经典奥数专题：周期问题 训练-数学三年级上册人教版（含解析）

这是一份经典奥数专题：周期问题 训练-数学三年级上册人教版（含解析），共10页。

2．有同样大小的白、黑、红三种珠子共84粒，按8粒白珠、5粒红珠、7粒黑珠的规律排列。请问最后一粒珠子是什么颜色？为什么？
3．某商场楼前安装了一串彩灯，按照2黄、3红、1绿的顺序排列。第100盏彩灯是什么颜色的？这100盏彩灯里共有多少盏红灯？
4．有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？
5．数列3、5、8、3、5、8、3、5、8……，请问：前152个数字中，有多少个奇数，有多少个偶数？
6．30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色……的次序串成一圈。一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上。这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上。
7．有一副扑克牌，一开始抓若干张（小于13张），然后进行下列操作：抓和手里现有的扑克牌数目相等的扑克牌，然后若扑克牌总数超过13张，则放回其中的13张，称为一次操作。进行了777次操作后，手里有7张牌，则一开始手里有多少张？
8．数列9，8，6，2……从第2个数起，每个数都是它前面一个数的两倍的个位数字，请问，第99个数是多少？
9．下表中每列上一个汉字和下一个字母组成一组，例如，第一组是（我 A），第二组是（们 B）……问：第 82 组是什么？
10．我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这 12 种动物按顺序轮流代表各年的年号，已知2004年是猴年，2104年是什么年？
11．下面是一个 12 位数，每三个相邻的数字之和都是 13，你知道问号表示的数字是几吗？
12．2011年的元旦是星期六，2013 年的元旦是星期几？
13．8 个格子排成一个正方形，依次编号（如图所示），小玲将棋子放在 3 号格子上，顺时针方向前进 245个格子后又倒退一个格子， 这时棋子应在几号格子上？
14．1994 位数，各位上的数字都是 3，它除以13，商的第 200 位（从左往右）数字是几？商的个位是几？
15．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，……，即第一、 第二个数都是 1，从第三个数起，每个数都是前面两个数的和，求第 2003个数除以 3 的余数．
16．同学们在科技馆参加活动，谁最先参加游戏呢？同学们想了个好办法，大家排成一排1～2报数，报2的同学再1～2报数，这样依次进行下去，最后报2的这名同学先玩，如果这列一共有12人，最先玩的同学是这一列中的第几个？
17．某个早晨,容器中有200个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减少65个,夜间无光照,容器中的细菌将增加40个.则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡？
18．按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？
△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……
19．一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有几个月?
20．小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期几？
21．甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？
参考答案：
1．白色
【分析】根据题意，灯是按照白色、紫色、蓝色、黄色的顺序排列的，4盏灯为一组。73÷4＝18（组）……1（盏），也就是说，第73盏灯是第19组里的第1盏灯，是白色的灯。
【详解】1＋3＝4（盏）
73÷4＝18（组）……1（盏）
答：第73盏灯是白色的。
【点睛】本题考查的是周期问题，周期问题一般利用有余数的除法解决。
2．白色 ；理由见详解
【分析】按8粒白珠、5粒红珠、7粒黑珠的规律排列，一组有（8＋5＋7）粒珠子，用84除以每组珠子数，算出按这样的规律排列了几组，余数是几，第84颗珠子颜色就是这一组中的第几粒珠子颜色。
【详解】8＋5＋7
＝13＋7
＝20（粒）
84÷20＝4（组）……4（粒）
答：第84粒珠子是白色的。
【点睛】此题考查的是简单的周期问题知识。关键看几个一组，共分几组，再看余数。
3．红色；50盏
【分析】观察题干，这组彩灯按照的排列特点是6个气球一个循环周期，分别按照颜色2黄、3红、1绿的顺序排列，计算出第几个周期的第几个即可。再计算出100盏彩灯共有几个这样的周期，余下几盏红灯，每个周期有3盏红灯，相加即可。
【详解】因为100÷（2＋3＋1）
＝100÷6
＝16（组）⋯4（盏）
3×16＋2
＝48＋2
＝50（盏）
答：第100盏彩灯是红颜色的，这100盏彩灯里共有50盏红灯。
【点睛】根据题意得出这组彩灯的排列周期特点是解决本题的关键。
4．0
【分析】按照从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和这个规律，先确定前面的几个数，然后除以3，观察余数的规律，确定周期，按照周期问题求解即可。
【详解】这列数的前面几个分别是3，10，13，23，36，59，95，
被3除后的余数依次为0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，，
观察得：余数的排列规律是：0，1，1，2，0，2，2，1为周期重复出现；
，余数为0。
【点睛】本题实质上考查的是周期问题，确定周期是解决问题的关键。
5．奇数102个；偶数50个
【分析】周期为3，每个周期里，2个奇数，1个偶数，152除以3，商50余2，多出来的两个数是3和5，也是奇数。
【详解】
（个）
（个）
答：奇数102个；偶数50个。
【点睛】本题实质上考查的是周期问题，求解周期问题，要注意除完整周期外多出来的部分的情况。
6．7次
【分析】这些珠子按8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色的次序串成一圈，那么每10粒珠子一个周期，由于是串成一圈，所以相当于是按照8粒红色、2粒黑色的顺序无限排列。
【详解】把30颗珠子编号为1~30，其中6颗黑珠子序号是9，10，19，20，29，30；
由于是转圈跳动，那么黑珠子的序号可以认为是9、10、19、20、29、30分别假设30n；
蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，也就是从10号起跳；
依次到达的是17号、24号、31号、38号、45号、52号、59号、66号……
这里面，符合要求；
此时这只蚱蜢跳了7次；
答：这只蚱蜢至少要跳7次才能再次落在黑珠子上。
【点睛】本题考查的是周期问题，可以把环形情况下的周期问题转化成直线型的周期问题求解。
7．张
【分析】根据第777次操作后得到的的结果，从后往前进行倒推，可以依次求出前面的每一层操作得到的数量，找出隐藏的周期，转化为周期问题求解。
【详解】根据倒推法知道第次操作后是；
那么第776次操作就是：；
第775次操作就是；
找到规律是遇见奇数就是加后除以2，遇见偶数就是直接除以，所以操作后得到这样一串数为：、、、、、、、、、、、、、，观察发现是个一周期，所以，所以第一次手里的数是，一开始手里的数是张扑克。
答：一开始手里有4张。
【点睛】本题将周期问题与还原问题相结合，在倒推的时候注意区分奇数和偶数。
8．6
【分析】根据题目的含义依次写出后面的数，写几个数的时候，属于有头周期问题，后面的数按照周期排列的。把第一个数拿走变成98个数，然后根据周期问题判断这些数里有多少个周期，还余几。
【详解】9，8，6，2，4，8，6，2，4……周期为4，有头周期，头是9，
99－1＝98（个），98÷4＝24（组）……2（个）。
答：第99个数是6。
【点睛】本题主要考查隐藏的周期问题，先找周期。
9．（们、B）
【详解】解法一：第一行是按照“我、们、爱、数、学”五个字为一周期，第二行按照A、B、C、D四个字母为一周期。
82÷5=16……2，所以第一行是“们”；
82÷4=20……2，所以第二行是“B”；
综上，第82组是（们、B）。
解法二：因为82÷20=4……2，
循环中的第二个字母是B，对应的汉字是们，所以第82组是表中的（们、B），
答：第82组是（们、B）。
10．鼠年
【详解】（2104-2004）÷12=8……4
所以2104年是鼠年。
答：2104年是鼠年。
11．2
【详解】因为每3个相邻的数字之和都是13,所以三个数字必循环出现，第一个数字4与第二个数字？再与最后一个数字7之和等于13，即4+?+7=13，故？=2. 这个12位数是427427427427。
12．星期二
【详解】（365+366）÷7
=731÷7
=104（周）…3（天）
答：2013年的元旦是星期二。
13．7号
【详解】245÷8=30（圈）……5（格）
从3起顺时针前进5格到8号格，又倒退1格，就是7号格．
14．5 2
【详解】用竖式试算，可以得出商是按照的顺序不断重复出现，所以商的第200位是200÷6=33……2,所以这个数字是5；
被除数从左边起第二个3开始，每6个3组成的数除以13商256410,1994位数中有（1994-1）÷6==332……1，余数是1，商的个位是2.
15．2
【详解】找规律,每个数除以3的余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2,可以看出循环节长度是8,第2003个就是第3个,余数是2
16．第8个
【详解】第一次1～2报数，报2的是第2，4，6，8，10，12这几个同学，这些同学再1～2报数，报2的是第4，8，12这三名同学，最后这三名同学再1～2报数，就只剩下第8个同学是报2，所以最先玩的这个同学是这列中的第8个．
17．第7天
【分析】该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周期回归.
【详解】一昼夜细菌减少65－40=25个
第6天的时候剩余细菌：200-25×6=50，则第7天就可.
18．黑色 51个
【详解】从图中可以看出，按照6个为一个周期，因为…4，所以第100个三角形应该是这一个周期当中的第四个，应该是黑色的．每个周期里有3个白色的，一共有16个周期就有48个白色三角形，余下的4个三角形中还有3个白色的，所以一共有个．
19．5个月
【详解】1月1日是星期日，全年就有53个星期日．每月至少有4个星期日，53-4×12=5，多出5个星期日，在5个月中．即最多有5个月有5个星期日．
20．星期四
【详解】21天内，每人取奶7次，方方第8次取奶又是星期一，即每取7次奶为一个周期．…2，所以方方第100次取奶是星期四．
21．5次
【详解】甲第30次义诊是在总次数的第4×29+1=117（次），117÷7=16……5，从周三往前数5天，由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二 . 丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以他已经去过5次.
我
们
爱
数
学
我
们
爱
数
学
……
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
……
4
？
7