江西省南昌市2024_2025学年高一下册期末调研检测数学试卷【附解析】

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数z满足，则（ ）
A.B.2C.D.1
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数乘法化简，再根据复数模的定义求解.
【详解】因为，所以，
故选：A.
2.已知，，，则（ ）
A.B.4C.1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示和向量的数量积进行求解即可.
【详解】因为，
所以.
所以.
故选：B.
3.已知函数，则（ ）
A.B.C.3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的性质，根据定义域代入求分段函数值即可.
【详解】由题意知，
则.
故选：C.
4.已知α为锐角，若，则（ ）
A.B.2C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系，已知角的余弦值，求正切值.
【详解】已知知α为锐角，则，
则.
故选：C.
5.已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件结合关系，求出，由此可求.
【详解】因为，
又，，所以，
又，
所以，
故选：D.
6.已知函数，若，则（ ）
A.B.3C.7D.8
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，再根据正弦函数的奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知，则，
所以，
故选：C
7.已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可.
【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且底面是以为斜边的等腰直角三角形，
所以两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，

由题意可得，，，，，
所以，，，，，
所以，，
，，
所以，
故选：B
8.已知，，若，则的值为（ ）
A.3B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的和差公式以及正切函数与正弦、余弦函数的关系，将转化为含有的式子，结合条件求解.
【详解】根据正切函数的定义，可得：
根据三角函数积化和差公式可得：
分子
分母
所以
已知，代入可得：
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）

A.
B.函数的对称中心为
C.把的图象先向左移，再把所有点的横坐标变为原来的，可以得到的图象
D.函数在的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】观察函数图象可得函数的周期，结合周期公式求，判断A，再由，结合的范围求，根据正弦函数性质求对称中心判断B，结合函数图象变换判断C，结合正弦函数性质求函数在的最小值判断D.
【详解】设函数的最小正周期为，观察图象可得
，所以，又
所以，A正确；
因为，所以，故
又，所以，
所以，所以，
所以，
令，，可得，，
所以函数的对称中心为，B正确，
把图象先向左移，可以得到的图象，
把图象上的所有点的横坐标变为原来的，可以得到的图象，C正确；
由可得，，所以，又，
所以，
所以函数在的最小值为，D错误；
故选：ABC.
10.已知z是方程的一个虚数根，则下列说法中正确的是（ ）
A.B.也是此方程的根C.D.
【答案】AB
【解析】
【分析】在复数范围内解方程可得，结合复数模的计算公式及乘方运算逐项判断可得答案.
【详解】由得，.
A.由得，故A正确.
B.由题意得，方程的两根互为共轭复数，
所以当z是方程的一个虚数根时，也是此方程的根，故B正确.
C.当时，，故C错误.
D.当时，，，，
，故D错误.
故选：AB.
11.已知P是棱长为6的正方体表面上一个动点，Q为棱的中点，则下列说法中正确的是（ ）

A.过点A，B，Q的截面是一个直角梯形
B.若P在上，则
C.若P在上，则存在某个P点，使得
D.若三棱锥的体积为18，则P点轨迹的长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】取中点，连接，证明四边形为平行四边形可判断A；连接，由线面垂直可判断B；当点与点重合时可判断C；由三棱锥的体积公式求出到面的距离，再结合空间对称性可得D.
【详解】
对于A，取中点，连接，
因为Q为棱的中点，由正方体的性质可得且，
所以四边形为平行四边形，即过点A，B，Q的截面是一个平行四边形，故A错误；

对于B，连接，由正方形对角线性质可得，
又侧面，面，所以，
即平面，所以平面，
因为平面，所以 ，
连接，同理可证明，
所以平面，所以平面，
即P在上，则，故B正确；
对于C，当点与点重合时，由正方体的性质可得侧面，
又面，所以，故C正确；
对于D，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，，
设到面的距离为，由棱锥的体积公式可得，
即到面的距离为，
设到平面的距离为，
则由等体积法可得，即，
所以P点轨迹为与平面平行的两个正三角形，其中一个为过中点的正三角形，
又正方体的体对角线长为，由空间对称性可知另一个为，
所以轨迹长度为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，则________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据三角函数的基本关系式，结合“齐次式”的运算，即可求解.
【详解】因为，则.
故答案为：3.
13.一个圆柱形容器内放一个实心圆锥（同底等高），得到如图所示的容器，其体积为．现从上往下向容器内注水，当水位恰好在圆柱母线中点处时，记所注水的体积为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆柱，圆台及圆锥的体积公式计算求解.
【详解】设圆柱底面半径为，当水位恰好在圆柱母线中点处时水面截圆锥的半径为，
记所注水的体积为是圆柱体积的一半减去圆台体积，则
所示的容器体积为是圆柱体积减去圆锥体积，则
则．
故答案为：.
14.在锐角中，若的最小值为，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，由向量减法的几何意义得出，进而得出，由两角差的正弦公式，辅助角公式及正弦函数的性质即可求解．
【详解】过点作于点，
则的最小值为，即，
在中，，
因为为锐角三角形，所以，则，
所以
，
因为，所以，
所以，所以，
即的最大值为，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数．
（1）当时，求在上的值域；
（2）若不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次函数在给定区间上的值域的求法进行求解即可；
（2）解出不等式的解集，再分析非负整数解即可求解.
【小问1详解】
当时，，对称轴为，
，
所以当时，，
当时，，
在上的值域为；
【小问2详解】
，
，即，
，
，
不等式的解集为，
不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，
，解得，
实数a的取值范围为.
16.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角B；
（2）若，求面积S的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，诱导公式，两角和的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解；
（2）由余弦定理，基本不等式及三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
由正弦定理得，，
整理得，又均为三角形内角，
所以．
【小问2详解】
由余弦定理得，，
整理得，，
所以．
17.已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面，求多面体的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，利用中位线的性质可证得且，即可得，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用割补法，由四棱锥体积与三棱锥体积之差可得所求多面体的体积.
【小问1详解】
如图，取的中点，连接，
分别为，的中点，，
，则，
，，则，
四边形是平行四边形，则有，
又平面，平面，
平面.
【小问2详解】
如图，过点作于点，
在等腰梯形，，，
所以，则，
所以，梯形的面积，.
因为平面，且为的中点，
所以四棱锥的高为，三棱锥的高为，
多面体体积.
18.随着人工智能的快速发展，数学在其中的应用越来越广泛．人工智能需要处理大量的数据，进行复杂的算法和模型构建，这离不开数学的支持．为了了解某地区同学们对数学的兴趣程度，某研究小组随机调查了200名高中生一周内课外数学学习时间．他们将统计的数据做成如下频率分布直方图，其中部分数据如下表：

（1）根据频率分布表和频率分布直方图求a，b，c，的值，并计算这200名学生的平均学习时间（同一组中的数据用该组中间值代表）；
（2）把课外学习数学时长按从大到小的顺序排列，设在前的同学认定为“对数学感兴趣”．通过频率分布直方图，问：估计一周课外数学学习至少比平均课外学习时间长超过多少小时，才能称为“对数学感兴趣”？
（3）在（2）的条件下，用分层抽样方法抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求这两个同学中至少有一个“对数学感兴趣”的概率．
【答案】（1），，，，.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图逐项计算可得结果；
（2）设一周课外数学学习至少小时才能被认定为“对数学感兴趣”，可知，结合频率分布直方图可得结果；
（3）列举出所有的可能情况及符合要求的情况，利用古典概型公式计算可得结果.
【小问1详解】
由题意得，，，，
.
【小问2详解】
由题意得，学习数学时长在内的频率为，在内的频率为，在内的频率为.
设一周课外数学学习至少小时才能被认定为“对数学感兴趣”，
因为，所以，
由得，，
因为，
所以一周课外数学学习至少比平均课外学习时间长超过小时，才能称为“对数学感兴趣”.
【小问3详解】
由（2）得，分层抽样抽取8人，对数学感兴趣的人数为人，不对数学感兴趣的人数为人，
记对数学感兴趣的人为，不对数学感兴趣的人为，
从8人中随机抽取2人，所有的可能性为：
，
，共28种情况，
符合要求的为：
，共13种，
所以这两个同学中至少有一个“对数学感兴趣”的概率为.
19.已知空间中，，，…，是以为底边的全等的等腰三角形，O为的中点．
（1）求证：，，…，这n个点共面；
（2）若多边形为正n边形，记以P，Q，，，…，为顶点的凸多面体为．
（ⅰ）若，，…，均为正三角形，是否存在一个这样的多面体，使得它的每个面都是全等的正三角形？若存在，写出n的所有可能取值，若不存在，请说明理由；
（ⅱ）当时，若的面积为，求多面体内切球半径的最大值．
（参考数据：）
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）不存在，证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证平面，，从而利用线面垂直的性质定理得到平面重合于过点且垂直于的平面内，从而得证；
（2）（i）记，根据已知条件可得到则，利用三角函数的运算和性质可以得到不存在整数使得，从而证得所要求的多面体不存在；
（ii）根据对称性作出内切球的半径，作，垂足为，连接，作垂足为，则即为多面体内切球半径，用表示，并根据已知面积值求得的值，进而利用基本不等式求得内切球半径的最大值.
【小问1详解】
∵，，…，是以为底边的全等的等腰三角形，O为的中点，
∴，，
则对于任意，，，∴平面，
∴平面重合于过点且垂直于的平面内，
∴，，…，这n个点在过点且垂直于的平面内，即它们共面.
【小问2详解】
（i）不存在，理由如下：
不妨设这些正三角形的边长都是1，则，其中，且即.
记，则，为锐角且大于，
∴，，
∴，否则，但这里，
而，
∴不存在整数使得，
∴不存在题目要求的多面体，使得它的每个面都是全等的正三角形.
（ii）
作，垂足为，连接，作垂足为，
由已知可得为中点，，多边形为正五边形，
∴，
又∵，平面，∴平面，
∵平面，∴，
又∵，，平面，∴平面，
∴为到平面的距离，
由对称性可知，多面体内切球球心为，∴为多面体内切球半径，
若的面积为，则，
由正五边形的性质可知，∴，
.
当时取“等号”，∴，
多面体内切球半径的最大值为．
宽度分组（小时）
频数
频率
频率/组距
10
0.15
0.2
0.15
10