小于90° )的角叫作锐角，大于直角但小于平角(即大于 90° 但小于 180° )的角叫作钝角 .
要点归纳1. 角的度、分、秒是六十进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的.2. 把高级单位转化为低级单位要乘进率；把低级单位转化为高级单位要除以进率.3. 使用三角尺可以画出30°、 45°、 60°、 90°等特殊角，使用量角器可以画出任意给定度数的角.
计算：(1) 将 57.32°用度、分、秒表示；(2) 将 10° 6′ 36″用度表示 .
解题秘方：利用高级单位和低级单位之间相互转化的方法进行计算 .
解：57.32 °=57 °+0.32 °=57 °+0.32× 60 ′ =57 °+19.2 ′ =57°+19′+0.2× 60″ =57°+19′+12″ =57° 19′ 12″ .
(1) 将 57.32°用度、分、秒表示；(2) 将 10° 6′ 36″用度表示 .
高级单位转化为低级单位乘60.
低级单位转化为高级单位除以60.
方法点拨：将 度用度、分、秒 表示的方法：先 将度的小数部分化为分，再将分的小数部分化为秒；将度、分、秒用度表示的方法：先将秒化为分，再将分化为度 .
1-1.[期末· 邵阳大祥区]计算： 80° 37 ′ 12 ″+26° 45′ 36″=___________ .1-2.[ 期末· 北京海淀区]比较大小：52°15′ _____52 .15°．(填 “＞”“＜”或“=”)
1.互余：如果两个角的和等于一个直角(90° )，那 么 就 说 这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角 .数学语言： 如果∠ 1+∠ 2=90°，就说∠ 1 与∠ 2 互为余角，或∠ 1 是∠ 2 的余角，如图 4.3-20.
特别解读1. 互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.2. 若两个角互余，则这两个角都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角.
2.互补： 如果两个角的和等于一个平角(180° )，那么就说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角 .数学语言： 如果∠ 3+ ∠ 4=180° ，就说∠ 3 与∠ 4互为补角，或∠ 3 是∠ 4 的补角，如图 4.3-21.3. 一个角的余角(或补角)可以有多个.互余、互补是指具有一定数量关系的两个角 .
特别解读3. 互余、互补只与数量有关，与位置无关，若将直角分成两个角，则这两个角互余，若将平角分成两个角，则这两个角互补.
解题秘方：紧扣余角和补角的定义结合等量关系列方程求解 .
2-1.已知 ∠ α 与 ∠ β互补， ∠ α与∠ γ互余，且 ∠ β ＝ 4 ∠ γ， 则∠ α 的度数为(     )A． 30° B． 45°C． 60° D． 90°
如图 4.3-22，点 O 为直线 AB 上一点，∠ AOC= ∠ DOE=90° .(1) 图中互余的角有几对？各是哪些？(2) 图中互补的角有几对？各是哪些？
解题秘方：由已知条件，结合互为 余角、互为补角的定义解答.
解：因为点 O 为直线 AB 上一点，所以∠ BOC+ ∠ AOC=180° .又因为∠ AOC=∠ DOE=90°，所以∠ 1+ ∠ 2=90°， ∠ 2+ ∠ 3=90°， ∠ BOC=180° － ∠ AOC=180° － 90° =90° . 所以∠ 3+ ∠ 4=90°，∠ 1+ ∠ 4=90° .所以图 中互余的角有 4 对，分别是 ∠ 1 和 ∠ 2， ∠ 2 和∠ 3， ∠ 3 和∠ 4， ∠ 1 和∠ 4.
(1) 图中互余的角有几对？各是哪些？
解：由已知得，∠ 1+ ∠ BOD=180°， ∠ 4+ ∠ AOE=180° .由(1)可知∠ 1+ ∠ 2=90°， ∠ 2+ ∠ 3=90°，所以∠ 1=90°－∠ 2， ∠ 3=90°－∠ 2.所以∠ 1= ∠ 3，同理可得∠ 2= ∠ 4.所以∠ 3+ ∠ BOD=180° , ∠ 2+ ∠ AOE=180° .
(2) 图中互补的角有几对？各是哪些？
详解因为∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，所以∠2=90°－∠3，∠4=90°－∠3，所以∠2=∠4.
又因为∠ AOC+ ∠ BOC=180 °， ∠ AOC+ ∠ DOE=180 °，∠ DOE+ ∠ BOC=180°，所以图中互补的角有 7 对，分别是∠ 1 和∠ BOD， ∠ 4 和∠ AOE， ∠ 3 和 ∠ BOD， ∠ 2 和 ∠ AOE， ∠ AOC 和 ∠ BOC，∠ AOC 和∠ DOE， ∠ DOE 和∠ BOC.
1. 补角的性质：同角(或等角)的补角相等，如果 ∠ 1+ ∠ 2=180 °， ∠ 1+ ∠ 3=180°，那么∠ 2= ∠ 3.或如果 ∠ 1+ ∠ 2=180 °， ∠ 3+∠ 4=180°，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4.
2. 余角的性质：同角(或等角)的余角相等 ，如果 ∠ 1+ ∠ 2=90 °，∠ 1+ ∠ 3=90°，那么∠ 2= ∠ 3.或如果 ∠ 1+ ∠ 2=90 °， ∠ 3+∠ 4=90°，且∠ 1= ∠ 3，那么∠ 2= ∠ 4.
特别提醒1. 如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.2.“同角”指同一个角， “等角”指度数相等的角， 同角一定是等角，但等角不一定是同角.3.余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.
如图 4.3-23，直线 AB 与∠ COD 的两边OC， OD 分别相交于点 E， F，∠ 1+ ∠ 2=180° . 找出图中与∠ 2 相等的角，并说明理由 .
解题秘方：先找出与∠ 1 和∠ 2 互补的角，然后利用互补的关系找出与∠ 2 相等的角 .
解：图中与 ∠ 2 相等的角有 ∠ 3， ∠ 4， ∠ 6. 理由：因为∠ 1+ ∠ 3=180° ， ∠ 1+ ∠ 2=180° ，所以∠ 3= ∠ 2.因为∠ 1+ ∠ 4=180° ， ∠ 1+ ∠ 2=180° ，所以∠ 4= ∠ 2.因为∠ 2+ ∠ 5=180° ， ∠ 6+ ∠ 5=180° ，所以∠ 2= ∠ 6.所以图中与∠ 2 相等的角有∠ 3， ∠ 4， ∠ 6.
同角的补角相等同角的补角相等同角的补角相等
4-1. [期末·武汉东西湖区]如图，将一副直角三角尺的直角顶点重叠在一起，可以推导出∠ AOC= ∠ DOB，最合理的理由是(     )A．同角的余角相等B．等角的余角相等C．同角的补角相等D．等角的补角相等
如图 4.3-24，∠ AOB=140° ，∠ AOC= ∠ BOD=90° ．(1)求∠ COD 的度数；(2)若 OE 平分∠ COD，试说明 OE 平分∠ AOB 的理由．
解题秘方：紧扣角平分线的定义及余角的性质解题 .
解：因为∠ AOB ＝ 140° ， ∠ BOD ＝ 90° ，所以∠ AOD ＝∠ AOB－∠ BOD ＝ 50° .又因为∠ AOC ＝ 90° ，所以∠ COD ＝∠ AOC－∠ AOD ＝ 40° .
(1)求∠ COD 的度数；
解：因为 OE 平分∠ COD，所以∠ COE ＝∠ DOE.因为∠ BOC ＝∠ BOD－ ∠ COD ＝ 50° ，所以∠ AOD ＝∠ BOC.所以∠ AOD+ ∠ DOE ＝∠ BOC+ ∠ COE，即∠ AOE ＝∠ BOE. 所以 OE 平分∠ AOB．
(2)若 OE 平分∠ COD，试说明 OE 平分∠ AOB 的理由．
5-1.如图， ∠ AOB=∠ DOE=90° ， OC是BO的 延 长线， OF 平分∠ AOD， ∠ AOE=35° .(1)求∠ EOC的度数；
解：因为OC是BO的延长线，所以∠BOC＝180°.又因为∠AOB＝90°，∠AOE＝35°，所以∠EOC＝∠BOC－(∠AOB＋∠AOE)＝180°－(90°＋35°)＝55°.
(2)求∠ BOF的度数；
(3)请你写出图中三对相等的角．
解：(答案不唯一)∠BOD＝∠AOE，∠DOF＝∠AOF，∠AOD＝∠COE(同角的余角相等)．